اللولب الزائدي

المعادلة الخاصة باللولب الزائدي $${\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }},\quad \varphi >0}$$ بالنسبة للإحداثيات القطبية${\displaystyle (r,\varphi )}$ومعامل المقياس​${\displaystyle a}$يمكن تمثيلها بالإحداثيات الديكارتية عن طريق تطبيق التحويلات القياسية من القطبية إلى الديكارتية .${\displaystyle x=r\cos \varphi }$و${\displaystyle y=r\sin \varphi }$، والحصول على معادلة بارامترية للإحداثيات الديكارتية لهذا المنحنى والتي تعالج${\displaystyle \varphi }$كمعامل بدلاً من كونه إحداثية: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle x=a{\frac {\cos \varphi }{\varphi }},\qquad y=a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }},\quad \varphi >0.}$$ تخفيف القيد الذي${\displaystyle \varphi >0}$ل${\displaystyle \varphi \neq 0}$وباستخدام المعادلات نفسها ينتج نسخة معكوسة من اللولب، وتعتبر بعض المصادر هاتين النسختين فرعين لمنحنى واحد. ^{[ 4 ] [ 21 ]}

اللولب الزائدي: فرع لـ φ > 0

اللولب الزائدي: كلا الفرعين

المنحنى الحلزوني الزائدي هو منحنى متسامٍ ، مما يعني أنه لا يمكن تعريفه من معادلة متعددة الحدود لإحداثياته ​​الديكارتية. ^{[ 20 ]} ومع ذلك، يمكن الحصول على معادلة مثلثية في هذه الإحداثيات بالبدء بمعادلته القطبية المحددة على الصورة${\displaystyle r\varphi =a}$واستبدال متغيراتها وفقًا للتحويلات من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية.${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}{\tfrac {y}{x}}}$و${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$، إعطاء: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}=a.}$$

من الممكن أيضاً استخدام المعادلة القطبية لتعريف منحنى حلزوني في المستوى الزائدي ، لكن هذا يختلف في بعض الجوانب المهمة عن الشكل المعتاد للحلزون الزائدي في المستوى الإقليدي. وعلى وجه الخصوص، لا يمتلك المنحنى المقابل في المستوى الزائدي خطاً تقاربياً. ^{[ 6 ]}

انعكاس الدائرة عبر دائرة الوحدة هو تحويل للمستوى الذي يرسم، في الإحداثيات القطبية، النقطة${\displaystyle (r,\varphi )}$(باستثناء الأصل) إلى${\displaystyle ({\tfrac {1}{r}},\varphi )}$والعكس صحيح . ^{[ 23 ]} صورة لولب أرخميدس${\displaystyle r={\tfrac {\varphi }{a}}}$تحت هذا التحويل ( منحناه العكسي ) يكون اللولب الزائدي ذو المعادلة${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$[ ^{8 ]​}

يصف الإسقاط المركزي للحلزون على مستوى عمودي على محوره المنظر الذي يراه المرء لدرابزين درج حلزوني ، عند النظر لأعلى أو لأسفل من نقطة على محور الدرج. ^{[ 5 ]} لنمذجة هذا الإسقاط رياضيًا، لنعتبر الإسقاط المركزي من النقطة${\displaystyle (0,0,d)}$على مستوى الصورة${\displaystyle z=0}$سيؤدي هذا إلى تحديد نقطة${\displaystyle (x,y,z)}$إلى صلب الموضوع${\displaystyle {\tfrac {d}{dz}}(x,y)}$[ ^{24 ]​}

الصورة الناتجة عن هذا الإسقاط للحلزون مع التمثيل البارامتري $${\displaystyle (r\cos t,r\sin t,ct),\quad c\neq 0,}$$ المنحنى $${\displaystyle {\frac {dr}{d-ct}}(\cos t,\sin t)}$$ باستخدام المعادلة القطبية $${\displaystyle \rho ={\frac {dr}{d-ct}},}$$ وهو ما يصف شكلاً حلزونياً زائدياً. ^{[ 24 ]}

يقترب المنحنى الحلزوني الزائدي من نقطة الأصل كنقطة تقارب. ^{[ 22 ]} لأن $${\displaystyle \lim _{\varphi \to 0}x=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\cos \varphi }{\varphi }}=\infty ,\qquad \lim _{\varphi \to 0}y=a\lim _{\varphi \to 0}{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}=أ،}$$ للمنحنى خط تقاربي معادلته${\displaystyle y=a}$[ ^{20 ]​}

من حساب المتجهات في الإحداثيات القطبية نحصل على الصيغة${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {r'}{r}}}$بالنسبة لزاوية الميل${\displaystyle \alpha }$^{[ 25 ]} بالنسبة للحلزون الزائدي${\displaystyle r={\tfrac {a}{\varphi }}}$زاوية الميل هي ^{[ 19 ]}$${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left(-{\frac {1}{\varphi }}\right).}$$

انحناء أي منحنى ذي معادلة قطبية${\displaystyle r=r(\varphi )}$هو ^{[ 26 ]}$${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{3/2}}}.}$$ من المعادلة${\displaystyle r=a/\varphi }$ومشتقاته${\displaystyle r'=-a/\varphi ^{2}}$و${\displaystyle r''=2a/\varphi ^{3}}$يحصل المرء على انحناءة اللولب الزائدي، بدلالة نصف القطر${\displaystyle r}$أو من الزاوية${\displaystyle \varphi }$من أي من نقاطها: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle \kappa ={\frac {\varphi ^{4}}{a\left(\varphi ^{2}+1\right)^{3/2}}}={\frac {a^{3}}{r(a^{2}+r^{2})^{3/2}}}.}$$

طول قوس اللولب الزائدي${\displaystyle r=a/\varphi }$بين النقاط${\displaystyle (r(\varphi _{1}),\varphi _{1})}$و${\displaystyle (r(\varphi _{2}),\varphi _{2})}$يمكن حسابها بواسطة التكامل: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=a\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi ^{2}}}\,d\varphi \\&=a\left[-{\frac {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}{\varphi }}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}.\end{aligned}}}$$ هنا، تعني صيغة الأقواس حساب الصيغة داخل الأقواس لكلا${\displaystyle \varphi _{1}}$و${\displaystyle \varphi _{2}}$وطرح النتيجة لـ${\displaystyle \varphi _{1}}$من نتيجة لـ${\displaystyle \varphi _{2}}$.

مساحة قطاع (انظر الرسم البياني أعلاه) من حلزون زائد ذي معادلة${\displaystyle r=a/\varphi }$هو: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}{\bigl (}r(\varphi _{1})-r(\varphi _{2}){\bigr )}.\end{aligned}}}$$ أي أن المساحة تتناسب طرديًا مع الفرق في نصف القطر، مع ثابت تناسب.${\displaystyle a/2}$[ ^{13 ] [ 20 ]​}