منطق الصلة

منطق الصلة ، أو المنطق ذو الصلة ، هو نوع من المنطق غير الكلاسيكي الذي يشترط وجود علاقة صلة بين مقدمة ونتائج الاستلزام . ويمكن اعتباره مجموعة من المنطق البنيوي الفرعي أو المنطق الموجه . ويُطلق عليه عمومًا، وإن لم يكن بشكل قاطع، اسم المنطق ذي الصلة من قِبل علماء المنطق البريطانيين، وخاصة الأستراليين ، بينما يُطلق عليه علماء المنطق الأمريكيون اسم منطق الصلة .

فيما يتعلق بالقيود النحوية لحساب القضايا ، من الضروري، ولكن ليس الكافي، أن تشترك المقدمات والنتيجة في صيغ ذرية (صيغ لا تحتوي على أي روابط منطقية ). في حساب المسندات ، تتطلب الصلة مشاركة المتغيرات والثوابت بين المقدمات والنتيجة. ويمكن ضمان ذلك (إلى جانب شروط أقوى) من خلال، على سبيل المثال، وضع قيود معينة على قواعد نظام الاستدلال الطبيعي. على وجه الخصوص، يمكن تكييف الاستدلال الطبيعي على نمط فيتش لاستيعاب الصلة عن طريق إضافة علامات في نهاية كل سطر من تطبيق الاستدلال تشير إلى المقدمات ذات الصلة بنتيجة الاستدلال. ويمكن تعديل حسابات المتتاليات على نمط جنتزن عن طريق إزالة قواعد الإضعاف التي تسمح بإدخال صيغ عشوائية على الجانب الأيمن أو الأيسر من المتتاليات .

من السمات البارزة لمنطق الصلة أنه منطق متناقض : فوجود تناقض لن يؤدي بالضرورة إلى " انفجار ". وهذا يتبع من حقيقة أن الشرط الذي له مقدمة متناقضة ولا يشترك في أي حروف قضوية أو محمولة مع النتيجة لا يمكن أن يكون صحيحًا (أو قابلاً للاستنتاج).

تحفيز

تُؤكد النظريات الكلاسيكية للاستلزام صحة مجموعة من "المفارقات" - على سبيل المثال، أن أي حقيقة تتبع من تناقض، أو أن أي عبارة تستلزم تحصيل حاصل - لأن الشروط المادية والصارمة تتجاهل ما إذا كانت المقدمة والنتيجة تتعلقان بالموضوع نفسه. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} يعالج منطق الصلة هذا الأمر من خلال اشتراط وجود صلة مناسبة بين المقدمات والنتيجة. أحد البدائل النحوية المألوفة هو مشاركة المتغيرات (أو "مشاركة الموضوع"): لا يوجد استدلال صحيح (ولا يوجد شرط صحيح). $A\to B$ ) ما لم تشترك المقدمة والنتيجة في الذرات؛ وتفرض أنظمة الاستدلال الطبيعي والتسلسلي هذا الشرط من خلال تتبع الاستخدام الفعلي للمقدمات وتقييد القواعد الهيكلية مثل التضعيف. ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]} يُعدّ اشتراك المتغيرات ضروريًا ولكنه غير كافٍ للملاءمة، لذا تجمع الصيغ المعاصرة بين القيود النظرية للإثبات والشروط النظرية للنموذج. ^{[ 1 ]}

من النتائج البارزة التناقض الظاهري : فالتناقضات لا تُفعّل مبدأ الانفجار. في منطق الصلة، لا يكون الشرط ذو المقدمة المتناقضة الذي لا يشترك في حروف القضايا (أو المسندات) مع نتيجته صحيحًا تلقائيًا، مما يمنع التفاهة مع الحفاظ على روابط الاستدلال ذات الدلالة. ^{[ 2 ]}^{[ 1 ]}

نقد

انتقد ديفيد لويس ، أحد المدافعين عن المنطق الكلاسيكي ، فكرة الصلة التي تحفز منطق الصلة (على الأقل بالنسبة لأندرسون وبيلناب ، اللذين يُعد عملهما الأكثر تأثيرًا في هذا الموضوع) من خلال إنشاء تحليل رسمي لـ " الموضوعية " عبر بناء رسمي لـ "المواضيع"، وبيان أنه إذا كانت مقدمة ما تحافظ على صحة النتيجة وفقًا للمنطق الكلاسيكي، فإنها تكون ذات صلة بها تلقائيًا، وبالتالي، من وجهة نظر لويس، لا توجد مغالطات تتعلق بالصلة تحافظ على صحة النتيجة وفقًا للمنطق الكلاسيكي . ^{[ 4 ]}

