بابوس الإسكندري

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

صفحة العنوان لمجموعات الرياضيات لبابوس ، تمت ترجمتها إلى اللاتينية بواسطة فيديريكو كوماندينو (1588).

بابوس الاسكندري ( / ˈص æ صəس /​​ⓘ (باليونانية القديمة:Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς؛حوالي290- حوالي350ميلادي) كانعالم رياضيات يونانيًامنأواخر العصور القديمة،اشتهر بكتابه"سيناغوجي"(Συναγωγή) أو"المجموعة"(340ميلادي)، [ 1 ] وبنظريةبابوس السداسيةفيالهندسة الإسقاطية. لا يُعرف الكثير عن حياته إلا ما هو موجود في كتاباته، التي فُقد الكثير منها. يبدو أن بابوس عاش فيالإسكندرية، حيث عمل مدرسًاللرياضياتلطلاب متقدمين، أحدهم يُدعى هرمودوروس. [ 2 ] 

تُعدّ "المجموعة" ، وهي أشهر أعماله، موسوعةً في الرياضيات تتألف من ثمانية مجلدات، وقد نجا معظمها. وهي تغطي نطاقاً واسعاً من المواضيع التي كانت جزءاً من مناهج الرياضيات القديمة، بما في ذلك الهندسة وعلم الفلك والميكانيكا . [ 1 ]

كان بابوس نشطًا في فترة تُعتبر عمومًا فترة ركود في الدراسات الرياضية، حيث يبرز، في نظر البعض، كاستثناءٍ لافت [ 3 ] ، وفي نظر آخرين، كمثالٍ على العلل التي أوقفت تقدم العلوم اليونانية. [ 4 ] وفي كثير من النواحي، يشبه مصيره إلى حدٍ كبير مصير ديوفانتوس ، الذي كان في البداية ذا أهمية محدودة، ولكنه أصبح ذا تأثير كبير في أواخر عصر النهضة وبداية العصر الحديث .

مواعدة

لم يذكر بابوس في كتاباته الباقية أي إشارة إلى تاريخ المؤلفين الذين استشهد بأعمالهم، أو إلى الفترة الزمنية (انظر أدناه) التي كتب فيها هو نفسه. ولو لم تتوفر أي معلومات أخرى عن التاريخ، لكان كل ما يمكن معرفته هو أنه كان لاحقًا لبطليموس (توفي حوالي عام 168 ميلادي)، الذي اقتبس منه، وأقدم من بروكلس (ولد حوالي عام 411 ميلادي )، الذي اقتبس منه. [ 3 ]

يذكر سودا، الذي يعود تاريخه إلى القرن العاشر، أن بابوس كان في نفس عمر ثيون الإسكندري ، الذي كان نشطًا في عهد الإمبراطور ثيودوسيوس الأول (372-395). [ 5 ] ويُذكر تاريخ مختلف في هامش مخطوطة من أواخر القرن العاشر [ 3 ] (نسخة من جدول زمني وضعه ثيون نفسه)، حيث يُذكر، بجوار مدخل عن الإمبراطور دقلديانوس (حكم من 284 إلى 305)، أن "بابوس كتب في ذلك الوقت". [ 6 ]

مع ذلك، يُمكن التحقق من التاريخ من خلال تأريخ كسوف شمسي ذكره بابوس نفسه. ففي تعليقه على كتاب المجسطي، يحسب "مكان وزمان الاقتران الذي أدى إلى الكسوف في طيبي عام 1068 بعد نابوناصر ". ويُصادف ذلك 18 أكتوبر 320، وبالتالي لا بد أن بابوس كان نشطًا في ذلك الوقت تقريبًا. [ 2 ]

