باقة الخطوط

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعبّر حزمة الخطوط عن مفهوم الخط الذي يتغير من نقطة إلى أخرى في الفضاء. على سبيل المثال، يُحدد منحنى في المستوى، له خط مماس عند كل نقطة، خطًا متغيرًا: حزمة المماس هي طريقة لتنظيم هذه الخطوط. وبشكل أكثر دقة، في الطوبولوجيا الجبرية والطوبولوجيا التفاضلية ، تُعرَّف حزمة الخطوط بأنها حزمة متجهات من الرتبة 1. [ 1 ]

تُحدد حزم الخطوط باختيار فضاء متجهي أحادي البعد لكل نقطة من الفضاء بشكل متصل. في التطبيقات الطوبولوجية، يكون هذا الفضاء المتجهي عادةً حقيقيًا أو مركبًا. تُظهر الحالتان سلوكًا مختلفًا جوهريًا نظرًا لاختلاف الخصائص الطوبولوجية للفضاءات المتجهة الحقيقية والمركبة: إذا أُزيل الأصل من خط الأعداد الحقيقية، فإن النتيجة هي مجموعة من المصفوفات الحقيقية القابلة للعكس من الرتبة 1×1 ، وهي مكافئة تماثليًا لفضاء منفصل ثنائي النقاط عن طريق تقليص الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة إلى نقطة واحدة؛ بينما يؤدي إزالة الأصل من المستوى المركب إلى الحصول على مصفوفات مركبة قابلة للعكس من الرتبة 1×1، والتي لها نوع تماثلي لدائرة.

من منظور نظرية التماثل ، يتصرف حزمة الخطوط الحقيقية بشكل مشابه لحزمة الألياف ذات الليف ثنائي النقاط، أي كغطاء مزدوج . ومن الحالات الخاصة لذلك الغطاء المزدوج القابل للتوجيه لمتشعب تفاضلي ، حيث تكون حزمة الخطوط المقابلة هي حزمة المحدد لحزمة المماس (انظر أدناه). يتوافق شريط موبيوس مع غطاء مزدوج للدائرة (التحويل θ → 2θ)، وبتغيير الليف، يمكن اعتباره أيضًا ذا ليف ثنائي النقاط، أو الفترة 1 كليف، أو الخط الحقيقي.

ترتبط حزم الخطوط المعقدة ارتباطًا وثيقًا بحزم الدوائر . وهناك بعض الأمثلة الشهيرة، مثل تليفات هوبف للكرات إلى كرات .

في الهندسة الجبرية ، غالبًا ما يطلق على الحزمة القابلة للعكس (أي الحزمة الحرة محليًا من الرتبة الأولى) اسم حزمة الخط .

تنشأ كل حزمة خطية من قاسم في ظل الشروط التالية:

(أ) إذاX{\displaystyle X}إذا كان مخططًا مختزلًا وغير قابل للاختزال، فإن كل حزمة خطية تأتي من قاسم.
(٢) إذاX{\displaystyle X}إذا كان مخططًا إسقاطيًا، فإن العبارة نفسها تنطبق.

الحزمة التكرارية على الفضاء الإسقاطي

تُعد حزمة الخطوط التكرارية على الفضاء الإسقاطي واحدة من أهم حزم الخطوط في الهندسة الجبرية .P(V){\displaystyle \mathbf {P} (V)}فضاء متجهيV{\displaystyle V}فوق حقلك{\displaystyle k}يُعرَّف بأنه ناتج قسمةV∖{0}{\displaystyle V\setminus \{0\}}بفعل المجموعة الضربيةك×{\displaystyle k^{\times }}كل نقطة منP(V){\displaystyle \mathbf {P} (V)}وبالتالي، فإن ذلك يتوافق مع نسخة منك×{\displaystyle k^{\times }}وهذه النسخ منك×{\displaystyle k^{\times }}يمكن تجميعها فيك×{\displaystyle k^{\times }}- حزمة فوقP(V){\displaystyle \mathbf {P} (V)}. لكنك×{\displaystyle k^{\times }}يختلف عنك{\displaystyle k}بنقطة واحدة فقط، وبربط تلك النقطة بكل ليف، نحصل على حزمة خطية علىP(V){\displaystyle \mathbf {P} (V)}تُسمى هذه الحزمة الخطية بالحزمة الخطية التكرارية . ويُشار إليها أحيانًا بـيا(-1){\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}لأنه يتوافق مع ثنائي حزمة سير الملتويةيا(1){\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}.