تاريخ

سبقت الانتقادات المبكرة للاستلزام الكلاسيكي منطقَ الصلة. فقد شكك هيو ماكول في مطابقة "إذا" مع الاستلزام الصادق؛ ^{[ 5 ]} ودفع ذلك سي. آي. لويس إلى ابتكار المنطق الموجه، وتحديدًا الاستلزام الصارم ، على أساس أن المنطق الكلاسيكي يسمح بمفارقات الاستلزام المادي، مثل مبدأ أن الكذب يستلزم أي قضية . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} (على سبيل المثال، "إذا كانت هذه المقالة من موسوعة Uncyclopedia ، فإن اثنين زائد اثنين يساوي خمسة" صحيحة عند ترجمتها كاستل مادي، لأن هذه المقالة من ويكيبيديا . لكنها تبدو خاطئة بديهيًا إذا افترضنا أن الاستلزام الصحيح يجب أن يربط المقدمة والنتيجة معًا بمفهوم ما للصلة؛ وسواء كانت هذه المقالة من Uncyclopedia أم لا، لا يبدو أن لها أي صلة بما إذا كان اثنان زائد اثنين يساوي خمسة). ومع ذلك، فقد سمح الاستلزام الصارم عند لويس ببعض الاستدلالات غير ذات الصلة، والمعروفة بمفارقات الاستلزام الصارم .

طُرح منطق الصلة عام 1928 على يد الفيلسوف السوفيتي إيفان إي. أورلوف (1886 - حوالي 1936) في بحثه الرياضي البحت "منطق توافق القضايا" المنشور في مجلة "Matematicheskii Sbornik ". تظهر الفكرة الأساسية للاستلزام ذي الصلة في منطق العصور الوسطى، وقد قام كل من أكرمان [ ⁸^] وموه [ ⁹^] وتشرش ^[¹⁰^] بأعمال رائدة في هذا ^المجال خلال خمسينيات القرن العشرين. وبالاستناد إلى هذه الأعمال، كتب نويل بيلناب وآلان روس أندرسون (مع آخرين) العمل الأبرز في هذا الموضوع، ^" الاستلزام: منطق الصلة والضرورة" في سبعينيات القرن العشرين (نُشر المجلد الثاني في التسعينيات). ركزوا في هذا العمل على كل من أنظمة الاستلزام وأنظمة الصلة، حيث يُفترض أن تكون الاستلزامات من النوع الأول ذات صلة وضرورية في آن واحد.

في سالف العصر والأوان، كانت المنطق الموجه "بلا دلالات". وبوجود عالم حقيقي G، ومجموعة عوالم K، وعلاقة R تربط بين الاحتمالات النسبية للعوالم، لاحظ شاول كريبكي هذا الوضع، ورأى أنه قابل للتفسير شكليًا، فقام بإنشاء نماذج هيكلية . وسرعان ما أصبح الجميع يُنشئون نماذج هيكلية، بعضها معياري ، وبعضها زمني ، وبعضها معرفي ، وفقًا لشروط العلاقة الثنائية R.
لم تكن أي من النماذج التي وضعها كريپكي، ولا هينتيكا ، ولا ثوماسون ، ولا زملاؤهم، ذات صلة. وقد أثار هذا الأمر حزنًا عميقًا في مدينة بيتسبرغ ، موطن رواد الصناعة الأمريكية . كانت صناعة المنطق ممثلة هناك بشركة أندرسون ، بيلناب وأبنائه، مكتشفي الاستلزام، ومُفندي المُستلزمات المادية ، والمُستلزمات الصارمة ، وكل ما ترتب على زيفها وتناقضاتها . بل إن أندرسون وبيلناب كانا يُصدران منطقًا جديدًا كل عام تقريبًا، ويُطلقان عليه أسماءً مثل E، أو R، أو E₁، أو P–W، وكانا يعتبران كل منطق من هذا القبيل ذا صلة. وقد لاقت هذه المنطق استحسانًا من كثيرين، لأنها تُجسد البديهيات، ولكن استهزأ بها كثيرون آخرون لافتقارها إلى الدلالات .
تسربت أنباء عن ابتكار أندرسون وبيلناب لمنطقٍ خالٍ من الدلالات. اعتبر البعض ذلك أمرًا رائعًا وفرحوا بظهور المنطق الصحيح الوحيد بيننا في صورة بناء نحوي بحت، متحررًا من كل تلك التعقيدات النظرية للمجموعات . بينما رأى آخرون أن المنطق ذي الصلة ليس إلا بناء نحوي محض. وبعد دراسة الوضع، وجد روتلي ، وبشكل مستقل تمامًا ، أوركهارت ، شرحًا للمفهوم الأساسي للاستلزام ذي الصلة. وبالاستناد إلى روتلي [1972]، وبمساعدة من زملائنا - دان وأوركهارت على وجه الخصوص، مع الشكر أيضًا لأندرسون وبيلناب وروتلي وودروف - نستخدم هذه الرؤى لتقديم دلالات رسمية لنظام R للاستلزام ذي الصلة، وتزويده ببراهين على الاتساق والشمولية المتعلقة بتلك الدلالات.