أعمال

مجموعات الرياضيات ، 1660

لم ينج العمل العظيم لبابوس، المكون من ثمانية كتب والذي يحمل عنوان "سيناغوجي " أو "مجموعة" ، بشكل كامل: فقد فُقد الكتاب الأول، وتضررت بقية الكتب بشكل كبير. يعدد سودا أعمال بابوس الأخرى: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorographia oikoumenike أو وصف العالم المأهول )، وهو تعليق على ثلاثة عشر كتابًا من كتاب بطليموس المجسطي (الذي بقي الجزء الخاص بالكتابين 5 و 6)، Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ ( الأنهار في ليبيا )، و Ὀνειροκριτικά ( تفسير الأحلام ). [ 5 ] يذكر بابوس نفسه تعليقًا آخر من تأليفه على كتاب "أناليما" ( Analemma ) لديودور الإسكندري . كما كتب بابوس تعليقات على كتاب " الأصول " لإقليدس (حُفظت أجزاء منها في كتاب بروكلس وشروحه ، بينما عُثر على تعليقه على الكتاب العاشر في مخطوطة عربية)، وعلى كتاب "هارمونيكا " ( Harmonika ) لبطليموس. [ 3 ]

ترجم فيديريكو كوماندينو مجموعة بابوس إلى اللاتينية عام ١٥٨٨. ونشر المؤرخ الألماني المتخصص في الكلاسيكيات والرياضيات، فريدريك هولتسش (١٨٣٣-١٩٠٨)، عرضًا نهائيًا من ثلاثة مجلدات لترجمة كوماندينو، متضمنًا النسختين اليونانية واللاتينية (برلين، ١٨٧٥-١٨٧٨). وبالاستناد إلى عمل هولتسش، كان المؤرخ البلجيكي المتخصص في الرياضيات، بول فير إيكي، أول من نشر ترجمة للمجموعة إلى لغة أوروبية حديثة؛ وترجمته الفرنسية المكونة من مجلدين تحمل عنوان " بابوس الإسكندرية: المجموعة الرياضية" (باريس وبروج، ١٩٣٣). [ ٧ ]

مجموعة

تضمّ مجموعة بابوس سردًا مُرتبًا منهجيًا لأهم النتائج التي توصل إليها أسلافه، بالإضافة إلى شروح توضيحية أو مُوسّعة للاكتشافات السابقة. تُشكّل هذه الاكتشافات، في الواقع، نصًا يُسهب بابوس في شرحه. وقد اعتبر هيث المقدمات المنهجية للكتب المختلفة قيّمة، لأنها تُقدّم بوضوح مُخططًا للمحتويات والنطاق العام للمواضيع التي ستُناقش. في هذه المقدمات، يتميّز أسلوب بابوس في الكتابة بالروعة، بل والأناقة، بمجرد أن يتخلّص من قيود الصيغ والتعبيرات الرياضية. كما وجد هيث أن دقّته المعهودة جعلت من مجموعته " بديلًا رائعًا لنصوص العديد من الرسائل القيّمة لعلماء الرياضيات السابقين التي حرمنا منها الزمن". [ 3 ]

يمكن تلخيص الأجزاء المتبقية من المجموعة على النحو التالي. [ 8 ]

صفحات من مجموعات Mathematicae ، نُشرت في البندقية عام 1589.

الكتاب الأول

فُقد الكتاب الأول. ربما كان الكتاب الأول، مثل الكتاب الثاني، معنياً بالحساب، حيث يُقدّم الكتاب الثالث بوضوح على أنه بداية موضوع جديد. [ 3 ]

الكتاب الثاني

يتناول الكتاب الثاني بأكمله (الذي فُقد الجزء الأول منه، وتبدأ القطعة الموجودة في منتصف القضية الرابعة عشرة) [ 3 ] طريقةً للضرب مأخوذة من كتابٍ مجهولٍ لأبولونيوس البرغي . وتتناول القضايا الأخيرة ضرب القيم العددية للأحرف اليونانية في بيتين من الشعر، مما ينتج عنه عددان كبيران جدًا يساويان تقريبًا2 × 10 54 و2 × 10 38 . [ 9 ]