خرائط إلى الفضاء الإسقاطي

لنفترض أنX{\displaystyle X}هو مساحة وهذال{\displaystyle L}هي حزمة خطوط علىX{\displaystyle X}قسم عالمي منل{\displaystyle L}هي دالةs:X→ل{\displaystyle s:X\to L}بحيث إذاص:ل→X{\displaystyle p:L\to X}إذن، هذا هو الإسقاط الطبيعي.ص∘s=بطاقة تعريفX{\displaystyle p\circ s=\operatorname {id} _{X}}في حي صغيريو{\displaystyle U}فيX{\displaystyle X}في أيل{\displaystyle L}إذا كان الأمر تافهاً، فإن المساحة الكلية لحزمة الخط هي حاصل ضربيو{\displaystyle U}والمجال الأساسيك{\displaystyle k}، والقسمs{\displaystyle s}يقتصر على وظيفةيو→ك{\displaystyle U\to k}ومع ذلك، فإن قيمs{\displaystyle s}تعتمد على اختيار التبسيط، وبالتالي يتم تحديدها فقط حتى الضرب بدالة لا تتلاشى في أي مكان.

تحدد المقاطع العالمية الخرائط إلى المساحات الإسقاطية بالطريقة التالية: اختيارر+1{\displaystyle r+1}ليست كل النقاط الصفرية في أليافل{\displaystyle L}يختار أحد ألياف حزمة الخط التكراري علىPر{\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}لذا اختيارر+1{\displaystyle r+1}أجزاء عالمية تتلاشى بشكل غير متزامن منل{\displaystyle L}يحدد خريطة منX{\displaystyle X}في الفضاء الإسقاطيPر{\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}ترسل هذه الخريطة أليافل{\displaystyle L}إلى ألياف ثنائية الحزمة التكرارية. وبشكل أكثر تحديدًا، لنفترض أنs0،...،sر{\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}هي أقسام عالمية منل{\displaystyle L}في حي صغيريو{\displaystyle U}فيX{\displaystyle X}تحدد هذه الأقسامك{\displaystyle k}الدوال ذات القيم علىيو{\displaystyle U}وتعتمد قيمها على اختيار التبسيط. ومع ذلك، فهي محددة حتى الضرب المتزامن بدالة غير صفرية، لذا فإن نسبها محددة جيدًا. أي، على نقطةx{\displaystyle x}القيمs0(x)،...،sر(x){\displaystyle s_{0}(x),\dots ,s_{r}(x)}ليست محددة جيدًا لأن أي تغيير في التبسيط سيؤدي إلى ضرب كل منها بثابت غير صفري λ. ولكنه سيضربها بنفس الثابت λ، لذا فإن الإحداثيات المتجانسة[s0(x):⋯:sر(x)]{\displaystyle [s_{0}(x):\dots :s_{r}(x)]}تكون محددة جيدًا طالما أن الأقسامs0،...،sر{\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}لا تختفي في نفس الوقتx{\displaystyle x}لذلك، إذا لم تختفِ الأجزاء في وقت واحد، فإنها تحدد شكلاً.[s0:⋯:sر]{\displaystyle [s_{0}:\dots :s_{r}]}مما يعطي خريطة منX{\displaystyle X}لPر{\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}، ويكون سحب النظير الثنائي للحزمة التكرارية تحت هذه الخريطة هول{\displaystyle L}وبهذه الطريقة، يكتسب الفضاء الإسقاطي خاصية عالمية .

الطريقة العامة لتحديد خريطة إلى الفضاء الإسقاطي هي رسم خريطة إلى إسقاط الفضاء المتجهي لجميع مقاطعل{\displaystyle L}في الحالة الطوبولوجية، يوجد مقطع غير صفري عند كل نقطة، ويمكن إنشاؤه باستخدام دالة نتوء تتلاشى خارج نطاق صغير من جوار تلك النقطة. ولهذا السبب، تكون الخريطة الناتجة مُعرَّفة في كل مكان. مع ذلك، عادةً ما يكون المجال المقابل كبيرًا جدًا بحيث لا يكون مفيدًا. والعكس صحيح في الحالات الجبرية والتحليلية. ففي هذه الحالة، غالبًا ما يكون فضاء المقاطع العامة محدود الأبعاد، ولكن قد لا توجد أي مقاطع عامة غير صفرية عند نقطة معينة (كما هو الحال عند إنشاء حزمة ليفشيتز باستخدام هذه الطريقة ). في الواقع، من الممكن ألا تحتوي حزمة ما على أي مقاطع عامة غير صفرية على الإطلاق؛ وهذا هو الحال بالنسبة لحزمة الخط التكرارية. عندما تكون حزمة الخط واسعة بما فيه الكفاية، فإن هذا الإنشاء يُحقق نظرية كودايرا للتضمين .

حزم المحددات

بشكل عام إذاV{\displaystyle V}هي حزمة متجهة على فضاءX{\displaystyle X}، بأبعاد ألياف ثابتةن{\displaystyle n}، الن{\displaystyle n}- القوة الخارجية لـV{\displaystyle V}تُعتبر الحزمة الخطية، التي تُؤخذ ليفًا ليفًا، حزمة خطية تُسمى حزمة الخط المحددة لـV{\displaystyle V}يُطبَّق هذا البناء تحديدًا على حزمة الظل التمام لمتشعب أملس . حزمة المحدد الناتجة (أو بالأحرى، حزمة القوة غير السالبة الثابتة للقيم المطلقة لمقاطعها) مسؤولة عن ظاهرة كثافات الموتر ، بمعنى أنه بالنسبة لمتشعب قابل للتوجيه، يكون لها مقطع عالمي غير معدوم، ويمكن تعريف قوى الموتر الخاصة بها بأي أس حقيقي واستخدامها "لالتواء" أي حزمة متجهة عن طريق الضرب الموتري .