— ريتشارد سيلفان (الذي كان يُعرف آنذاك باسم روتلي) وروبرت ك. ماير، دلالات الاستلزام ^[¹¹^]

شهدت نظرية النماذج طفرةً نوعيةً في سبعينيات القرن العشرين مع ظهور دلالات روتلي-ماير العلائقية الثلاثية، بالإضافة إلى معالجة روتلي (النجمة) للنفي، مما وفر أطرًا سليمةً وكاملةً للعديد من أنظمة الصلة، وشرح كيف تُسهم الصلة في حلّ المفارقات الكلاسيكية. ^{[ 12 ]}^{[ 1 ]} بالتوازي، طوّر ألاسدير أوركهارت نماذج تشغيلية/شبه شبكية للأجزاء الإيجابية، ^{[ 13 ]} وقدّم كيت فاين نماذج بناء بديلة ووجهات نظر جبرية ساهمت في توضيح نطاق الشروط ذات الصلة. ^{[ 14 ]}

منذ أواخر سبعينيات القرن العشرين، تبلورت مجموعة من الأنظمة المنطقية، بدءًا من المنطق الأضعف مثل B (الذي يُعتبر غالبًا أساسًا أدنى للصلة) وصولًا إلى R و E وامتداداتهما، إلى جانب الدلالات الجبرية (مثل أحاديات دي مورغان) وأنظمة البرهان (حسابات العرض، والاستنتاج الطبيعي). ^{[ 15 ]}^{[ 2 ]} ربطت أعمال لاحقة منطق الصلة بالاتساق الجزئي والمنطق البنيوي الفرعي بشكل أوسع، وحسّنت الأنظمة الخالية من الانكماش لتجنب التفاهة على غرار كاري، واستكشفت تطبيقاتها في السياقات المعيارية والنمطية والحسابية. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

البديهيات

ركزت التطورات المبكرة في منطق الصلة على الأنظمة الأقوى. وقد أدى تطوير دلالات راوتلي-ماير إلى ظهور مجموعة من المنطق الأضعف. وأضعف هذه المنطق هو منطق الصلة B، الذي يُصاغ وفقًا للمسلمات والقواعد التالية.

$A\to A$
$A\land B\to A$
$A\land B\to B$
$(A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)$
$A\to A\lor B$
$B\to A\lor B$
$(A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)$
$A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)$
$\lnot \lnot A\to A$

القواعد هي التالية.

$A,A\to B\vdash B$
$A,B\vdash A\land B$
$A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)$
$A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)$
$A\to \lnot B\vdash B\to \lnot A$

يمكن الحصول على منطق أقوى عن طريق إضافة أي من البديهيات التالية.

$(A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)$
$(A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)$
$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
$(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
$(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
$(A\land (A\to B))\to B$
$(A\to \lnot A)\to \lnot A$
$(A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))$
$A\to ((A\to B)\to B)$
$((A\to A)\to B)\to B$
$A\lor \lnot A$
$A\to (A\to A)$

هناك بعض المنطق البارز الأقوى من B والذي يمكن الحصول عليه عن طريق إضافة بديهيات إلى B على النحو التالي.

بالنسبة لـ DW، أضف البديهية 1.
بالنسبة لـ DJ، أضف البديهيتين 1 و2.
بالنسبة لـ TW، أضف البديهيات 1، 2، 3، 4.
بالنسبة لـ RW، أضف البديهيات 1، 2، 3، 4، 8، 9.
بالنسبة لـ T، أضف البديهيات 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 11.
بالنسبة لـ R، أضف البديهيات من 1 إلى 11.
بالنسبة لـ E، أضف البديهيات من 1 إلى 7، و10، و11. $((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C$ ، و $\Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)$ ، أين $\Box A$ يُعرَّف بأنه $(A\to A)\to A$ .
بالنسبة لـ RM، أضف جميع البديهيات الإضافية.

