قوائم التكاملات

التكامل هو العملية الأساسية في حساب التكامل . بينما يمتلك التفاضل قواعد مباشرة يمكن من خلالها إيجاد مشتقة دالة معقدة عن طريق تفاضل مكوناتها الأبسط، فإن التكامل لا يمتلك هذه القواعد، لذا فإن جداول التكاملات المعروفة مفيدة في كثير من الأحيان. تسرد هذه الصفحة بعضًا من أكثر الدوال الأصلية شيوعًا .

التطور التاريخي للتكاملات

نشر عالم الرياضيات الألماني ماير هيرش (أو ماير هيرش) في عام 1810 قائمةً بالتكاملات (Integraltafeln) وتقنيات حساب التكامل. ^{[ 1 ]} وأُعيد نشر هذه الجداول في المملكة المتحدة عام 1823. وفي عام 1858، جمع عالم الرياضيات الهولندي ديفيد بيرينز دي هان جداول أكثر شمولاً لكتابه Tables d'intégrales définies ، وأُضيفت إليها ملحقة بعنوان Supplément aux tables d'intégrales définies حوالي عام 1864. وصدرت طبعة جديدة عام 1867 بعنوان Nouvelles tables d'intégrales définies .

ظلت هذه الجداول، التي تحتوي بشكل أساسي على تكاملات الدوال الأولية، مستخدمة حتى منتصف القرن العشرين. ثم استُبدلت بجداول غرادشتين وريزيك الأكثر شمولاً . في غرادشتين وريزيك، يُرمز للتكاملات المأخوذة من كتاب بيرينز دي هان بالرمز BI.

لا تمتلك جميع التعبيرات المغلقة دوالًا أصلية مغلقة؛ تشكل هذه الدراسة موضوع نظرية غالوا التفاضلية ، التي طورها جوزيف ليوفيل في ثلاثينيات وأربعينيات القرن التاسع عشر، مما أدى إلى نظرية ليوفيل التي تصنف التعبيرات التي لها دوال أصلية مغلقة. مثال بسيط على دالة ليس لها دالة أصلية مغلقة هو $e - x 2$ ، حيث أن دالتها الأصلية (حتى الثوابت) هي دالة الخطأ .

منذ عام 1968، توجد خوارزمية ريش لتحديد التكاملات غير المحددة التي يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية ، وذلك عادةً باستخدام نظام جبر حاسوبي . أما التكاملات التي لا يمكن التعبير عنها باستخدام الدوال الأولية ، فيمكن معالجتها رمزياً باستخدام دوال عامة مثل دالة ماير G.

قوائم التكاملات

يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في الصفحات التالية للاطلاع على قوائم التكاملات :

يحتوي جدول التكاملات والمتسلسلات والمنتجات لغرادشتين ، وريزيك ، وجيرونيموس ، وتسيتلين ، وجيفري، وزويلينجر، ومول (GR) على مجموعة كبيرة من النتائج. وهناك جدولٌ أكبر حجماً ومتعدد المجلدات هو جدول التكاملات والمتسلسلات لبرودنيكوف ، وبريتشكوف ، وماريتشيف ( حيث تتضمن المجلدات من 1 إلى 3 جداول تكاملات ومتسلسلات الدوال الأولية والخاصة ، بينما يتضمن المجلدان 4 و5 جداول تحويلات لابلاس ). ويمكن العثور على مجموعات أكثر إيجازاً في جداول التكاملات غير المحددة لبريتشكوف، وماريتشيف، وبرودنيكوف ، أو كفصول في جداول وصيغ الرياضيات القياسية لزويلينجر (CRC) ، أو في دليل برونشتاين وسيميندييف للرياضيات ، أو كتيب الرياضيات ، أو دليل المستخدم للرياضيات ، وغيرها من كتيبات الرياضيات.

تشمل المصادر المفيدة الأخرى كتاب أبراموفيتز وستيجون ومشروع مخطوطة باتمان . يحتوي كلا العملين على العديد من المتطابقات المتعلقة بتكاملات محددة، والتي تم تنظيمها وفقًا للموضوع الأكثر صلة بدلاً من تجميعها في جدول منفصل. يُخصص مجلدان من مخطوطة باتمان لتحويلات التكامل.

توجد العديد من المواقع الإلكترونية التي توفر جداول التكاملات وإمكانية حساب التكاملات عند الطلب. يمكن لبرنامج Wolfram Alpha عرض النتائج، وبالنسبة لبعض التعبيرات الأبسط، يعرض أيضًا الخطوات الوسيطة للتكامل. كما تُشغّل شركة Wolfram Research خدمة أخرى عبر الإنترنت، وهي برنامج Mathematica Online Integrator.

تكاملات الدوال البسيطة

يُستخدم الرمز C لثابت تكامل اختياري لا يمكن تحديده إلا بمعرفة قيمة التكامل عند نقطة معينة. وبالتالي، فإن لكل دالة عدد لا نهائي من الدوال الأصلية .

لا تعد هذه الصيغ سوى إعادة صياغة للتأكيدات الواردة في جدول المشتقات .

التكاملات ذات النقطة الشاذة

عندما توجد نقطة شاذة في الدالة المراد تكاملها بحيث تصبح الدالة الأصلية غير معرفة عند نقطة معينة (نقطة الشذوذ)، فلا يلزم أن تكون قيمة C متساوية على جانبي نقطة الشذوذ. تفترض الصيغ أدناه عادةً القيمة الرئيسية لكوشي حول نقطة الشذوذ في قيمة C ، ولكن هذا ليس ضروريًا بشكل عام. على سبيل المثال، في $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$ توجد نقطة تفرد عند الصفر، وتصبح الدالة الأصلية لانهائية عندها. إذا استُخدم التكامل أعلاه لحساب تكامل محدد بين -1 و1، فسنحصل على الإجابة الخاطئة 0. مع ذلك، هذه هي القيمة الرئيسية لكوشي للتكامل حول نقطة التفرد. إذا أُجري التكامل في المستوى المركب، فإن النتيجة تعتمد على المسار حول نقطة الأصل؛ في هذه الحالة، تُساهم نقطة التفرد بـ $-iπ$ عند استخدام مسار أعلى نقطة الأصل، و iπ عند استخدام مسار أسفلها. يمكن لدالة على خط الأعداد الحقيقية استخدام قيمة مختلفة تمامًا لـ C على جانبي نقطة الأصل، كما في $:$ ^[²^] $\int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

الدوال الكسرية

$\int a\,dx=ax+C$

الدالة التالية لها نقطة تفرد غير قابلة للتكامل عند 0 لـ $n \leq -1$ :

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$ ( صيغة التربيع لكافاليري )
$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$
$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$ $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
- وبشكل أعم، ^{[ 3 ]} $\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$
$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

الدوال الأسية

$\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
(لو $n$ (عدد صحيح موجب)
$\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$
(لو $n$ (عدد صحيح موجب)

اللوغاريتمات

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C$

الدوال المثلثية

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$
$\int \cos x\,dx=\sin x+C$
$\int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C=-\ln \left|\cos x\right|+C$
$\int \cot x\,dx=-\ln \left|\csc x\right|+C=\ln \left|\sin x\right|+C$
$\int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$ $\int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
- (انظر تكامل دالة القاطع . كانت هذه النتيجة تخمينًا معروفًا في القرن السابع عشر.)
$\int \csc x\,dx=-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$
$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
$\int \sec x\,\tan x\,dx=\sec x+C$
$\int \csc x\,\cot x\,dx=-\csc x+C$
$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
$\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
$\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C$
$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C$ $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C$
- (انظر تكامل القاطع المكعب .)
$\int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln \left|\csc x-\cot x\right|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C$
$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx$
$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

الدوال المثلثية العكسية

$\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$
$\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$

الدوال الزائدية

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
$\int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C$
$\int \coth x\,dx=\ln \left|\sinh x\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\int \operatorname {sech} x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$
$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x\right|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C$
$\int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C$
$\int \operatorname {sech} x\,\operatorname {tanh} x\,dx=-\operatorname {sech} x+C$
$\int \operatorname {csch} x\,\operatorname {coth} x\,dx=-\operatorname {csch} x+C$

الدوال الزائدية العكسية

$\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
$\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\left|\operatorname {arcsinh} \,x\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

حاصل ضرب الدوال المتناسبة مع مشتقاتها الثانية

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

دوال القيمة المطلقة

لتكن $f$ دالة متصلة ، لها جذر واحد على الأكثر . إذا كان لـ $f$ جذر، فلتكن $g$ الدالة الأصلية الوحيدة لـ $f$ التي تساوي صفرًا عند جذر $f$ ؛ وإلا، فلتكن $g$ أي دالة أصلية لـ $f$ . عندئذٍ $\int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,$ حيث $sgn(x)$ هي دالة الإشارة ، والتي تأخذ القيم −1، 0، 1 عندما تكون $x$ سالبة أو صفر أو موجبة على التوالي.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق حساب مشتقة الجانب الأيمن من الصيغة، مع الأخذ في الاعتبار أن الشرط على $g$ هنا هو لضمان استمرارية التكامل.

وهذا يعطي الصيغ التالية (حيث $a \neq 0$ )، وهي صالحة على أي فترة تكون فيها $f$ متصلة (على فترات أكبر، يجب استبدال الثابت $C بدالة$ ثابتة جزئياً ):

$\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C$
عندما يكون $n$ فرديًا، و $n\neq -1$ .
$\int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C$
متى ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ لبعض الأعداد الصحيحة $n$ .
$\int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C$
متى $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ لبعض الأعداد الصحيحة $n$ .
$\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C$
متى ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ لبعض الأعداد الصحيحة $n$ .
$\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C$
متى $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ لبعض الأعداد الصحيحة $n$ .

إذا لم يكن للدالة $f$ أي دالة أصلية متصلة تأخذ القيمة صفر عند أصفار $f$ (وهذا هو الحال بالنسبة لدالتي الجيب وجيب التمام)، فإن ∫ $f$ $($ $x$ $)$ $dx$ $sgn(f (x)$ ) هي دالة أصلية لـ $f$ على كل فترة لا تساوي فيها $f$ صفرًا، ولكنها قد تكون غير متصلة عند النقاط التي $f (x) = 0.$ وللحصول على دالة أصلية متصلة، يجب إضافة دالة خطوة مختارة بعناية . وإذا استخدمنا أيضًا حقيقة أن القيم المطلقة لدالتي الجيب وجيب التمام دورية بفترة $π$ ، فسنحصل على:

$\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C$
$\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C$

وظائف خاصة

$Ci$ و $Si$ : التكاملات المثلثية ، $Ei$ : التكامل الأسي ، $li$ : دالة التكامل اللوغاريتمي ، $erf$ : دالة الخطأ

$\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$
$\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$
$\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$
$\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$
$\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$
$\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

التكاملات المحددة التي تفتقر إلى الدوال الأصلية المغلقة الشكل

توجد بعض الدوال التي لا يمكن التعبير عن مشتقاتها الأصلية بصيغة مغلقة . مع ذلك، يمكن حساب قيم التكاملات المحددة لبعض هذه الدوال على فترات مشتركة. فيما يلي بعض التكاملات المفيدة.

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (انظر أيضًا دالة جاما )
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ لـ $a > 0$ ( التكامل الغاوسي )
$\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ لـ $a > 0$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}$
بالنسبة لـ $a > 0$ ، فإن $n$ هو عدد صحيح موجب و $!!$ هو مضروب العدد المزدوج .
$\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ عندما تكون $قيمة a أكبر من صفر$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$
بالنسبة لـ $a > 0$ ، $n = 0، 1، 2، ....$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {n+1}{b}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (انظر أيضًا عدد برنولي )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}$ (يستخدم في اشتقاق قانون بلانك في الفيزياء)
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\Gamma (n+1)\zeta (n+1)$ ل $n>0$ (انظر أيضًا دالة زيتا لريمان )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (انظر دالة sinc وتكامل ديريشليه )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
(إذا كان $n$ عددًا صحيحًا موجبًا و !! هو مضروب العدد المزدوج ).
$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(بالنسبة للأعداد الصحيحة $α و β و m و n$ حيث $β \neq 0$ و $m و n \geq 0$ ، انظر أيضًا معامل ذي الحدين )
$\int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$
(لـ $α و β$ أعداد حقيقية، $و n$ عدد صحيح غير سالب، و $m$ عدد صحيح فردي موجب؛ لأن الدالة المراد تكاملها فردية )
$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(بالنسبة للأعداد الصحيحة $α و β و m و n$ حيث $β \neq 0$ و $m و n \geq 0$ ، انظر أيضًا معامل ذي الحدين )
$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(بالنسبة للأعداد الصحيحة $α و β و m و n$ حيث $β \neq 0$ و $m و n \geq 0$ ، انظر أيضًا معامل ذي الحدين )
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
(حيث $exp[u]$ هي الدالة الأسية $e u$ ، و $a > 0$ .)
$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$
(أين $\Gamma (z)$ دالة جاما )
$\int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)$
$\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
(للحصول على $Re(α) > 0$ و $Re(β) > 0$ ، انظر دالة بيتا )
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (حيث $I 0 (x) هي$ دالة بيسل المعدلة من النوع الأول)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
$\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}$
(بالنسبة لـ ν $> 0$ ، يرتبط هذا بدالة كثافة الاحتمال لتوزيع t للطالب )

إذا كانت الدالة $f$ ذات تباين محدود على الفترة $[a, b]$ ، فإن طريقة الاستنفاد توفر صيغة للتكامل: $\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$

" حلم طالب السنة الثانية ": ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}$ منسوب إلى يوهان برنولي .

انظر أيضاً

قواعد التفاضل – قواعد حساب مشتقات الدوال
دالة غاما غير الكاملة – أنواع الدوال الرياضية الخاصة
المجموع غير المحدد – معكوس الفرق المحدود
التكامل باستخدام صيغة أويلر – استخدام الأعداد المركبة لحساب التكاملات
نظرية ليوفيل (الجبر التفاضلي) – معيار التكامل بدلالة الدوال الأولية
قائمة الحدود
قائمة المتطابقات الرياضية
قائمة المتسلسلات الرياضية
التكامل غير الأولي – التكاملات التي لا يمكن التعبير عنها بصيغة مغلقة من الدوال الأولية
التكامل الرمزي – حساب الدوال الأصلية

مراجع

^ هيرش ماير (1810). Integraltafeln: oder، Sammlung vonintegrateformeln (باللغة الألمانية). دنكر وهمبلوت.
↑ سيرج لانغ . دورة تمهيدية في حساب التفاضل والتكامل ، الطبعة الخامسة، ص 290
↑ " استطلاع رأي القراء: log| x | + C "، توم لينستر ، مقهى الفئات المتعددة ،19 مارس 2012

