حلزون مخروطي

1) البدء باللولب الأرخميدسي${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$يعطي شكلاً حلزونياً مخروطياً (انظر الرسم التوضيحي)

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

في هذه الحالة، يمكن اعتبار اللولب المخروطي بمثابة منحنى تقاطع المخروط مع شكل حلزوني .

2) يوضح الرسم التخطيطي الثاني لولبًا مخروطيًا مع لولب فيرما${\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}$كمخطط طابق.

3) المثال الثالث له شكل لولبي لوغاريتمي${\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}$كمخطط أرضي. ميزته الخاصة هي ميله الثابت (انظر أدناه).

تقديم الاختصار${\displaystyle K=e^{k}}$يُقدّم الوصف التالي:${\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}$.

4) يعتمد المثال 4 على شكل حلزوني زائدي${\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}$يمتلك هذا اللولب خطًا مقاربًا (الخط الأسود)، وهو المخطط الأساسي للقطع الزائد (الخط الأرجواني). يقترب اللولب المخروطي من القطع الزائد عندما${\displaystyle \varphi \to 0}$.

ميل المنحنى عند نقطة معينة في اللولب المخروطي هو ميل المماس لهذه النقطة بالنسبة إلى${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$المستوى - الزاوية المقابلة هي زاوية ميله (انظر الرسم التوضيحي):

$\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

حلزون مع${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$أعطِ:

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

بالنسبة للحلزون الأرخميدي ،${\displaystyle n=1}$وبالتالي فإن ميله هو${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• بالنسبة للدوامة اللوغاريتمية مع${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$الميل هو${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$(${\displaystyle \color {red}{\text{ ثابت!}}}$).

وبسبب هذه الخاصية، يُطلق على اللولب المخروطي اسم اللولب المخروطي متساوي الزوايا .

يمكن تحديد طول قوس اللولب المخروطي بواسطة

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

بالنسبة للحلزون الأرخميدسي، يمكن حل التكامل بمساعدة جدول التكاملات ، على غرار الحالة المستوية:

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left({\frac {\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

بالنسبة للحلزون اللوغاريتمي، يمكن حل التكامل بسهولة:

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

وفي حالات أخرى تحدث التكاملات الإهليلجية .

لتطوير حلزون ^{مخروطي [ 3} ] المسافة${\displaystyle \rho (\varphi )}$نقطة منحنى${\displaystyle (x,y,z)}$إلى قمة المخروط${\displaystyle (0,0,z_{0})}$والعلاقة بين الزاوية${\displaystyle \varphi }$والزاوية المقابلة${\displaystyle \psi }$ يجب تحديد طبيعة التطوير:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

وبالتالي فإن التمثيل القطبي للحلزون المخروطي المتطور هو:

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

في حالة${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$التمثيل القطبي للمنحنى المتطور هو

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

وهو ما يصف حلزونًا من نفس النوع.

• إذا كان المخطط الأرضي للحلزون المخروطي حلزونًا أرخميديًا ، فإن تطوره يكون حلزونًا أرخميديًا.

في حالة اللولب الزائدي (${\displaystyle n=-1}$) التطوير متوافق مع التصميم الحلزوني للأرضية.

في حالة اللولب اللوغاريتمي${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$التطور عبارة عن حلزون لوغاريتمي:

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

مجموعة نقاط تقاطع مماسات اللولب المخروطي مع${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$يُطلق على المستوى (المستوى الذي يمر عبر قمة المخروط) اسم أثر المماس .

للحلزون المخروطي

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

متجه المماس هو

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

والمماس:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

نقطة التقاطع مع${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-المستوى له معلمة${\displaystyle t=-r/r'}$ونقطة التقاطع هي

• ${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}$

${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$أعطِ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$ويكون أثر المماس حلزونياً. في هذه الحالة${\displaystyle n=-1}$(اللولب الزائدي) يتحول أثر المماس إلى دائرة نصف قطرها${\displaystyle a}$(انظر الرسم التوضيحي). لـ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$يمتلك المرء${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$وأثر المماس هو لولب لوغاريتمي، وهو متطابق مع مخطط الأرضية، بسبب التشابه الذاتي للولب اللوغاريتمي.