نماذج

نماذج روتلي-ماير

تُعدّ نظرية النموذج القياسي لمنطق الصلة هي دلالات العلاقات الثلاثية لروتلي-ماير التي طورها ريتشارد روتلي وروبرت ماير . إطار روتلي-ماير F للغة افتراضية هو رباعي (W,R,*,0)، حيث W مجموعة غير فارغة، وR علاقة ثلاثية على W، و* دالة من W إلى W. $0\in W$ نموذج روتلي-ماير M هو إطار روتلي-ماير F بالإضافة إلى التقييم. $\Vdash$ ، الذي يُسند قيمة صدق لكل قضية ذرية بالنسبة لكل نقطة $a\in W$ توجد بعض الشروط المفروضة على إطارات روتلي-ماير. عرّفها $a\leq b$ مثل $R0ab$ .

$a\leq a$ .
لو $a\leq b$ و $b\leq c$ ، ثم $a\leq c$ .
لو $d\leq a$ و $Rabc$ ، ثم $Rdbc$ .
$a^{**}=a$ .
لو $a\leq b$ ، ثم $b^{*}\leq a^{*}$ .

يكتب $M,a\Vdash A$ و $M,a\nVdash A$ للإشارة إلى أن الصيغة $A$ صحيح أو غير صحيح، على التوالي، عند النقطة $a$ في $M$ الشرط الأخير في نماذج روتلي-ماير هو شرط الوراثة.

لو $M,a\Vdash p$ و $a\leq b$ ، ثم $M,b\Vdash p$ ، بالنسبة لجميع القضايا الذرية $p$ .

باستخدام حجة استقرائية، يمكن إثبات أن الوراثة تمتد إلى الصيغ المعقدة، باستخدام شروط الصدق أدناه.

لو $M,a\Vdash A$ و $a\leq b$ ، ثم $M,b\Vdash A$ ، لجميع الصيغ $A$ .

شروط الصدق للصيغ المعقدة هي كما يلي.

$M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ و $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ أو $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)$
$M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A$

صيغة $A$ يحتوي على نموذج $M$ تحسباً لأي طارئ $M,0\Vdash A$ صيغة $A$ يثبت على إطار $F$ إذا كان A صحيحًا في كل نموذج $(F,\Vdash )$ صيغة $A$ تكون العبارة صحيحة في فئة من الإطارات إذا وفقط إذا تحققت العبارة A على كل إطار في تلك الفئة. وتُثبت فئة جميع إطارات راوتلي-ماير التي تُحقق الشروط المذكورة أعلاه صحة منطق الصلة B. ويمكن الحصول على إطارات راوتلي-ماير لمنطق صلة آخر عن طريق وضع قيود مناسبة على R و*. ويسهل تحديد هذه الشروط باستخدام بعض التعريفات القياسية. ليكن $Rabcd$ يُعرَّف بأنه $\exists x(Rabx\land Rxcd)$ ودع $Ra(bc)d$ يُعرَّف بأنه $\exists x(Rbcx\land Raxd)$ بعض شروط الإطار والمسلمات التي تتحقق منها هي كالتالي.


اسم	حالة الهيكل	بديهية
الوضع الزائف	$Raaa$	$(A\land (A\to B))\to B$
إضافة البادئات	$Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d$	$(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
إضافة اللواحق	$Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d$	$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
انقباض	$Rabc\Rightarrow Rabbc$	$(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
القياس المنطقي الافتراضي	$Rabc\Rightarrow Ra(ab)c$	$(A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)$
التأكيد	$Rabc\Rightarrow Rbac$	$A\to ((A\to B)\to B)$
بديهية E	$Ra0a$	$((A\to A)\to B)\to B$
مسلمة الاختلاط	$Rabc\Rightarrow a\leq c$ أو $b\leq c$	$A\to (A\to A)$
الاختزال	$Raa^{*}a$	$(A\to \lnot A)\to \lnot A$
التضاد	$Rabc\Rightarrow Rac^{}b^{}$	$(A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)$
الوسط المستبعد	$0^{*}\leq 0$	$A\lor \lnot A$
إضعاف الدلالة الصارمة	$0\leq a$	$A\to (B\to B)$
الضعف	$Rabc\Rightarrow b\leq c$	$A\to (B\to A)$

يؤكد الشرطان الأخيران أشكالاً من الضعف التي طُوِّرت منطق الصلة في الأصل لتجنبها. وقد أُدرجا لإظهار مرونة نماذج روتلي-ماير.

