توزيع نيمان من النوع أ

تُستخدم دالة توليد الاحتمالات G1 ( z ) _، التي تُنشئ N متغيرًا عشوائيًا مستقلًا Xj _{، في عملية التفرع. يُنتج كل Xj} عددًا عشوائيًا من الأفراد، حيث X1 _، X2 _، ... لها نفس توزيع X ، وهو توزيع X مع دالة توليد الاحتمالات G2 ( z ). وبالتالي _، فإن العدد الإجمالي للأفراد هو المتغير العشوائي ^{[ 1 ].}

${\displaystyle Y=SN=X_{1}+X_{2}+...+X_{N}}$

دالة توليد الاحتمالات لتوزيع SN هي  :

${\displaystyle E[z^{SN}]=E_{N[E[z^{SN}|N]]=E_{N[G_{2}(z)]=G_{1}(G_{2}(z))}$

إحدى الرموز، وهي مفيدة بشكل خاص، تسمح لنا باستخدام تمثيل رمزي للإشارة إلى توزيع F1 الذي تم تعميمه بواسطة توزيع F2، وهي:

${\displaystyle Y\sim F_{1}\bigwedge F_{N}}$

في هذه الحالة، تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois(\lambda )} \bigwedge \operatorname {Pois(\phi )} }$

وأخيرًا، دالة توليد الاحتمالات هي:

${\displaystyle G_{Y}(z)=\exp(\lambda (e^{\phi (z-1)}-1))}$

انطلاقاً من الدالة المولدة للاحتمالات، يمكننا حساب دالة الكتلة الاحتمالية الموضحة أدناه.

لتكن X1 _، X2 _، ... ، Xj متغيرات مستقلة تتبع توزيع بواسون. يكون _{التوزيع} الاحتمالي _{للمتغير} العشوائي Y = X1 + X2 + ... + _Xj هو توزيع نيمان من النوع A _{بمعاملات}${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \phi }$.

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {e^{-\lambda }\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{x}}{j!}}~~}$${\displaystyle ~~x=1,2,...}$

بدلاً عن ذلك،

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{x}S(x,j)\lambda ^{j}e^{-\phi ^{j}}}$

لفهم كيفية تطور التعبير السابق، يجب أن نضع في اعتبارنا أن دالة الكتلة الاحتمالية تُحسب من دالة توليد الاحتمالات ، وأن نستخدم خاصية أعداد ستيرلينغ. لنرَ كيف يتطور التعبير.

${\displaystyle G(z)=e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}e^{-j\phi}(e^{\phi z}-1)^{j}}{j|}}}$

$$$

${\displaystyle ={\frac {e^{-\lambda +\lambda e^{-\phi }}\phi ^{x}}{x!}}\sum _{j=0}^{x}S(x,j)\lambda ^{j}e^{-\phi ^{j}}}$

هناك شكل آخر لتقدير الاحتمالات وهو التتابعات المتكررة، ^{[ 6 ]}

${\displaystyle p_{x}=P(Y=x)={\frac {\lambda \phi e^{-\phi }}{x}}\sum _{r=0}^{x-1}{\frac {\phi ^{r}}{r!}}p_{x-r-1}~~}$،${\displaystyle ~~p_{0}=\exp(-\lambda +\lambda e^{-\phi })}$

على الرغم من أن طولها يتناسب طرديًا مع n ، إلا أن علاقة التكرار هذه لا تستخدم إلا للحساب العددي وهي مفيدة بشكل خاص لتطبيقات الكمبيوتر.

أين

• x = 0، 1، 2، ...، باستثناء احتمالات التتابعات المتكررة، حيث x = 1، 2، 3، ...
• ${\displaystyle j\leq x}$
• ${\displaystyle \lambda }$،${\displaystyle \phi >0}$.
• x ! و j ! هما مضروب x و j على التوالي.
• إحدى خصائص أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني هي كما يلي: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle (e^{\phi z}-1)^{j}=j!\sum _{x=j}^{\infty }{\frac {S(x,j){\phi z}^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle Y\ \sim \operatorname {NA} (\lambda ,\phi )\,}$

تُعرَّف دالة توليد العزوم لمتغير عشوائي X بأنها القيمة المتوقعة لـ e ^t ، كدالة للمعامل الحقيقي t .${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$توجد دالة توليد العزوم وهي تساوي