الكتاب الثالث

يحتوي الكتاب الثالث على مسائل هندسية، مستوية ومجسمة. ويمكن تقسيمه إلى خمسة أقسام: [ 3 ]

  1. في المسألة الشهيرة المتمثلة في إيجاد متوسطين متناسبين بين خطين معطيين، والتي نشأت من مسألة مضاعفة المكعب، والتي اختزلها أبقراط الخيوسي إلى المسألة الأولى، يقدم بابوس عدة حلول لهذه المسألة، بما في ذلك طريقة لعمل تقريبات متتالية للحل، والتي يبدو أنه لم يدرك أهميتها؛ ويضيف حله الخاص للمسألة الأكثر عمومية المتمثلة في إيجاد طول ضلع مكعب هندسيًا بحيث يكون محتواه بنسبة معينة إلى محتوى مكعب آخر معطي. [ 3 ]
  2. يتناول هذا الكتاب المتوسطات الحسابية والهندسية والتوافقية بين خطين مستقيمين، ومسألة تمثيلها جميعًا في شكل هندسي واحد. ويُعدّ هذا مدخلاً لنظرية عامة للمتوسطات، حيث يميز بابوس عشرة أنواع منها، ويقدم جدولًا يوضح أمثلة لكل نوع منها بأعداد صحيحة. [ 3 ]
  3. حول مشكلة غريبة اقترحها إقليدس الأول 21. [ 3 ]
  4. حول رسم كلٍّ من المجسمات الخمسة المنتظمة داخل كرة. [ 3 ] لاحظ بابوس هنا أنه يمكن رسم مجسم اثني عشري منتظم ومجسم عشريني منتظم داخل نفس الكرة بحيث تقع رؤوسهما جميعها على نفس دوائر العرض الأربع، مع وجود 3 من رؤوس المجسم العشريني الاثني عشري على كل دائرة، و5 من رؤوس المجسم الاثني عشري العشرين على كل دائرة. وقد عُمِّمت هذه الملاحظة لتشمل المجسمات الثنائية ذات الأبعاد الأعلى . [ 10 ]
  5. إضافة من كاتب لاحق لحل آخر للمشكلة الأولى في الكتاب. [ 3 ]

الكتاب الرابع

فُقد عنوان ومقدمة الكتاب الرابع، لذا يجب استخلاص البرنامج من الكتاب نفسه. يبدأ الكتاب بالتعميم المعروف لنظرية إقليدس الأولى 47 ( نظرية بابوس للمساحة )، ثم تليها نظريات مختلفة حول الدائرة، وصولاً إلى مسألة إنشاء دائرة تحيط بثلاث دوائر معطاة، متلامسة اثنتين واثنتين. تشكل هذه المسألة، بالإضافة إلى عدة قضايا أخرى تتعلق بالتلامس، مثل حالات الدوائر المتلامسة والمحاطة بالشكل المكون من ثلاثة أنصاف دوائر والمعروف باسم " أربيلوس " (سكين الإسكافي)، القسم الأول من الكتاب؛ ثم ينتقل بابوس إلى دراسة بعض خصائص حلزون أرخميدس ، ومُحْوَل نيكوميدس (الذي ذُكر سابقًا في الكتاب الأول باعتباره طريقة لمضاعفة المكعب)، والمنحنى الذي اكتشفه على الأرجح هيباس الإليسي حوالي عام 420 قبل الميلاد، والمعروف باسم τετραϳωνισμός، أو المُربّع . تصف القضية 30 إنشاء منحنى ذي انحناء مزدوج أطلق عليه بابوس اسم الحلزون على الكرة؛ ويتم وصفه بنقطة تتحرك بانتظام على طول قوس دائرة عظمى، والتي بدورها تدور حول قطرها بانتظام، حيث ترسم النقطة ربع دائرة وترسم الدائرة العظمى دورة كاملة في الوقت نفسه. ويتم إيجاد مساحة السطح المحصور بين هذا المنحنى وقاعدته - وهي أول حالة معروفة لتربيع سطح منحني. يتناول باقي الكتاب تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، وحل مسائل أكثر عمومية من النوع نفسه باستخدام المنحنى التربيعي واللولب. وفي أحد حلول المسألة الأولى، نجد أول استخدام موثق لخاصية القطع المخروطي (القطع الزائد) بالرجوع إلى البؤرة والدليل. [ 11 ]