النماذج التشغيلية

نماذج أوركهارت

طوّر ألاسدير أوركهارت نماذج تشغيلية لأجزاء منطق الصلة الخالية من النفي في أطروحته للدكتوراه وفي أعمال لاحقة. تقوم الفكرة البديهية وراء هذه النماذج على أن النقاط في النموذج تمثل معلومات، وأن دمج المعلومات الداعمة لشرط ما مع المعلومات الداعمة لمقدمه يُنتج معلومات تدعم نتيجته. ولأن هذه النماذج لا تُفسر النفي عمومًا، سيقتصر هذا القسم على دراسة اللغات التي تحتوي على شرط، وعطف، وفصل.

إطار عمل تشغيلي $F$ هو ثلاثي $(K,\cdot ,0)$ ، أين $K$ هي مجموعة غير فارغة، $0\in K$ ، و $\cdot$ هي عملية ثنائية على $K$ تتضمن الأطر شروطًا، يمكن حذف بعضها لنمذجة منطق مختلف. وفيما يلي الشروط التي اقترحها أوركهارت لنمذجة الشرط في منطق الصلة R.

$x\cdot x=x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
$x\cdot y=y\cdot x$
$0\cdot x=x$

في ظل هذه الظروف، يكون الإطار التشغيلي عبارة عن شبكة شبه متصلة .

نموذج تشغيلي $M$ هو إطار $F$ مع التقييم $V$ التي تربط أزواج النقاط والقضايا الذرية بقيم الصواب، ص أو خ. $V$ ويمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل التقييم $\Vdash$ فيما يلي شرح للصيغ المعقدة.

$M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T$ ، بالنسبة للمقترحات الذرية
$M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ و $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ أو $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

صيغة $A$ يحتوي على نموذج $M$ إذا $M,0\Vdash A$ صيغة $A$ صالحة في فئة من النماذج $C$ إذا كان ذلك صحيحًا في كل نموذج $M\in C$ .

الجزء الشرطي من R سليم وكامل بالنسبة لفئة نماذج شبه الشبكة. المنطق الذي يتضمن العطف والفصل أقوى بشكل صحيح من الجزء الشرطي، العطف، الفصل من R. على وجه الخصوص، الصيغة $(A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)$ هذا صحيح بالنسبة للنماذج التشغيلية، ولكنه غير صحيح في لغة R. يمتلك المنطق الناتج عن النماذج التشغيلية للغة R نظام إثبات بديهي كامل، يعود الفضل فيه إلى كيت فاين وجيرالد تشارلوود. كما قدم تشارلوود نظام استنتاج طبيعي لهذا المنطق، وأثبت أنه مكافئ للنظام البديهي. وأظهر تشارلوود أن نظام الاستنتاج الطبيعي الخاص به مكافئ لنظام قدمه داغ براويتز .

يمكن تكييف الدلالات التشغيلية لنمذجة الشرط الخاص بـ E عن طريق إضافة مجموعة غير فارغة من العوالم $W$ وعلاقة إمكانية الوصول $\leq$ على $W\times W$ بالنسبة للأطر. يجب أن تكون علاقة الوصول انعكاسية ومتعدية، لتجسيد فكرة أن الشرط E له ضرورة S4. ثم تربط التقييمات ثلاثيات من القضايا الذرية والنقاط والعوالم بقيم الصواب. يتم تغيير شرط الصواب للشرط إلى ما يلي.

$M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)$

يمكن تكييف الدلالات التشغيلية لنمذجة الشرط T عن طريق إضافة علاقة $\leq$ على $K\times K$ يجب أن تلتزم العلاقة بالشروط التالية.

$0\leq x$
لو $x\leq y$ و $y\leq z$ ، ثم $x\leq z$
لو $x\leq y$ ، ثم $x\cdot z\leq y\cdot z$

تم تغيير شرط الصدق للعبارة الشرطية إلى ما يلي.

$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

هناك طريقتان لنمذجة منطقَي الصلة غير المختصرين TW و RW باستخدام النماذج التشغيلية. الطريقة الأولى هي إسقاط الشرط الذي $x\cdot x=x$ أما الطريقة الثانية فهي الحفاظ على شروط شبه الشبكة على الإطارات وإضافة علاقة ثنائية. $J$ ، من عدم الترابط مع الإطار. بالنسبة لهذه النماذج، تتغير شروط الصدق للشرط إلى ما يلي، مع إضافة الترتيب في حالة TW.

$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

نماذج هامبرستون

أظهر أوركهارت أن منطق شبه الشبكة لـ R أقوى من الجزء الموجب من R. وقدّم لويد همبرستون إثراءً للنماذج التشغيلية يسمح بشرط صدق مختلف للفصل. وتُنتج فئة النماذج الناتجة الجزء الموجب من R تحديدًا.