${\displaystyle M(t)=G_{Y}(e^{t})=\exp(\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1))}$

دالة توليد العزوم التراكمية هي لوغاريتم دالة توليد العزوم وتساوي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle K(t)=\log(M(t))=\lambda (e^{\phi (e^{t}-1)}-1)}$

في الجدول التالي يمكننا أن نرى لحظات الترتيب من 1 إلى 4

طلب	لحظة	المتراكم
1	${\displaystyle \mu _{1}=\lambda \phi }$	${\displaystyle \mu }$
2	${\displaystyle \mu _{2}=\lambda \phi (1+\phi )}$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
3	${\displaystyle \mu _{3}=\lambda \phi (1+3\phi +\phi ^{2})}$	${\displaystyle k_{3}}$
4	${\displaystyle \mu _{4}=\lambda \phi (1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3})+3\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}$	${\displaystyle k_{4}+3\sigma ^{4}}$

معامل الالتواء هو العزم الثالث المتمركز حول المتوسط ​​مقسومًا على القوة 3/2 للانحراف المعياري ، وبالنسبة لـ${\displaystyle \operatorname {NA} }$التوزيع هو،

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{3/2}}}={\frac {\lambda \phi (1+3\phi +\phi ^{2})}{(\lambda \phi (1+\phi ))^{3/2}}}}$

التفرطح هو العزم الرابع المتمركز حول المتوسط ، مقسومًا على مربع التباين ، وبالنسبة لـ${\displaystyle \operatorname {NA} }$التوزيع هو،

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {\lambda \phi (1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3})+3\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}{\lambda ^{2}\phi ^{2}(1+\phi )^{2}}}={\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}+3}$

إن التفرطح الزائد هو مجرد تصحيح لجعل تفرطح التوزيع الطبيعي يساوي صفرًا، وهو كالتالي:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {1+7\phi +6\phi ^{2}+\phi ^{3}}{\phi \lambda (1+\phi )^{2}}}}$

• دائماً${\displaystyle \beta _{2}>3}$، أو${\displaystyle \gamma _{2}>0}$يتميز التوزيع بذروة حادة عالية حول المتوسط ​​وذيول أكثر سمكًا.

في التوزيع المتقطع، تُعرَّف الدالة المميزة لأي متغير عشوائي ذي قيمة حقيقية بأنها القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle e^{itX}}$، حيث i هي الوحدة التخيلية و t ∈ R  

${\displaystyle \phi (t)=E[e^{itX}]=\sum _{j=0}^{\infty }e^{ijt}P[X=j]}$

ترتبط هذه الدالة بدالة توليد العزوم عبر${\displaystyle \phi _{x}(t)=M_{X}(it)}$وبالتالي، فإن الدالة المميزة لهذا التوزيع هي:

${\displaystyle \phi _{x}(t)=\exp(\lambda (e^{\phi (e^{it}-1)}-1))}$

• لاحظ أن الرمز${\displaystyle \phi _{x}}$يُستخدم لتمثيل الدالة المميزة.

دالة التوزيع التراكمي هي،

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\lambda ,\phi )&=P(Y\leq x)\\&=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}{\frac {\phi ^{i}}{i!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{j!}}\\&=e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{x}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\phi ^{i}(\lambda e^{-\phi })^{j}j^{i}}{i!j!}}\end{aligned}}}$

• مؤشر التشتت هو مقياس معياري لتشتت التوزيع الاحتمالي . ويُعرَّف بأنه نسبة التباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$إلى المتوسط${\displaystyle \mu }$, ^{[ 8 ]}

${\displaystyle d={\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}=1+\phi }$

• من عينة بحجم N ، حيث يأتي كل متغير عشوائي Y _i من${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$حيث Y1 _، Y2 _{، ...} ، Yn مستقلة. وهذا يعطي مقدر الاحتمال الأقصى على النحو التالي ، ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{N}}={\bar {x}}={\bar {\lambda }}{\bar {\phi }}~~~}$أين${\displaystyle \mu }$هو المتوسط ​​السكاني لـ${\displaystyle {\bar {x}}}$

• بين التعبيرين السابقين، نستطيع تحديد المعاملات باستخدام${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle d}$،

