ميخائيل غروموف (عالم رياضيات)

في عام ١٩٧٨، قدّم غروموف مفهوم المتشعبات شبه المسطحة . ^[G78] تنصّ نظرية الكرة الربعية المضغوطة الشهيرة في الهندسة الريمانية على أنه إذا كان لمتشعب ريماني كامل انحناءات قطاعية قريبة بدرجة كافية من ثابت موجب مُعطى، فإن M يجب أن يكون مغطى بشكل محدود بكرة. في المقابل، يمكن ملاحظة من خلال القياس أن كل متشعب ريماني مغلق له مقاييس ريمانية تكون انحناءاتها القطاعية قريبة بشكل تعسفي من الصفر. بيّن غروموف أنه إذا تم كسر إمكانية القياس من خلال النظر فقط في المتشعبات الريمانية ذات القطر الثابت، فإن المتشعب المغلق الذي يقبل مثل هذا المقياس الريماني، بانحناءات قطاعية قريبة بدرجة كافية من الصفر، يجب أن يكون مغطى بشكل محدود بمتشعب صفري . يعتمد البرهان على إعادة تطبيق براهين نظرية بيبرباخ ومبرهنة مارغوليس . قدّم بيتر بوسر وهيرمان كارشر شرحاً وافياً لبرهان غروموف. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

في عام ١٩٧٩، أثبت ريتشارد شوين وشينغ -تونغ ياو أن فئة المشعبات الملساء التي تقبل مقاييس ريمان ذات انحناء قياسي موجب غنية طوبولوجيًا. وعلى وجه الخصوص، أثبتا أن هذه الفئة مغلقة تحت عملية الجمع المتصل والجراحة في بُعد مشترك لا يقل عن ثلاثة. ^{[ ٢٤ ]} استخدم برهانهما أساليب أولية للمعادلات التفاضلية الجزئية ، وتحديدًا ما يتعلق بدالة غرين . وقدّم غروموف وبلاين لوسون برهانًا آخر لنتائج شوين وياو، مستخدمين الإنشاءات الهندسية الأولية. ^[GL٨٠ب] كما بيّنا كيف يمكن تطبيق نتائج طوبولوجية بحتة، مثل نظرية التماثل-h لستيفن سميل ، لاستخلاص استنتاجات مثل حقيقة أن كل مشعب أملس مغلق ومتصل ببساطة ذي بُعد ٥ أو ٦ أو ٧ يمتلك مقياس ريمان ذو انحناء قياسي موجب. كما قدموا فئة جديدة من المشعبات القابلة للتوسيع ، والتي تتميز بشرط في نظرية التماثل . ^[GL80a] وأظهروا أن المقاييس الريمانية ذات الانحناء القياسي الموجب لا يمكن أن توجد على هذه المشعبات. ومن النتائج المترتبة على ذلك أن الطارة لا يمكنها دعم أي مقياس ريماني ذي انحناء قياسي موجب، وهو ما كان تخمينًا رئيسيًا سبق أن حله شون وياو في الأبعاد المنخفضة. ^{[ 25 ]}

في عام ١٩٨١، حدد غروموف قيودًا طوبولوجية، استنادًا إلى أعداد بيتي ، على المشعبات التي تقبل مقاييس ريمان ذات انحناء قطاعي غير سالب . ^[G81a] تمثلت الفكرة الرئيسية لعمله في الجمع بين نظرية مورس لكارستن غروف وكاتسوهيرو شيوهاما لدالة المسافة الريمانية، مع التحكم في دالة المسافة المُستمدة من نظرية مقارنة توبونوغوف ، بالإضافة إلى متباينة بيشوب-غروموف على حجم الكرات الجيوديسية. ^{[ ٢٦ ]} نتج عن ذلك أغطية مُتحكم بها طوبولوجيًا للمشعب بواسطة الكرات الجيوديسية، والتي يمكن تطبيق حجج التسلسل الطيفي عليها للتحكم في طوبولوجيا المشعب الأساسي. لا تزال طوبولوجيا الحدود الدنيا للانحناء القطاعي غير مفهومة تمامًا، ويظل عمل غروموف نتيجة أساسية. كتطبيق لنظرية هودج ، تمكن بيتر لي وياو من تطبيق تقديرات التدرج الخاصة بهما لإيجاد تقديرات مماثلة لأعداد بيتي، وهي أضعف من تقديرات جروموف ولكنها تسمح للمتشعب بأن يكون له حدود محدبة. ^{[ 27 ]}

في نظرية التراص الأساسية لجيف شيغر للمشعبات الريمانية، تُعدّ خطوة أساسية في بناء الإحداثيات على الفضاء النهائي هي تقدير نصف قطر الحقن للمشعبات المغلقة . ^{[ 28 ]} قام شيغر، وغروموف، ومايكل تايلور بتحديد موضع تقدير شيغر، موضحين كيفية استخدام مقارنة حجم بيشوب-غروموف للتحكم في نصف قطر الحقن بشكل مطلق من خلال حدود الانحناء وأحجام الكرات الجيوديسية. ^[CGT82] وقد استُخدم تقديرهم في عدد من المواضع التي يُمثّل فيها بناء الإحداثيات مشكلة مهمة. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} ومن الأمثلة المعروفة على ذلك، إثبات أن "نظرية عدم الانهيار" لغريغوري بيرلمان لتدفق ريتشي ، والتي تتحكم في الحجم، كافية للسماح بتطبيقات نظرية التراص لريتشارد هاميلتون . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} قام كل من شيغر وغروموف وتايلور بتطبيق تقدير نصف قطر الحقن لإثبات التحكم الغاوسي في نواة الحرارة ، على الرغم من أن هذه التقديرات قد تم تحسينها لاحقًا بواسطة لي وياو كتطبيق لتقديرات التدرج الخاصة بهم. ^{[ 27 ]}

قدّم غروموف إسهاماتٍ جوهرية في الهندسة الانقباضية . تدرس الهندسة الانقباضية العلاقة بين ثوابت الحجم (مثل الحجم أو القطر) لمتشعب M ومتشعباته الفرعية غير التافهة طوبولوجيًا (مثل المنحنيات غير القابلة للانكماش). في بحثه المنشور عام 1983 بعنوان "ملء المتشعبات الريمانية" ^[G83]، أثبت غروموف أن كل متشعب أساسي${\displaystyle M}$يحتوي المقياس الريماني على مسار جيوديسي مغلق غير قابل للانكماش بطول لا يتجاوز${\displaystyle C(n)\operatorname {Vol} (M)^{1/n}}$[ ^{35 ]​}

في عام ١٩٨١، قدّم غروموف مقياس غروموف-هاوسدورف ، الذي يمنح مجموعة جميع الفضاءات المترية بنية الفضاء المتري. ^[G81b] وبشكل أعم، يمكن تعريف مسافة غروموف-هاوسدورف بين فضاءين متريين، نسبةً إلى اختيار نقطة في كل فضاء. مع أن هذا لا يُعطي مقياسًا على فضاء جميع الفضاءات المترية، إلا أنه كافٍ لتعريف "تقارب غروموف-هاوسدورف" لمتتالية من الفضاءات المترية المُشار إليها إلى حدٍّ نهائي. صاغ غروموف نظريةً مهمةً في التراص في هذا السياق، مُعطيًا شرطًا يجب أن يكون بموجبه لمتتالية من الفضاءات المترية المُشار إليها و"الحقيقية" متتالية جزئية متقاربة. أعاد غروموف وآخرون صياغة هذا لاحقًا إلى مفهوم أكثر مرونةً يُعرف بالحد الفائق . ^[G93]

كان لنظرية غروموف في التراص أثرٌ بالغٌ في مجال نظرية الزمر الهندسية . فقد طبّقها لفهم الهندسة التقاربية لمقياس الكلمات لزمرة ذات نمو متعدد الحدود ، وذلك بأخذ نهاية عمليات إعادة التحجيم المختارة بعناية للمقياس. ومن خلال تتبّع نهايات التماثلات لمقياس الكلمات، تمكّن من إثبات أن فضاء المقياس النهائي له استمراريات غير متوقعة، وعلى وجه الخصوص أن زمرة التماثلات الخاصة به هي زمرة لي . ^[G81b] ونتيجةً لذلك، استطاع حسم حدسية ميلنور-وولف التي طُرحت في ستينيات القرن العشرين، والتي تنص على أن أي زمرة من هذا القبيل هي زمرة عديمة القوة عمليًا . وباستخدام النهايات الفائقة، يمكن دراسة بنى تقاربية مماثلة لفضاءات مترية أكثر عمومية. [ ^G93] وقدّم بروس كلاينر ، وبرنهارد ليب، وبيير بانسو ، من بين آخرين، تطورات مهمة في هذا الموضوع. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

ومن النتائج الأخرى نظرية غروموف للتراص ، التي تنص على أن مجموعة المشعبات الريمانية المتراصة ذات انحناء ريتشي ≥ c وقطر ≤ D تكون متراصة نسبيًا في مقياس غروموف-هاوسدورف. ^[G81b] وتُعدّ نقاط النهاية المحتملة لمتتاليات هذه المشعبات فضاءات ألكساندروف ذات انحناء ≥ c ، وهي فئة من الفضاءات المترية درسها بوراجو وغروموف وبيرلمان بالتفصيل عام 1992. ^[BGP92]

إلى جانب إلياهو ريبس ، قدم غروموف مفهوم المجموعات الزائدية . ^[G87]

تُعدّ نظرية غروموف للمنحنيات شبه الهولومورفية إحدى ركائز الدراسة الحديثة للهندسة التبسيطية . ^[G85] ورغم أنه لم يكن أول من تناول المنحنيات شبه الهولومورفية، فقد كشف عن ظاهرة "الفقاعات" التي تُوازي أعمال كارين أولينبيك السابقة حول وصلات يانغ-ميلز ، وأعمال أولينبيك وجوناثان ساكس حول الخرائط التوافقية . ^{[ 38 ] [ 39 ]} ومنذ أعمال ساكس وأولينبيك وغروموف، وُجدت ظاهرة الفقاعات هذه في عدد من السياقات الهندسية الأخرى. وقد مكّنت نظرية التراص المقابلة ، التي تُجسّد ظاهرة الفقاعات، غروموف من التوصل إلى عدد من الاستنتاجات التحليلية العميقة حول وجود المنحنيات شبه الهولومورفية. من أبرز نتائج غروموف، التي توصل إليها كنتيجة لنظرية الوجود وصيغة الرتابة للأسطح الدنيا ، " نظرية عدم الانضغاط "، التي قدمت سمة نوعية بارزة للهندسة التبسيطية. وباتباع أفكار إدوارد ويتن ، يُعد عمل غروموف أساسيًا أيضًا لنظرية غروموف-ويتن ، وهي موضوع واسع الانتشار يمتد ليشمل نظرية الأوتار والهندسة الجبرية والهندسة التبسيطية . ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]} ومن منظور آخر، كان عمل غروموف مصدر إلهام للكثير من أعمال أندرياس فلور . ^{[ 43 ]}

طوّر ياكوف إلياشبرغ وغروموف بعض النظريات الأساسية للمفاهيم التبسيطية للتحدب. ^[EG91] وقدّما مفاهيم محددة للتحدب، جميعها تُعنى بوجود عائلات من التحويلات التفاضلية ذات المعامل الواحد التي تُقلّص الشكل التبسيطي. وبيّنا أن التحدب سياق مناسب لتطبيق مبدأ h على مسألة بناء بعض التحويلات التبسيطية . كما قدّما مفاهيم مماثلة في هندسة التماس ؛ وقد درس إيمانويل جيرو لاحقًا وجود هياكل التماس المحدبة . ^{[ 44 ]}

• جائزة الجمعية الرياضية في موسكو (1971)
• جائزة أوزوالد فيبلين في الهندسة ( الجمعية الأمريكية للرياضيات ) (1981) ^{[ 45 ]}
• جائزة إيلي كارتان من أكاديمية العلوم في باريس (1984)
• جائزة اتحاد التأمينات في باريس (1989)
• جائزة وولف في الرياضيات (1993)
• جائزة ليروي ب. ستيل للمساهمة الرائدة في البحث ( الجمعية الأمريكية للرياضيات ) (1997) ^{[ 46 ]}
• ميدالية لوباتشيفسكي (1997) ^{[ 47 ]}
• جائزة بالزان للرياضيات (1999)
• جائزة كيوتو في العلوم الرياضية (2002)
• جائزة نيمرز في الرياضيات (2004) ^{[ 48 ]}
• جائزة بولياي في عام 2005 ^{[ 49 ]}
• جائزة أبيل في عام 2009 "لمساهماته الثورية في الهندسة" ^{[ 50 ]}

• متحدث مدعو في المؤتمر الدولي للرياضيات : 1970 (نيس)، ^{[ 51 ]} 1978 (هلسنكي)، ^{[ 52 ]} 1983 (وارسو)، ^{[ 53 ]} 1986 (بيركلي) ^{[ 54 ]}
• عضو أجنبي في الأكاديمية الوطنية للعلوم (1989)، والأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم (1989)، والأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب ، والجمعية الملكية (2011)، ^{[ 55 ]} والأكاديمية الوطنية للعلوم في أوكرانيا (2023). ^{[ 56 ]}
• عضو في الأكاديمية الفرنسية للعلوم (1997) ^{[ 57 ]}
• ألقى محاضرات بال توران التذكارية لعام 2007. ^{[ 58 ]}