إطار عمل تشغيلي $F$ هو رباعي $(K,\cdot ,+,0)$ ، أين $K$ هي مجموعة غير فارغة، $0\in K$ ، و { $\cdot$ ، $+$ } هي عمليات ثنائية على $K$ . يترك $a\leq b$ يُعرَّف بأنه $\exists x(a+x=b)$ شروط الإطار هي كالتالي.

$0\cdot x=x$
$x\cdot y=y\cdot x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
$x\leq x\cdot x$
$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x+x=x$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y$ ، $z'\leq z$ و $x=y'+z')$

نموذج تشغيلي $M$ هو إطار $F$ مع التقييم $V$ التي تربط أزواج النقاط والقضايا الذرية بقيم الصواب، ص أو خ. $V$ ويمكن توسيع نطاق ذلك ليشمل التقييم $\Vdash$ فيما يلي شرح للصيغ المعقدة.

$M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T$ ، بالنسبة للمقترحات الذرية
$M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p$ و $M,b\Vdash p$
$M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ و $M,a\Vdash B$
$M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ أو $M,a\Vdash B$ أو $\exists b,c(a=b+c$ ؛ $M,b\Vdash A$ و $M,c\Vdash B)$
$M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

صيغة $A$ يحتوي على نموذج $M$ إذا $M,0\Vdash A$ صيغة $A$ صالحة في فئة من النماذج $C$ إذا كان ذلك صحيحًا في كل نموذج $M\in C$ .

الجزء الإيجابي من R سليم وكامل بالنسبة لفئة هذه النماذج. يمكن تكييف دلالات هامبرستون لنمذجة منطق مختلف عن طريق حذف أو إضافة شروط الإطار كما يلي.


نظام	ظروف الإطار
ب	1، 5-9، 14	$x\leq x\cdot 0$ $(x\cdot y)\cdot z\leq y\cdot (x\cdot z)$ $(x\cdot y)\cdot z\leq x\cdot (y\cdot z)$ $x\cdot y\leq (x\cdot y)\cdot y$ $(y+z)\cdot x=y\cdot x+z\cdot x$ $x\cdot x=x$
TW	1، 11، 12، 5-9، 14
إي دبليو	1، 10، 11، 5-9، 14
RW	1-3، 5-9
تي	1، 11، 12، 13، 5-9، 14
هـ	1، 10، 11، 13، 5-9، 14
R	1-9
RM	1-3، 5-9، 15

النماذج الجبرية

يمكن إعطاء بعض منطق الصلة نماذج جبرية، مثل المنطق R. البنى الجبرية لـ R هي أحاديات دي مورغان، وهي عبارة عن سداسيات. $(D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)$ أين

$(D,\land ,\lor ,\lnot )$ هي شبكة توزيعية ذات عملية أحادية، $\lnot$ الامتثال للقوانين $\lnot \lnot x=x$ وإذا $x\leq y$ ثم $\lnot y\leq \lnot x$ ؛
$e\in D$ العملية الثنائية $\circ$ هي تبادلية ( $x\circ y=y\circ x$ ) والترابطي ( $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ )، و $e\circ x=x$ ، أي $(D,\circ ,e)$ هو أحادي أبيلي ذو عنصر محايد $e$ ؛
المونويد مرتب شبكيًا ويحقق الشروط التالية: $x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)$ ؛
$x\leq x\circ x$ ؛ و
لو $x\circ y\leq z$ ، ثم $x\circ \lnot z\leq \lnot y$ .

العملية $x\to y$ يُعرَّف تفسير الشرط في R على النحو التالي: $\lnot (x\circ \lnot y)$ . أحادي دي مورغان هو شبكة متبقية ، تخضع لشرط البقايا التالي.

x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z

تفسير $v$ هو تماثل من لغة القضايا إلى أحادي دي مورغان $M$ بحيث

$v(p)\in D$ بالنسبة لجميع القضايا الذرية،
$v(\lnot A)=\lnot v(A)$
$v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)$
$v(A\land B)=v(A)\land v(B)$
$v(A\to B)=v(A)\to v(B)$

بافتراض أحادي دي مورغان $M$ وتفسير $v$ يمكن للمرء أن يقول إن الصيغة $A$ يستمر $v$ تحسباً لأي طارئ $e\leq v(A)$ صيغة $A$ يكون هذا صحيحًا فقط في حال انطباقه على جميع التفسيرات المتعلقة بجميع أحاديات دي مورغان. المنطق R سليم وكامل لأحاديات دي مورغان.

انظر أيضاً

المنطق الترابطي ، وهو نهج مختلف لمفارقات الاستلزام المادي
عدم التتابع المنطقي
نظام النوع ذي الصلة ، نظام نوع فرعي

مراجع

1 2 3 4 5 ماريس، إدوين (1998). "منطق الصلة" . موسوعة ستانفورد للفلسفة (مراجعة جوهرية، طبعة 2020). مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد.
1 2 3 4 5 دان، ج. مايكل؛ ريستال، جريج (2002). "منطق الصلة". في دوف م. جاباي؛ فرانز غوينتنر (محرران). دليل المنطق الفلسفي . المجلد 6. كلوير. الصفحات 1-136 .
↑ أندرسون، آلان روس؛ بيلناب، نويل د. (1975). الاستلزام: منطق الصلة والضرورة . المجلد الأول. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-07192-6.
↑ لويس، ديفيد (ديسمبر 1988). "الاستدلال ذو الصلة" . ثيوريا . 54 (3): 161-174 . doi : 10.1111/j.1755-2567.1988.tb00716.x . ISSN 0040-5825 .
↑ ماكول، هيو (1908). ""إذا" و "يُفهم ضمناً"". العقل . 17 : 151-152 ، 453-455 . دوى : 10.1093/mind/XVII.1.151 .
↑ لويس، سي آي (1912). "الاستلزام وجبر المنطق". العقل ، 21 (84): 522-531.
↑ لويس، سي آي (1917). "القضايا المتعلقة بالآثار المادية". مجلة الفلسفة وعلم النفس والأساليب العلمية ، 14 : 350-356.
^ أكرمان ، دبليو (1956) ، “Begründung einer strengen Implikation”، مجلة المنطق الرمزي ، 21 (2): 113–128 ، دوى : 10.2307 / 2268750 ، JSTOR 2268750
↑ موه، شو-كوي ( 1950)، "نظريات الاستنتاج ونظامان منطقيان جديدان"، ميثودوس ، 2 : 56-75 موه شاو كوي، 1950، "،" ميثودوس 2 56-75.
↑ تشرش، أ. (1951)، النظرية الضعيفة للاستلزامفي Kontroliertes Denken: Unter suchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften ، Kommissions-Verlag Karl Alber، تم تحريره بواسطة A. Menne، A. Wilhelmy وH. Angsil، ص 22-37.
↑ راوتلي، ريتشارد؛ ماير، روبرت ك. (1973-01-01)، "دلالات الاستلزام" ، في لوبلان، هيوز (محرر)، الحقيقة، والنحو، والنمطية ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، المجلد 68، إلسيفير، الصفحات 199-243 ، doi : 10.1016/s0049-237x(08)71541-6 ، ISBN 978-0-7204-2269-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-11-04
↑ روتلي، ريتشارد؛ روتلي، فال (1972). "دلالات الاستلزام من الدرجة الأولى". نوس . 6 (4): 335-359 . doi : 10.2307/2214309 . JSTOR 2214309 .
↑ أوركهارت، ألاسدير (1972). "دلالات المنطق ذي الصلة". مجلة المنطق الرمزي . 37 (1): 159-169 . doi : 10.2307/2272559 . JSTOR 2272559 .
↑ فاين، كيت (1974). "نماذج للاستلزام". مجلة المنطق الفلسفي . 3 : 347-372 . doi : 10.1007/BF00650195 .
↑ روتلي، ريتشارد؛ ماير، روبرت ك.؛ بلوموود، فال؛ برادي، روس ت. (1982). المنطق ذو الصلة ومنافسيه . ريدجفيو.

فهرس

آلان روس أندرسون ونويل بيلناب ، 1975. الاستلزام: منطق الصلة والضرورة، المجلد الأول. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-07192-6
------- و JM Dunn، 1992. الاستلزام: منطق الصلة والضرورة، المجلد الثاني ، مطبعة جامعة برينستون.
Mares, Edwin, and Meyer, RK, 2001, "Relevant Logics", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
ريتشارد روتلي، وفال بلاموود، وروبرت ك. ماير، وروس ت. برادي. المنطق ذو الصلة ومنافسيه . ريدجفيو، 1982.
R. Brady (ed.), Relevant Logics and their Rivals (المجلد الثاني) , Aldershot: Ashgate, 2003.
أوركهارت، ألاسدير (1972). "دلالات المنطق ذي الصلة" (ملف PDF) . مجلة المنطق الرمزي . 37 (1): 159-169 . doi : 10.2307/2272559 . JSTOR 2272559 .
ألاسدير أوركهارت. دلالات الاستلزام . أطروحة دكتوراه، جامعة بيتسبرغ، 1972.
كاتالين بيمبو ، منطق الصلة، في فلسفة المنطق ، د. جاكيت (محرر)، (المجلد 5 من كتيب فلسفة العلوم ، د. غاباي، ب. ثاغارد، ج. وودز (محررون))، إلسيفير (شمال هولندا)، 2006، ص 723-789.
ج. مايكل دان وجريج ريستال. منطق الصلة. في كتيب المنطق الفلسفي ، المجلد 6، ف. غوينتنر ود. غاباي (محرران)، دوردريخت: كلوير، 2002، ص 1-136.
ستيفن ريد، المنطق ذو الصلة ، أكسفورد: بلاكويل، 1988.
همبرستون، لويد (1987). "الدلالات التشغيلية لـ R الموجبة" . مجلة نوتردام للمنطق الصوري . 29 (1): 61-80 . doi : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