ينطبق نفس البناء (مع أخذ أعلى قوة خارجية) على وحدة إسقاطية مولدة بشكل نهائيم{\displaystyle M}على نطاق نوثيري، وتسمى الوحدة القابلة للعكس الناتجة بوحدة المحدد لـم{\displaystyle M}.

الفئات المميزة، والحزم الشاملة، وفضاءات التصنيف

تصنف فئة ستيفل-ويتني الأولى حزم الخطوط الحقيقية الملساء؛ وعلى وجه الخصوص، فإن مجموعة (فئات التكافؤ لـ) حزم الخطوط الحقيقية تتوافق مع عناصر علم التماثل الأول معZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }المعاملات؛ هذا التناظر هو في الواقع تماثل بين الزمر الأبيلية (عمليات الزمرة هي حاصل الضرب الموتري لحزم الخطوط والجمع المعتاد على علم التماثل). وبالمثل، تصنف فئة تشيرن الأولى حزم الخطوط المركبة الملساء على فضاء، وزمرة حزم الخطوط متماثلة مع فئة علم التماثل الثانية ذات المعاملات الصحيحة. ومع ذلك، يمكن أن يكون للحزم هياكل ملساء متكافئة (وبالتالي نفس فئة تشيرن الأولى) ولكن هياكل هولومورفية مختلفة. يمكن إثبات عبارات فئة تشيرن بسهولة باستخدام المتتالية الأسية للحزم على المتشعب.

يمكن النظر إلى مشكلة التصنيف بشكل أعم من منظور نظرية التماثل. توجد حزمة شاملة لحزم الخطوط الحقيقية، وحزمة شاملة لحزم الخطوط المركبة. وفقًا للنظرية العامة حول فضاءات التصنيف ، تتمثل الطريقة الاستدلالية في البحث عن فضاءات قابلة للانكماش حيث توجد تأثيرات زمرية للمجموعات المعنية.ج2{\displaystyle C_{2}}وS1{\displaystyle S^{1}}وهي أفعال حرة. يمكن أن تعمل هذه الفضاءات كحزم رئيسية شاملة ، ويمكن أن تعمل نواتج قسمة الأفعال كفضاءات تصنيفية.بجي{\displaystyle BG}في هذه الحالات يمكننا أن نجدها بشكل صريح، في النظائر اللانهائية الأبعاد للفضاء الإسقاطي الحقيقي والمركب .

وبالتالي فإن فضاء التصنيفبج2{\displaystyle BC_{2}}هو من نوع التماثلRP∞{\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}الفضاء الإسقاطي الحقيقي المُعطى بتسلسل لانهائي من الإحداثيات المتجانسة . وهو يحمل حزمة الخط الحقيقي الشاملة؛ من منظور نظرية التماثل، هذا يعني أن أي حزمة خط حقيقيل{\displaystyle L}في مجمع CWX{\displaystyle X}يحدد خريطة تصنيف منX{\displaystyle X}لRP∞{\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}، تحضيرل{\displaystyle L}حزمة متماثلة مع السحب العكسي للحزمة الشاملة. يمكن استخدام خريطة التصنيف هذه لتعريف فئة ستيفل-ويتني لـل{\displaystyle L}، في علم التماثل الأول لـX{\displaystyle X}معZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }المعاملات، من فصل دراسي قياسي حولRP∞{\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}.

وبطريقة مماثلة، الفضاء الإسقاطي المعقدجP∞{\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}يحمل حزمة خطية معقدة شاملة. في هذه الحالة، تؤدي تصنيفات الخرائط إلى ظهور فئة تشيرن الأولى منX{\displaystyle X}، فيح2(X){\displaystyle H^{2}(X)}(التجانس التكاملي).

توجد نظرية أخرى مماثلة تتعلق بحزم الخطوط الرباعية (ذات البعد الحقيقي الرابع). وهذا ما يُنتج إحدى فئات بونترياجين في علم التماثل الرباعي الأبعاد الحقيقي.

وبهذه الطريقة، تعتمد الحالات الأساسية لنظرية الفئات المميزة فقط على حزم الخطوط. ووفقًا لمبدأ التقسيم العام ، يمكن لهذا أن يحدد بقية النظرية (إن لم يكن بشكل صريح).

توجد نظريات لحزم الخطوط الهولومورفية على المشعبات المعقدة ، والحزم القابلة للعكس في الهندسة الجبرية ، والتي تعمل على وضع نظرية لحزم الخطوط في تلك المجالات.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع