المنطق الشرطي

يُرمز هنا إلى الشرط الذي تدرسه منطق شرطي معين بـ${\displaystyle \mathbin {>} }$، على سبيل المثال${\displaystyle A\mathbin {>} B}$يمثل هذا الرمز "إذا كان أ، فإن ب". هذا "الزاوية" الشرطية، التي لا ينبغي الخلط بينها وبين علامة أكبر من المكتوبة بنفس الشكل ، هي الترميز الذي استخدمه روبرت ستالناكر في ورقته البحثية التي أسست هذا المجال (انظر قسم  التاريخ أدناه)، ^{[ 5 ]} والذي تم اتباعه في العديد من المنشورات المرجعية الأخرى. ^{[ 10 ] [ 2 ]} تمت دراسة بعض المنطق الشرطي في سياق محدد هو الشروط المضادة للواقع ، وفي هذا السياق، قام ديفيد لويس بدراسة...${\displaystyle A\;\square \to B}$كما أن استخدام الرموز الخاصة بالافتراضات المضادة للواقع (والتي تُقرأ "لو كان أ هو الحال، لكان ب هو الحال") شائع أيضاً. ^{[ 3 ]}

في العديد من اللغات، تتفاعل جمل الشرط (if) بشكل وثيق مع تعابير مشروطة صريحة أو ضمنية مثل must و might و would . وفقًا لوجهة النظر "المقيدة" المؤثرة، لا تُدخل جملة الشرط (if) رابطًا ثنائيًا بحد ذاتها، بل تُقيد نطاق عامل مشروط أو كمي لاحق؛ وهذا يُساعد في تفسير التبديل الظاهر بين الجمل الشرطية والمشروطة في جمل مثل "إذا كان A ، فلا بد أن يكون B " و"لا بد أن يكون إذا كان A ، فإن B ". ^{[ 11 ]}

تعتمد النظريات الديناميكية والتعبيرية على هذه الفكرة من خلال التعامل مع الشرط الدلالي أو الشرط المضاد للواقع كتحديث لحالة معلوماتية أو لوحة نتائج حوارية. ووفقًا لهذه النظريات، تنشأ حالات عدم توافق بين "إذا كان أ ، ب " و"إذا كان أ ، فقد لا يكون ب " لأن التحديثين يفرضان قيودًا متضاربة على نفس مجموعة المعلومات المشتركة. وينطبق هذا المبدأ نفسه بشكل طبيعي على الأسئلة الشرطية ( إذا كان أ، فهل سيكون ب؟ ) وعلى الأوامر الشرطية ( إذا كان أ، فافعل ب )، والتي تُصاغ على أنها تحويلات لحالات الاستقصاء أو مشاكل القرار بدلاً من كونها تقييمات بسيطة للحقيقة. ^{[ 12 ] [ 3 ]}

وبهذه الطريقة، لا تُستخدم المنطق الشرطي فقط لنمذجة شروط الصدق في جمل "إذا" ، بل أيضاً لتحديد دورها في المحادثة والتخطيط واتخاذ القرارات، ولربط دلالات الجمل الشرطية ببراغماتية التأكيد والتساؤل والأمر. ^{[ 2 ]}

يؤكد الاستلزام المادي الكلاسيكي صحة عدد من المبادئ التي تبدو معقولة للوهلة الأولى، ولكنها تبدو إشكالية بالنسبة لجمل الشرط العادية . وقد سلطت أعمال مبكرة لآدامز وستالناكر ولويس الضوء على أمثلة مضادة لتقوية الشرط السابق (من "إذا كان أ، فإن ج " نستنتج "إذا كان أ و ب ، فإن ج ")، وللتعدي (ربط الجمل الشرطية)، وللتناقض (من "إذا كان أ، فإن ب " نستنتج "إذا لم يكن ب، فإن أ "). ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ] [ 3 ]}

تُبطل المنطق الشرطي الحديث عادةً بعض هذه المبادئ على الأقل. كما أنها تختلف فيما يتعلق بمخططات أكثر تحديدًا مثل:

• أو-إلى-إذا (من${\displaystyle A\lor B}$استدلال${\displaystyle \neg A\mathbin {>} B}$);
• الاستيراد والتصدير (${\displaystyle A\mathbin {>} (B\mathbin {>} C)}$ما يعادل${\displaystyle (A\land B)\mathbin {>} C}$);
• تبسيط المقدمات الانفصالية (من${\displaystyle (A\lor B)\mathbin {>} C}$استنتج كليهما${\displaystyle A\mathbin {>} C}$و${\displaystyle B\mathbin {>} C}$).

يرتبط وضع هذه المخططات بقضايا دقيقة تتعلق بكيفية عمل ترتيبات التشابه أو وظائف الاختيار، وكيفية تحديث السياقات، وكيفية تفاعل العبارات الشرطية مع المقدمات الأساسية. على سبيل المثال، تميل الدلالات المتغيرة الصرامة التي تُقيّم العبارات الشرطية عند أقرب عوالم سابقة إلى أن تكون غير رتيبة من اليسار: إذ يمكن أن تؤدي إضافة شروط إضافية إلى المقدمة إلى تحويل الانتباه إلى عوالم أبعد، وبالتالي إفشال الاستدلال. ^{[ 2 ] [ 3 ]} تُعدّ الأسئلة المتعلقة بالمخططات التي يجب اعتمادها أساسية لتصنيف المنطق الشرطي، وتساعد في تحفيز مجموعة الأنظمة ( CK ، B ، V ، VC ، C2 وغيرها) التي نناقشها في الأقسام اللاحقة. ^{[ 2 ] [ 13 ]}

ترتبط المنطق الشرطي ارتباطًا وثيقًا بالمنطق غير الرتيب وبالصيغ الرسمية للذكاء الاصطناعي للاستدلال الافتراضي والقابل للتراجع. ويمكن فهم النماذج التفضيلية والمرتبة لعلاقات النتائج غير الرتيبة، التي قدمها كراوس وليمان وماغيدور، على أنها تجريد من الرابط الشرطي الصريح والعمل مباشرةً مع علاقة النتائج.${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$التي تُشفّر حالات افتراضية من الشكل "عادةً، إذا كان أ ، فإن ب ". يتوافق نظامهم P للاستلزام التفضيلي، والنظام العقلاني الأقوى R ، مع الأجزاء "المسطحة" من العديد من المنطق الشرطي المتفاوت في الصرامة، بما في ذلك نظام بورغيس B وأنظمة لويس للافتراضات المضادة للواقع. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

من منظور الذكاء الاصطناعي، تدعم هذه المنطقيات التمثيل والاستدلال الآلي بقواعد تتضمن استثناءات: على سبيل المثال، أن الطيور تطير عادةً، أو أن أحد المكونات يعمل بشكل طبيعي ما لم يُعرف أنه معيب. وقد استُخدم التوافق بين المنطق الشرطي وعلاقات النتائج غير الرتيبة لنقل النتائج والتقنيات بين المجالين، ولتصميم أدوات إثبات النظريات للمنطق الشرطي، ولتطبيقها في التشخيص والتخطيط وتمثيل المعرفة. ^{[ 8 ] [ 14 ] [ 15 ]}

تظل بعض الأنظمة منطقية وظيفيًا، لكنها تستخدم أكثر من قيمتين صحيحتين. قدّم لوكاسيفيتش منطقًا ثلاثي القيم؛ وجادل دي فينيتي لاحقًا بأن عبارة "إذا كان أ، فإن ب " يجب أن تكون باطلة عندما يكون أ خاطئًا (أي عندما يُلغى الرهان). عادةً ما تُثبت الأنظمة ثلاثية القيم الحديثة (مثل منطق كوبر/كانتويل والمنطق المستوحى من دي فينيتي) صحة الاستدلال الشرطي ، لكنها تُبطل الاستدلال العكسي والتناقض . وتهدف هذه الأنظمة إلى منع مفارقات الاستلزام المادي والربط بالحدس الافتراضي/الاحتمالي. ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

تعتبر التقاليد القصدية السائدة العبارات الشرطية بمثابة تحديد كمي للعوالم المتاحة أو المتشابهة.

• الشرط الصارم (CI Lewis):${\displaystyle A\mathbin {>} B\;\equiv \;\Box (A\supset B)}$قوي، لكنه أقوى من أن يُفهم في اللغة الطبيعية (يُثبت التعزيز، والتعدي، والتناقض). ^{[ 27 ]}
• معيار ستالناكر-لويس (متغير الصرامة): تعتمد الصدق على أقرب العوالم من النوع A (مع الأخذ في الاعتبار دالة التشابه أو الاختيار المُقدمة سياقيًا). هذا يُبطل التقوية والتعدي والتناقض، مما يُحسّن مُلاءمة البيانات اللغوية. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ضمن هذه العائلة، تتراوح الأنظمة البديهية من المنطق الطبيعي الأساسي ( CK ) إلى منطق بورغيس B ، ومنطق لويس V/VW/VC ، ومنطق ستالناكر C2 . يحتفظ العديد منها بقواعد مثل التضعيف الأيمن و K الشرطي، لكنها ترفض المخططات الكلاسيكية مثل تقوية المقدمة، والتعدي، والتناقض. ^{[ 13 ] [ 28 ] [ 19 ]}

في الذكاء الاصطناعي، يُنمذج مبدأ "إذا كان أ، فعادةً ب " من خلال ترتيبات التفضيل على الحالات. تُحدد أنظمة كراوس وليمان وماغيدور C/P/R النتائج العقلانية القابلة للتراجع؛ ويتطابق الجزء المسطح (غير المتداخل) من العديد من المنطق الشرطي مع نظام P الخاص بهم . ^{[ 20 ] [ 29 ]}

يُقيّم علم دلالات المقدمات (أو مصادر الترتيب) عبارة "إذا كان أ، فإن ج " من خلال الاحتفاظ بمجموعة فرعية قصوى من المقدمات الأساسية المتوافقة مع أ، والتحقق مما إذا كان ج يتبعها. وهو يُجسّد حساسية السياق، ويُكافئ (عبر النظريات) علم دلالات الترتيب القائم على التشابه. ^{[ 21 ] [ 23 ] [ 30 ]}

اقترح آدمز أنه بالنسبة للعبارات الدلالية البسيطة (غير المتداخلة)، فإن احتمال "إذا كان أ فإن ب " يساوي الاحتمال الشرطي${\displaystyle P(B\mid A)}$تُؤكد علاقة النتيجة التي وضعها (والتي تحافظ على احتمالية عالية) صحة نظام KLM P ، وترفض التقوي والتعدي والتناقض. ^{[ 4 ]} تُظهر نتائج لويس المتعلقة بالتفاهة أن تحديد جميع الاحتمالات الشرطية باحتمالات العبارات الشرطية (التي قد تكون متداخلة) يؤدي إلى قيود تافهة؛ ففي ظل دلالات ستالناكر، يتطابق احتمال العبارة الشرطية مع التصور على المقدمة، وليس مع التكييف البايزي. ^{[ 31 ]} تستكشف الأعمال اللاحقة نماذج فضاء المنتج والتنبؤات القائمة على التماسك لمركبات العبارات الشرطية. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

في نموذج AGM لمراجعة المعتقدات، يُقبل الافتراض "إذا كان A فإن B " إذا وفقط إذا تم تصديق B بعد إجراء تعديل طفيف على مجموعة المعتقدات بواسطة A. يمكن فهم هذا على أنه صيغة رسمية لاختبار رامزي . وبالاقتران مع مسلمات AGM القياسية ، ينتج عن ذلك نظرية بديهية منسوبة إلى غاردنفورس، مما دفع إلى اقتراح تخفيف المسلمات، أو تقييد المركبات، أو استبدال المراجعة بالتحديث/التصوير. ^{[ 9 ]}

إلى جانب أهمية الموضوع في منطق الصلة ، يشترط العديد من المنظرين أن يُحدث A فرقًا (احتماليًا أو معرفيًا) عن B حتى يكون الشرط قابلًا للتأكيد أو صحيحًا. وهذا ما يحفز درجات التأكيد (مثل: P(B|A) > P(B) ) ومبادئ المنطق الترابطي ، غالبًا على حساب قواعد مثل إضعاف اليمين. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

معظم الأنظمة العادية لـ${\displaystyle \mathbin {>} }$تُصاغ باستخدام القواعد التالية، حيث${\displaystyle \vDash }$وهي نتيجة كلاسيكية و${\displaystyle A,B,C,D}$هي صيغ:

• (MP) Modus ponens : من${\displaystyle A}$و${\displaystyle A\to B}$، استدلال${\displaystyle B}$.
• (LLE) التكافؤ المنطقي الأيسر : من${\displaystyle \vDash A\equiv B}$، استدلال${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C)}$.
• (RW) ضعف اليمين : من${\displaystyle \vDash C\to D}$، استدلال${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\to (A\mathbin {>} D)}$.
• (RCK) الشرط K : من${\displaystyle (C_{1}\land \cdots \land C_{n})\to D}$، استدلال${\displaystyle [(A\mathbin {>} C_{1})\land \cdots \land (A\mathbin {>} C_{n})]\to (A\mathbin {>} D)}$، لأي${\displaystyle n\geq 0}$.

يُطلق على المنطق الشرطي غالبًا اسم المنطق الطبيعي عندما يحتوي على جميع التكرارات المنطقية ويكون مغلقًا تحت (MP) و(LLE) و(RCK)؛ ويستلزم (RCK) بعد ذلك عدة مبادئ أخرى مثل الحقيقة المنطقية، والتضعيف الأيمن، و"و" أدناه. ^{[ 2 ] [ 19 ]}

يمكن وصف العديد من الأنظمة بشكل أكثر ملاءمة من خلال تحديد أي من المبادئ التخطيطية التالية التي تحققها (جميع المخططات هي مخططات من الشكل "لجميع الصيغ").${\displaystyle A,B,C}$..."): ^{[ 2 ]}

الحقيقة المنطقية ( LT )

${\displaystyle A\mathbin {>} \top }$

الهوية (ID)

${\displaystyle A\mathbin {>} A}$

و

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} (B\land C))}$

أو

${\displaystyle ((A\mathbin {>} C)\land (B\mathbin {>} C))\to ((A\lor B)\mathbin {>} C)}$

CCut (التعدي الحذر)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land ((A\land B)\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} C)}$

CMon (الرتابة الحذرة)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to ((A\land B)\mathbin {>} C)}$

المعاملة بالمثل

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (B\mathbin {>} A))\to ((A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C))}$

RMon (الرتابة العقلانية)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land \neg (A\mathbin {>} \neg C))\to ((A\land C)\mathbin {>} B)}$

SM (أقوى من المادة)

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\to (A\to B)}$

CS (الاكتفاء العطفي)

${\displaystyle (A\land B)\to (A\mathbin {>} B)}$

CEM (الوسط المستبعد المشروط)

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\lor (A\mathbin {>} \neg B)}$

تستند هذه المبادئ إلى كل من دلالات الاختيار والترتيب للشروط، ويمكن اشتقاق العديد منها في أنظمة أقوى بدلاً من اعتبارها بديهيات أولية. ^{[ 2 ] [ 13 ]}

تُعدّ منطقتا تشيلاس الشرطيتان الأساسيتان Ck و CK نقطة انطلاق ملائمة ، إذ تتوافقان مع دلالات دالة الاختيار الأساسية للشروط. ^{[ 13 ] [ 2 ]}

• Ck هو النظام الأدنى الذي يحتوي على جميع التكرارات المنطقية، وهو مغلق تحت (MP) و(RCK). ويمكن اعتباره نظامًا أساسيًا "مفرطًا في القصد": فهو يُثبت صحة (RCK) ولكنه لا يُثبت صحة (LLE).
• يُضيف CK (LLE) إلى Ck. وبصورة مكافئة، يُعد CK أصغر منطق يحتوي على جميع التكرارات المنطقية ومغلق تحت (MP) و(LLE) و(RCK). في CK، تُعتبر المبادئ (LT) و(RW) و(AND) نظريات، بينما لا يتم التحقق من صحة المبادئ الأقوى مثل (ID) و(OR) و(CMon) و(Rec) و(RMon) و(SM) و(CS) و(CEM) بشكل عام. ^{[ 2 ]}

غالباً ما يُنظر إلى CK على أنه النظير الشرطي للمنطق الموجه العادي K: فهو يضع بديهيات للدلالات الأساسية المتغيرة الصارمة مع وظائف اختيار أو ترتيبات تشابه عشوائية، دون شروط إطار إضافية. ^{[ 2 ]}

بالاستناد إلى CK، يتم الحصول على مجموعة من المنطق الأقوى بإضافة مخططات أخرى. يسلط إيغري وروت الضوء على تسعة أنظمة "بارزة" هي Ck وCK وB وSS وNP وV وVW وVC وC2، وجميعها طبيعية بالمعنى المذكور أعلاه. ^{[ 2 ] [ 18 ]}

ب

يُعدّ نظام بورغيس B أصغر امتداد لنظام CK الذي تتحقق فيه العلاقات (ID) و(OR) و(CMon)؛ ومع (RCK) و(LLE)، تُنتج هذه العلاقات أيضًا العلاقات (AND) و(CCut) و(Rec). في دلالات الترتيب، يتوافق B مع النماذج التي يكون فيها كل عالم مزودًا بترتيب تشابه انعكاسي ومتعدٍ. ^{[ 18 ] [ 2 ]}

V

يُضيف منطق لويس V إلى B المبدأ (RMon). دلاليًا، يُقابل هذا تعزيز ترتيب التشابه إلى ترتيب ضعيف (نمطي، شبيه بالترتيب الجزئي الكلي) في كل عالم تقييم. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

فولكس فاجن

يُوسّع نظام VW نطاق V من خلال التحقق من صحة (SM)، بحيث يستلزم كل شرط الشرط المادي المقابل. وهذا ما يجعل VW مناسبًا كمنطق "افتراضي مضاد" أضعف، مع الحفاظ على قاعدة الاستنتاج بالطريقة المعتادة. ^{[ 2 ]}

رأس المال الاستثماري

يضيف منطق لويس "الرسمي" للافتراضات المضادة للواقع ( VC ) (CS) إلى VW. وبالتالي، فإن VC هو أصغر منطق طبيعي يمتد من V ويتحقق من صحة كل من (SM) و(CS)؛ في دلالات المجال عند لويس، يتوافق هذا مع الترتيبات الجزئية الكلية مع قيود إضافية تضمن أنه كلما كان كلاهما${\displaystyle A}$و${\displaystyle A\land B}$ممكن،${\displaystyle A\land B}$–العوالم من بين الأقرب${\displaystyle A}$– العوالم. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

C2

يمكن الحصول على منطق ستالناكر C2 من VC باستبدال (CS) بالمنطق الأقوى (CEM). وبالتالي، فإن C2 هو VC + (CEM)، وهو يُميّز نماذج ستالناكر المُبسّطة التي يختار فيها كل مُقدّمة عالماً مُقدّماً أقرب فريداً عند كل نقطة تقييم. ^{[ 5 ] [ 7 ] [ 2 ]}

SS

يُستخلص نظام بولوك SS بإضافة (SM) و(CS) مباشرةً إلى B (بدلاً من V). وهو يُؤكد صحة العديد من القوانين نفسها التي يُؤكدها VC، ولكنه يعتمد على ترتيبات التشابه الجزئية، بدلاً من ترتيبات التشابه الكلي. ^{[ 36 ] [ 2 ]}

NP

يُعد نظام نيل (NP) الخاص بديلجراند امتدادًا آخر لنظام CK: فهو، مثل النظام B، يُؤكد صحة (ID) و(AND) و(OR) و(CCut)، ولكنه يُؤكد صحة (RMon) بدلًا من (CMon). وهذا يُبين أن الشكلين الحذر والعقلاني للرتابة مستقلان عن نظام CK. ^{[ 37 ] [ 2 ]}

تتحقق جميع هذه الأنظمة من صحة (LT) و(AND)، وتختلف في حالة (ID) و(OR) و(CCut) و(CMon) و(Rec) و(RMon) و(SM) و(CS) و(CEM)، ولا يتحقق أي منها من صحة الرتابة الكاملة أو التعدي أو التناقض لـ${\displaystyle \mathbin {>} }$[ ^{2 ]​}

يُستخدم عرض بديل، ولكنه مكافئ، للعديد من الأنظمة المذكورة أعلاه على نطاق واسع في تقليد لويس-نوت، وهو مناسب عند ربط المنطق الشرطي مباشرةً بدلالات دالة الاختيار. ^{[ 19 ] [ 38 ]} في هذا النوع من البديهيات، يُعتبر ما يلي بديهيًا:

• جميع التكرارات المنطقية في اللغة مع${\displaystyle \mathbin {>} }$؛
• القاعدة (MP)؛
• إحدى أو كلتا قاعدتي "الاستبدال"

(RCEC) من${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$، استدلال${\displaystyle (\chi \mathbin {>} \varphi )\leftrightarrow (\chi \mathbin {>} \psi )}$؛

(RCEA) من${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$، استدلال${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi )}$؛

• والقاعدة

(RCK) كما هو مذكور أعلاه.

في هذا السياق، يمكن وصف أنظمة لويس V و VW و VC و C2 الخاصة بستالناكر بأنها أصغر منطق شرطي يحتوي على جميع التكرارات، ومغلق تحت (MP) و (RCEC) و (RCK)، ويحتوي على جميع حالات الاستبدال لمجموعات مناسبة من المخططات مثل:

بطاقة تعريف${\displaystyle \varphi \mathbin {>} \varphi }$؛

MP/SM${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\to (\varphi \to \psi )}$؛

تعديل${\displaystyle (\neg \varphi \mathbin {>} \varphi )\to (\psi \mathbin {>} \varphi )}$؛

مسؤول أمن المعلومات${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land (\psi \mathbin {>} \varphi ))\to ((\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi ))}$؛

السيرة الذاتية${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land \neg (\varphi \mathbin {>} \neg \chi ))\to ((\varphi \land \chi )\mathbin {>} \psi )}$؛

علوم الحاسوب${\displaystyle (\varphi \land \psi )\to (\varphi \mathbin {>} \psi )}$؛

CEM${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\lor (\varphi \mathbin {>} \neg \psi )}$.

على سبيل المثال، يتضمن أحد العروض التقديمية القياسية ما يلي: ^{[ 19 ] [ 2 ]}

• V كأصغر منطق مع (RCEC) و (RCK) ومخططات ID و MOD و CSO و CV؛
• VW كـ V + (SM)؛
• VC as VW + (CS);
• C2 كـ VC مع استبدال (CS) بـ (CEM).

تُعادل هذه البديهيات تلك الموضحة في مخططات الجدول 6 أعلاه، وكثيراً ما تُستخدم في نظرية البرهان والاستدلال الآلي للمنطق الشرطي. ^{[ 15 ]}

في مجال الذكاء الاصطناعي والاستدلال غير الرتيب، من الشائع العمل، ليس بشكل مباشر مع رابط${\displaystyle \mathbin {>} }$ولكن مع علاقة نتيجة قابلة للتراجع${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$يهدف إلى رصد القيم الافتراضية من النوع "عادةً، إذا${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle B}$". قام كل من كراوس وليمان وماغيدور بوضع ثلاثة أنظمة مركزية من هذا القبيل، والمعروفة الآن باسم C وP وR. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

تُحدد هذه الأنظمة بقواعد على${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$مثل:

• (ID _~ ) الهوية:${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }A}$.
• (LLE _~ ) التكافؤ المنطقي الأيسر: إذا${\displaystyle \vDash A\equiv B}$و${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$، ثم${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$.
• (RW _~ ) ضعف اليمين: إذا${\displaystyle \vDash C\to D}$و${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$، ثم${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }D}$.
• (قطع حذر _~ ) قطع حذر: من${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$و${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$، استدلال${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$.
• (CMon _~ ) رتابة حذرة: من${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$و${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$، استدلال${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$.
• (و _~ ) و: من${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$و${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$، استدلال${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }(B\land C)}$.
• (أو _~ ) أو: من${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$و${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$، استدلال${\displaystyle A\lor B\vdash _{\!\sim }C}$.
• (RMon _~ ) الرتابة العقلانية: من${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$وليس${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }\neg B}$، استدلال${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$.

وعلى هذا الأساس يتم تعريف ما يلي:

• النظام ج (التراكمي): أصغر علاقة تحقق (ID _~ )، (LLE _~ )، (RW _~ )، (CCut _~ ) و (CMon _~ ) (وبالتالي (AND _~ )).
• النظام P (التفضيلي): C زائد (أو _~ )؛ وهو نظام سليم وكامل للنماذج التفضيلية ويتوافق مع "المسطح" (${\displaystyle L_{1}}$) جزء من عدة منطق شرطي مثل B و VC. ^{[ 8 ] [ 2 ]}
• النظام R (العقلاني): P زائد (RMon _~ )؛ إنه كامل بالنسبة للنماذج التفضيلية المرتبة (المرتبة كليًا).

عبر ترجمات من النوع "${\displaystyle A\mathbin {>} B}$يتم قبولها إذا${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$يمكن اعتبار هذه الأنظمة غير الرتيبة بمثابة الأجزاء المسطحة للعديد من منطق الاختيار الشرطي الموصوف أعلاه، مما يربط المنطق الشرطي بمراجعة معتقدات AGM والاستدلال الافتراضي. ^{[ 8 ] [ 9 ]}