للمزيد من القراءة

أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
برونشتاين، إيليا نيكولاييفيتش؛ سيمندجاجيو، كونستانتين أدولفوفيتش (1987) [1945]. غروشه، غونتر؛ زيغلر، فيكتور؛ زيغلر، دوروثيا (محرران). Taschenbuch der Mathematik (باللغة الألمانية). المجلد. 1. ترجمة زيغلر، فيكتور. فايس، يورغن (23 طبعة). ثون وفرانكفورت أم ماين: Verlag Harri Deutsch (و BG Teubner Verlagsgesellschaft ، لايبزيغ). رقم ISBN 3-87144-492-8.
Gradshteyn, إزرائيل سولومونوفيتش ; ريجيك، يوسف مويسيفيتش ; جيرونيموس، يوري فينيامينوفيتش ؛ تسيتلين, ميخائيل يوليفيتش ; جيفري آلان (2015) [أكتوبر 2014]. زويلينجر، دانيال. مول ، فيكتور هوغو (محرران). جدول التكاملات والمتسلسلات والمنتجات . تمت الترجمة بواسطة Scripta Technica، Inc. (8 ed.). الصحافة الأكاديمية، وشركة ISBN 978-0-12-384933-5. إل سي سي إن 2014010276 . (وصدرت عدة طبعات سابقة أيضاً.)
برودنيكوف، أناتولي بلاتونوفيتش (Продников، Анатолий Платонович) ؛ بريشكوف، يوري أ. (Брычков، Ю. А.)؛ ماريشيف، أوليغ إيغوريفيتش (Маричев، Олег Игоревич) (1988-1992) [1981−1986 (الروسية)]. التكاملات والمتسلسلات . المجلد. 1– 5. ترجمة Queen، NM (1 ed.). ( ناوكا ) جوردون آند بريتش ساينس للنشر/ CRC Press . رقم ISBN 2-88124-097-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) . الطبعة الثانية المنقحة (بالروسية)، المجلدات 1-3، Fiziko-Matematicheskaya Literatura، 2003.
يوري أ. بريشكوف (Ю. А. Брычков)، دليل الوظائف الخاصة: المشتقات والتكاملات والمتسلسلات والصيغ الأخرى . الطبعة الروسية، Fiziko-Matematicheskaya Literatura، 2006. الطبعة الإنجليزية، Chapman & Hall/CRC Press، 2008، ISBN 1-58488-956-X/ 9781584889564.
دانيال زويلينجر. جداول وصيغ الرياضيات القياسية من سي آر سي ، الطبعة الحادية والثلاثون. تشابمان آند هول/سي آر سي برس، ٢٠٠٢. رقم ISBN 1-58488-291-3( وكذلك العديد من الطبعات السابقة).
ماير هيرش ، Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Dunker und Humblot، Berlin، 1810)
ماير هيرش ، جداول التكامل أو مجموعة من الصيغ التكاملية (باينز وأبناؤه، لندن، 1823) [الترجمة الإنجليزية لـ Integraltafeln ]
ديفيد بيرنز دي هان ، Nouvelles Tables d'Intégrales définies (إنجلز، ليدن، 1862)
بنيامين أو. بيرس، جدول مختصر للتكاملات - طبعة منقحة (جين وشركاه، بوسطن، 1899)

روابط خارجية

جداول التكاملات

ملاحظات بول الرياضية على الإنترنت
أ. ديكمان، جدول التكاملات (الدوال الإهليلجية، الجذور التربيعية، الظلال العكسية، ودوال أخرى أكثر غرابة): التكاملات غير المحددة، التكاملات المحددة
تخصص الرياضيات: جدول التكاملات
أوبراين، فرانسيس جيه جونيور "500 تكامل للوظائف الأولية والخاصة" .التكاملات المشتقة للدوال الأسية واللوغاريتمية والدوال الخاصة.
التكامل القائم على القواعد: قواعد تكامل غير محددة بدقة تغطي فئة واسعة من الدوال المراد تكاملها
ماثار، ريتشارد ج. (2012). "جدول آخر للتكاملات". arXiv : 1207.5845 [ math.CA ].

مقاطع فيديو

أقوى تقنية تكامل على الإطلاق . فيديو على يوتيوب من قناة Flammable Maths حول التناظرات.

[1] هيرش ماير (1810). Integraltafeln: oder، Sammlung vonintegrateformeln (باللغة الألمانية). دنكر وهمبلوت.

[2] سيرج لانغ . دورة تمهيدية في حساب التفاضل والتكامل ، الطبعة الخامسة، ص 290

[3] " استطلاع رأي القراء: log| x | + C "، توم لينستر ، مقهى الفئات المتعددة ،19 مارس 2012

[ 1 ]

[

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

التطور التاريخي للتكاملات

قوائم التكاملات

تكاملات الدوال البسيطة

التكاملات ذات النقطة الشاذة

الدوال الكسرية

الدوال الأسية

اللوغاريتمات

الدوال المثلثية

الدوال المثلثية العكسية

الدوال الزائدية

الدوال الزائدية العكسية

حاصل ضرب الدوال المتناسبة مع مشتقاتها الثانية

دوال القيمة المطلقة

وظائف خاصة

التكاملات المحددة التي تفتقر إلى الدوال الأصلية المغلقة الشكل

انظر أيضاً

مراجع

للمزيد من القراءة

روابط خارجية

جداول التكاملات

الاشتقاقات

خدمة عبر الإنترنت

برامج مفتوحة المصدر

مقاطع فيديو