الكتاب الخامس

في الكتاب الخامس، وبعد مقدمة شيقة حول المضلعات المنتظمة، تتضمن ملاحظات حول الشكل السداسي لخلايا قرص العسل ، يتناول بابوس مقارنة مساحات الأشكال المستوية المختلفة التي لها نفس المحيط (تبعًا لرسالة زينودوروس في هذا الموضوع)، وحجوم الأشكال الصلبة المختلفة التي لها نفس المساحة السطحية، وأخيرًا، مقارنة بين المجسمات المنتظمة الخمسة لأفلاطون . ويصف بابوس، بالمناسبة، المجسمات الثلاثة عشر الأخرى متعددة السطوح المحاطة بمضلعات متساوية الأضلاع ومتساوية الزوايا، ولكنها ليست متشابهة، والتي اكتشفها أرخميدس ، ويجد، بطريقة تُذكّر بطريقة أرخميدس، سطح وحجم الكرة. [ 11 ]

الكتاب السادس

بحسب المقدمة، يهدف الكتاب السادس إلى حلّ الصعوبات التي تظهر في ما يُسمى بـ" علم الفلك الصغير " (Μικρὸς Ἀστρονομούμενος)، أي الأعمال الأخرى غير كتاب المجسطي . وعليه، يُعلّق على كتاب "سفايريكا " لثيودوسيوس ، و" الكرة المتحركة " لأوتوليكوس ، وكتاب ثيودوسيوس عن الليل والنهار ، ورسالة أريستارخوس "في حجم الشمس والقمر ومسافاتهما" ، وكتاب إقليدس "البصريات والظواهر" . [ 11 ]

الكتاب السابع

منذ أن استشهد ميشيل شاسل بهذا الكتاب لبابوس في تاريخه للأساليب الهندسية، [ 12 ] أصبح موضع اهتمام كبير.

يشرح تمهيد الكتاب السابع مصطلحي التحليل والتركيب، والتمييز بين النظرية والمسألة. ثم يسرد بابوس أعمال إقليدس وأبولونيوس وأريستايوس وإراتوستينس ، وهي ثلاثة وثلاثون كتابًا في المجموع، يعتزم تقديم جوهرها مع الليمات اللازمة لتوضيحها. وبذكره لمسائل إقليدس ، نجد شرحًا لعلاقة المسألة بالنظرية والمسألة. ويتضمن التمهيد نفسه (أ) المسألة الشهيرة المعروفة باسم بابوس، والتي غالبًا ما تُصاغ على النحو التالي: إذا أعطينا عددًا من الخطوط المستقيمة، فإيجاد المحل الهندسي لنقطة بحيث تحقق أطوال الأعمدة عليها، أو (بشكل أعم) الخطوط المرسومة منها بشكل مائل بزوايا معينة، شرط أن يكون حاصل ضرب بعضها نسبة ثابتة إلى حاصل ضرب الباقي. (لم يعبّر بابوس عن ذلك بهذه الصيغة، بل عن طريق تركيب النسب، قائلاً إنه إذا أُعطيت النسبة التي تُركّب من نسب أزواج من مجموعة وأخرى من الخطوط المرسومة، ونسبة الخط الفردي، إن وُجد، إلى خط مستقيم مُعطى، فإن النقطة ستقع على منحنى مُعطى في موضعه)؛ (ب) النظريات التي أعاد اكتشافها بول غولدين وسُمّيت باسمه ، ولكن يبدو أن بابوس نفسه هو من اكتشفها. [ 11 ]

يحتوي الكتاب السابع أيضًا على

  1. تحت عنوان كتاب De Sectione Determinata لأبولونيوس، فإن الليمات التي، عند فحصها عن كثب، يتبين أنها حالات من انقلاب ست نقاط؛ [ 11 ]
  2. الليمات المهمة حول بوريزمز إقليدس، [ 11 ] بما في ذلك ما يسمى بنظرية بابوس السداسية ؛ [ 13 ]
  3. تُعدّ هذه المبرهنة، المُستندة إلى كتاب " المواضع السطحية " لإقليدس، مُرادفةً لقوله إنّ الموضع الذي تقع فيه نقطة ما، بحيث تكون المسافة بينها وبين نقطة مُعطاة نسبةً ثابتةً إلى المسافة بينها وبين خط مستقيم مُعطى، هو قطع مخروطي . ويلي ذلك براهين تُثبت أنّ هذا القطع المخروطي هو قطع مكافئ ، أو قطع ناقص ، أو قطع زائد، وذلك بحسب ما إذا كانت النسبة الثابتة تساوي 1، أو أقل من 1، أو أكبر من 1 (وهي أولى البراهين المُسجلة لهذه الخصائص، والتي لم تظهر في كتابات أبولونيوس). [ 11 ]

تكررت إشارة تشالس إلى بابوس من قِبل فيلهلم بلاشكه [ 14 ] وديرك ستريك [ 15 ] . وفي كامبريدج، إنجلترا، أتاح جون ج. ميلن للقراء فرصة الاطلاع على قراءته لبابوس [ 16 ] . وفي عام 1985، كتب ألكسندر جونز أطروحته في جامعة براون حول هذا الموضوع. ونُشرت نسخة منقحة من ترجمته وتعليقه من قِبل دار نشر سبرينغر في العام التالي. وقد نجح جونز في إظهار كيفية تعامل بابوس مع الشكل الرباعي الكامل ، واستخدامه لعلاقة المرافقات التوافقية الإسقاطية ، وإدراكه للنسب التبادلية بين النقاط والخطوط. علاوة على ذلك، تم الكشف عن مفهوم القطب والقطبية كمبدأ في الكتاب السابع [ 17 ] .

الكتاب الثامن

يتناول الكتاب الثامن بشكل أساسي الميكانيكا، وخصائص مركز الثقل، وبعض القوى الميكانيكية. ويتخلله بعض القضايا المتعلقة بالهندسة البحتة. توضح القضية 14 كيفية رسم قطع ناقص يمر بخمس نقاط معطاة، بينما تقدم القضية 15 طريقة بسيطة لإنشاء محاور القطع الناقص عند معرفة زوج من الأقطار المترافقة . [ 11 ]

إرث

كانت مجموعة بابوس غير معروفة نسبيًا في أوروبا في العصور الوسطى، لكنها أثرت تأثيرًا كبيرًا على الرياضيات في القرن السابع عشر بعد ترجمتها إلى اللاتينية على يد فيديريكو كوماندينو . [ 18 ] وكانت كتابات ديوفانتوس في الحساب ومجموعة بابوس المصدرين الرئيسيين لكتاب فييت " في فن التحليل" (1591). [ 19 ] وقد أدت مسألة بابوس وتعميمها إلى تطوير ديكارت للهندسة التحليلية . [ 20 ] كما طور فيرما نسخته من الهندسة التحليلية وطريقته في حساب القيم العظمى والصغرى انطلاقًا من ملخصات بابوس لأعمال أبولونيوس المفقودة "المواضع المستوية " و" حول المقطع المحدد" . [ 21 ] ومن بين علماء الرياضيات الآخرين الذين تأثروا ببابوس: باتشولي ، دافنشي ، كبلر ، فان رومين ، باسكال ، نيوتن ، برنولي ، أويلر ، غاوس ، جيرجون ، شتاينر ، وبونسيليه . [ 22 ]

في كتاب "كيفية حلها" ، وهو كتاب صدر عام 1945 حول حل المشكلات، أرجع عالم الرياضيات جورج بوليا الفضل إلى مناقشة الكتاب السابع للتحليل الهندسي والتركيب باعتباره المحاولة الأولى لتعريف المجال الذي سيُعرف لاحقًا باسم الاستدلالات :

في الكتاب السابع من مجموعته ، يتحدث بابوس عن فرع من الدراسة يسميه التحليل . ويمكننا ترجمة هذا الاسم إلى الإنجليزية بـ "كنز التحليل"، أو "فن حل المشكلات"، أو حتى "الاستدلال"؛ ويبدو أن المصطلح الأخير هو الأنسب هنا. [ 23 ]

يحتوي "قاموس الاستدلال" في كتاب "كيف تحل المسائل " على مدخل مطوّل حول إسهامات بابوس. [ 24 ] كما نسب بوليا إلى عالم الرياضيات اليوناني الفضل في صياغة استراتيجية الاستدلال المتمثلة في العمل عكسيًا لحل المسائل الصعبة، أي البدء من نقطة تفترض استيفاء شرط المسألة في جميع أجزائها، ثم العمل عكسيًا للوصول إلى شيء معروف. وأشار بوليا إلى "عبارة بابوس القصيرة والغامضة نوعًا ما": افترض أن المطلوب فعله قد تم بالفعل. [ 25 ] وقد أعادت شعبية كتاب " كيف تحل المسائل" إحياء الاهتمام بالاستدلال وإرث بابوس. [ 26 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 بيرد، جون (14 يوليو 2017). الرياضيات الهندسية . تايلور وفرانسيس. ص  590. ISBN 978-1-317-20260-8.
  2. 1 2 بيير ديدرون، ج. إيتارد (1959) الرياضيات والرياضيون ، المجلد 1، ص 149 (ترجمة جوديث ف. فيلد ) (مكتبة ترانس وورلد للطلاب، 1974)
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 هيث 1911 ، ص 740.
  4. ↑ ويليام ويول ، تاريخ العلوم الاستقرائية ، المجلد 1، الصفحات 188-189 (نيويورك: دي. أبليتون وشركاه ، 1875) (تم استرجاعه في 22 مارس 2025).
  5. 1 2 وايتهيد، ديفيد (محرر). "سودا على الإنترنت - بابوس" . سودا على الإنترنت واتحاد ستوا . تم الاطلاع عليه في 11 يوليو 2012. فيلسوف إسكندري، وُلد في عهد الإمبراطور الأكبر ثيودوسيوس، في نفس الفترة التي ازدهر فيها الفيلسوف ثيون، مؤلف كتاب "قانون بطليموس". من مؤلفاته: " وصف العالم المأهول" ؛ وهو شرح للكتب الأربعة من " التركيب الكبير" لبطليموس؛ و "أنهار ليبيا" ؛ و "تفسير الأحلام" .
  6. ↑ رايدآوت، برونوين (2008). بابوس يولد من جديد: بابوس الإسكندري والوجه المتغير للتحليل والتركيب في أواخر العصور القديمة (رسالة ماجستير). كلية العلوم الإنسانية بجامعة كانتربري. ص 14. doi : 10.26021/3834 . hdl : 10092/2329 . 
  7. ^ سميث ، ديفيد يوجين (يناير 1934). "مراجعة لـ Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique. بقلم Paul ver Eecke" (PDF) . ثور. أكون. الرياضيات. شركة نفط الجنوب . 40 (1): 11– 12. دوى : 10.1090/S0002-9904-1934-05766-5 .
  8. ↑ ويفر، جيمس هنري (1916). "بابوس. ورقة تمهيدية" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 23 ( 3): 127-135 . doi : 10.1090/S0002-9904-1916-02895-3 .