${\displaystyle {\begin{cases}\mu =\lambda \phi \\d=1+\phi \end{cases}}\longrightarrow \quad \!{\begin{aligned}\lambda ={\frac {\mu }{d-1}}\\\phi =d-1\end{aligned}}}$

المتوسط ​​والتباين لـ NA (${\displaystyle \lambda ,\phi }$) نكون${\displaystyle \mu =\lambda \phi }$و${\displaystyle \lambda \phi (1+\phi )}$على التوالي. لذلك لدينا هاتان المعادلتان، ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}{\bar {x}}=\lambda \phi \\s^{2}=\lambda \phi (1+\phi )\end{cases}}}$

• ${\displaystyle s^{2}}$و${\displaystyle {\bar {x}}}$يمثلان التباين والمتوسط ​​على التوالي.

بحل هاتين المعادلتين نحصل على تقديرات العزوم${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$و${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ل${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \phi }$.

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {{\bar {x}}^{2}}{s^{2}-{\bar {x}}}}}$

${\displaystyle {\bar {\phi }}={\frac {s^{2}-{\bar {x}}}{\bar {x}}}}$

حساب مُقدِّر الاحتمال الأقصى لـ${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \phi }$يتضمن ذلك ضرب جميع الاحتمالات في دالة الكتلة الاحتمالية للحصول على التعبير${\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda ,\phi ;x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

عند تطبيق تعديل المعلمات المحدد في "خصائص أخرى"، نحصل على ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mu ,d;X)}$يمكننا تعريف تقدير الاحتمال الأقصى بناءً على معلمة واحدة إذا قمنا بتقدير${\displaystyle \mu }$كما هو الحال${\displaystyle {\bar {x}}}$(متوسط ​​العينة) بالنظر إلى عينة X بحجم N. يمكننا أن نرى ذلك أدناه.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(d;X)=\prod _{i=1}^{n}P(x_{i};d)}$

• لتقدير الاحتمالات، سنستخدم دالة الكتلة الاحتمالية للتتابعات المتكررة ، بحيث يكون الحساب أقل تعقيدًا.

إحصائية اختبار نسبة الاحتمال لـ${\displaystyle \operatorname {NA} }$يكون،

${\displaystyle W=2({\mathcal {L}}(X;\mu ,d)-{\mathcal {L}}(X;\mu ,1))}$

حيث الاحتمال${\displaystyle {\mathcal {L}}()}$هي دالة الاحتمال اللوغاريتمي. لا تمتلك W سلوكًا تقاربيًا.${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$التوزيع كما هو متوقع في ظل الفرضية الصفرية، حيث أن d = 1 تقع على حافة مجال المعلمة. في التوزيع التقاربي لـ W، يمكن إثبات أن الثابت 0 و${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$لدينا خليط بنسبة 50:50. بالنسبة لهذا الخليط،${\displaystyle \alpha }$النقاط المئوية للطرف العلوي هي نفسها النقاط المئوية لـ${\displaystyle 2\alpha }$نسبة مئوية أعلى الذيل لـ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

عندما ينتج عن تكاثر الأنواع من النوع (أ) وفقًا لتصنيف نيمان تجمعات نباتية ، يُستخدم التوزيع لوصف انتشار النباتات. ويحدث هذا عادةً عندما يتطور نوع ما من نسل نباتات أم أو من بذور تسقط بالقرب من النبات الأم. مع ذلك، لاحظ أرشيبالد (1948) ^{[ 11 ]} عدم كفاية البيانات لاستنتاج نوع التكاثر من نوع التوزيع المُطابق. فبينما حقق توزيع نيمان من النوع A نتائج إيجابية لتوزيعات النباتات، أظهر إيفانز (1953) ^{[ 3 ]} أن التوزيع ذي الحدين السالب حقق نتائج إيجابية لتوزيعات الحشرات. كما دُرست توزيعات نيمان من النوع A في سياق علم البيئة ، وأظهرت النتائج أنه ما لم تكن تجمعات النباتات متراصة لدرجة لا تقع على حافة المربع المستخدم لاختيار مواقع العينات، فمن غير المرجح أن يكون التوزيع قابلاً للتطبيق على تجمعات النباتات. ويُعد تراص التجمعات افتراضًا ضمنيًا في اشتقاق نيمان الأصلي للتوزيع، وفقًا لسكيلام (1958) ^{[ 12 ]} . وقد تبين أن اختيار حجم المربع يؤثر بشكل كبير على النتائج.