روابط خارجية

موسوعة ستانفورد للفلسفة : " منطق الصلة " - بقلم إدوين ماريس.
منطق الصلة – بقلم ج. مايكل دان وجريج ريستال
المنطق ذو الصلة - بقلم ستيفن ريد

[MaresSEP-1] 1 2 3 4 5 ماريس، إدوين (1998). "منطق الصلة" . موسوعة ستانفورد للفلسفة (مراجعة جوهرية، طبعة 2020). مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد.

[DunnRestall2002-2] 1 2 3 4 5 دان، ج. مايكل؛ ريستال، جريج (2002). "منطق الصلة". في دوف م. جاباي؛ فرانز غوينتنر (محرران). دليل المنطق الفلسفي . المجلد 6. كلوير. الصفحات 1-136 .

[AB1975-3] أندرسون، آلان روس؛ بيلناب، نويل د. (1975). الاستلزام: منطق الصلة والضرورة . المجلد الأول. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-07192-6.

[4] لويس، ديفيد (ديسمبر 1988). "الاستدلال ذو الصلة" . ثيوريا . 54 (3): 161-174 . doi : 10.1111/j.1755-2567.1988.tb00716.x . ISSN 0040-5825 .

[5] ماكول، هيو (1908). ""إذا" و "يُفهم ضمناً"". العقل . 17 : 151-152 ، 453-455 . دوى : 10.1093/mind/XVII.1.151 .

[6] لويس، سي آي (1912). "الاستلزام وجبر المنطق". العقل ، 21 (84): 522-531.

[7] لويس، سي آي (1917). "القضايا المتعلقة بالآثار المادية". مجلة الفلسفة وعلم النفس والأساليب العلمية ، 14 : 350-356.

[8] أكرمان ، دبليو (1956) ، “Begründung einer strengen Implikation”، مجلة المنطق الرمزي ، 21 (2): 113–128 ، دوى : 10.2307 / 2268750 ، JSTOR 2268750

[9] موه، شو-كوي ( 1950)، "نظريات الاستنتاج ونظامان منطقيان جديدان"، ميثودوس ، 2 : 56-75 موه شاو كوي، 1950، "،" ميثودوس 2 56-75.

[10] تشرش، أ. (1951)، النظرية الضعيفة للاستلزامفي Kontroliertes Denken: Unter suchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften ، Kommissions-Verlag Karl Alber، تم تحريره بواسطة A. Menne، A. Wilhelmy وH. Angsil، ص 22-37.

[11] راوتلي، ريتشارد؛ ماير، روبرت ك. (1973-01-01)، "دلالات الاستلزام" ، في لوبلان، هيوز (محرر)، الحقيقة، والنحو، والنمطية ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، المجلد 68، إلسيفير، الصفحات 199-243 ، doi : 10.1016/s0049-237x(08)71541-6 ، ISBN 978-0-7204-2269-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-11-04

[12] روتلي، ريتشارد؛ روتلي، فال (1972). "دلالات الاستلزام من الدرجة الأولى". نوس . 6 (4): 335-359 . doi : 10.2307/2214309 . JSTOR 2214309 .

[Urquhart1972-13] أوركهارت، ألاسدير (1972). "دلالات المنطق ذي الصلة". مجلة المنطق الرمزي . 37 (1): 159-169 . doi : 10.2307/2272559 . JSTOR 2272559 .

[14] فاين، كيت (1974). "نماذج للاستلزام". مجلة المنطق الفلسفي . 3 : 347-372 . doi : 10.1007/BF00650195 .

[15] روتلي، ريتشارد؛ ماير، روبرت ك.؛ بلوموود، فال؛ برادي، روس ت. (1982). المنطق ذو الصلة ومنافسيه . ريدجفيو.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

8

9

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