في سياق حوادث سائقي الحافلات، استنتج كريسويل وفروغات (1963) ^{[ 4 ]} نوع نيمان أ بناءً على الفرضيات التالية:

1. كل سائق عرضة لـ "نوبات" من الأخطاء، ويكون عددها متناسبًا مع توزيع بواسون لأي فترة زمنية معينة، بنفس المعامل.${\displaystyle \lambda }$لجميع السائقين.
2. يكون أداء السائق ضعيفًا خلال فترة معينة، ومن المرجح أن يتعرض لعدد من التصادمات يتبع توزيع بواسون، بنفس المعامل${\displaystyle \phi }$لجميع السائقين.
3. يتصرف كل سائق بشكل مستقل.
4. لا يمكن أن تحدث أي حوادث خارج نطاق التعويذة.

تؤدي هذه الافتراضات إلى توزيع من نوع نيمان أ عبر${\displaystyle \operatorname {Pois(\lambda )} }$و${\displaystyle \operatorname {Pois(\phi )} }$على عكس "التوزيع القصير" الذي استخدمه كريسويل وفروغات، أطلقوا على هذا التوزيع اسم "التوزيع الطويل" نظرًا لذيله الطويل. ووفقًا لإروين (1964)، يمكن أيضًا الحصول على توزيع من النوع A بافتراض أن لدى السائقين المختلفين مستويات مختلفة من الاستعداد، أو K ، باحتمالية:

${\displaystyle \operatorname {P(K=k\phi )} ={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}$

• أخذ القيم${\displaystyle ~0,~\phi ,~2\phi ,~3\phi ,~...}$

وأن السائق الذي لديه استعداد ك${\displaystyle \phi }$وقع عدد X من الحوادث حيث:

${\displaystyle ~\operatorname {P(X=x|k\phi )} ={\frac {e^{-k\phi }(k\phi )^{x}}{x!}}}$

هذا هو${\displaystyle ~\operatorname {Pois(k\phi )} \wedge \operatorname {Pois(\lambda )} }$نموذج مع خلط القيم التي يأخذها K.

كما تم اقتراح التوزيع في طلب تجميع خيام الأقليات للحصول على الطعام من عام 1965 إلى عام 1969. وفي هذا الصدد، تم التنبؤ بأنه لا يلزم سوى تقريب معدلات التجميع أو متوسط ​​عدد الكيانات لكل مجموعة، بدلاً من تعديل التوزيعات على قواعد بيانات كبيرة جدًا.

• مرجع سجل الاستخدام . ^{[ 1 ]}

• يحاكي الكود أدناه 5000 حالة من${\displaystyle \operatorname {NA(\lambda ,\phi )} }$،

rNeymanA <- وظيفة (ن، لامدا، فاي) { r <- numeric() for (j in 1:n) { k = rpois(1,lambda) r[j] <- sum(rpois(k,phi)) } return(r) }

• تم تطبيق دالة الكتلة للاحتمالات المتكررة في لغة البرمجة R لتقدير الاحتمالات النظرية؛ ويمكننا رؤيتها أدناه.

dNeyman.rec <- function(x, lambda, phi){ p <- رقمي() p[1]<- exp(-lambda + lambda*exp(-phi)) c <- lambda*phi*exp(-phi) إذا كان (س == 0) { return(p[1]) } آخر{ for (i in 1:x) { المجموع = 0 for (r in 0:(i-1)) { سوما = سوما + (فاي ^ r)/(factorial(r))*p[ir] } p[i+1] = (c/(i))*suma # +1 لكل l'R } res <- p[i+1] return(res) } }

نقارن النتائج بين الترددات النسبية التي تم الحصول عليها من خلال المحاكاة والاحتمالات المحسوبة بواسطة دالة الكتلة الاحتمالية. بافتراض قيمتين للمعاملات${\displaystyle \lambda =2}$و${\displaystyle \phi =1}$يظهر ذلك في الجدول التالي،

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8
مُقدَّر${\displaystyle f_{i}}$	0.271	0.207	0.187	0.141	0.082	0.052	0.028	0.016	0.008
نظري${\displaystyle P(X=x_{i})}$	0.282	0.207	0.180	0.129	0.084	0.051	0.029	0.016	0.008