  9. ↑ بابوس الاسكندري، ترانس. إلى اللاتينية بواسطة فريدريش هولتش. مجموعة Pappi Alexandrini هي quae supersunt . أبود ويدمانوس، 1877، ص 19-29.
  10. ↑ إتش إس إم كوكسيتر (23 مايو 2012). متعددات الوجوه المنتظمة . شركة كورير. ص 88-238. ISBN  978-0-486-14158-9.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 هيث 1911 ، ص 741.
  12. ^ ميشيل تشالز (1837) نظرة تاريخية على الأصل وتطوير الأساليب الهندسية ، خاصة الصفحة 302؛ وانظر أيضاً الصفحات 12 و78 و518.
  13. ↑ هيث 1911ب ، ص 102.
  14. ^ فيلهلم بلاشكي (1948) Projektiva Geometrie ، الصفحة 140
  15. ↑ ديرك ستريك (1953) محاضرات في الهندسة التحليلية والإسقاطية ، صفحة 19، أديسون-ويسلي
  16. ↑ ميلن 1911 .
  17. ↑ جونز (1986) . للاطلاع على الشكل الرباعي الكامل، والنسب التبادلية، والمرافقات التوافقية، انظر، على سبيل المثال، الصفحة 560. لمناقشة نتائج بابوس حول الأقطاب والمتجهات القطبية، انظر، على سبيل المثال، الصفحة 568.
  18. ↑ مارشيسوتو، إيلينا آن (يونيو 2002). "نظرية بابوس: جسر بين الجبر والهندسة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 109 (6): 497-516 . doi : 10.2307/2695440 . JSTOR 2695440 . 
  19. ↑ فوربس، إريك ج (مايو 1977). "ديكارت وولادة الهندسة التحليلية" . هيستوريا ماثيماتيكا . 4 (2): 141-151 . doi : 10.1016/0315-0860(77)90105-7 .
  20. ↑ بوير، كارل ب. (1949). "اختراع الهندسة التحليلية" . مجلة ساينتفك أمريكان . 180 (1): 40-45 . Bibcode : 1949SciAm.180a..40B . doi : 10.1038/scientificamerican0149-40 .
  21. ↑ ماهوني، مايكل س. (6 أكتوبر 1972). "رياضيات فيرما: البراهين والتخمينات: عادات فيرما في العمل كرياضي تلقي ضوءًا جديدًا على لغز "نظريته الأخيرة" الشهيرة"" . Science . 178 (4056): 30–36 . doi : 10.1126/science.178.4056.30 . JSTOR 1734005. PMID 17754730 .  
  22. ↑ وانر، جيرهارد (2012). "أهمية بابوس في تطور الرياضيات". التحليل العددي والرياضيات التطبيقية Icnaam 2012: المؤتمر الدولي للتحليل العددي والرياضيات التطبيقية . وقائع مؤتمر AIP. 1479 (1): 9-10 . Bibcode : 2012AIPC.1479....9W . doi : 10.1063/1.4756049 .
  23. ↑ بوليا، جورج (1957) [1945]. كيفية حلها: جانب جديد من المنهج الرياضي ( الطبعة الثانية). غاردن سيتي، نيويورك : دابلداي . ص 141. LCCN 57005794 .   
  24. ^ بوليا 1957 ، ص 141-48.
  25. ↑ بوليا 1957 ، ص 105.
  26. ↑ حجيج، محمد؛ فيلكس، أرنيس (فبراير 2023). "تاريخ موجز للاستدلال: كيف تطور البحث في الاستدلال؟". اتصالات العلوم الإنسانية والاجتماعية . 10 (1) 64: 1-15 . doi : 10.1057/s41599-023-01542-z .

مراجع

الإسناد:

للمزيد من القراءة

  • "بابوس الإسكندري (عاش حوالي 200-350 ميلاديًا)". قاموس هاتشينسون للسير العلمية . دار هيليكون للنشر. 2004. عالم رياضيات وفلك وجغرافيا يوناني، تكمن أهميته الرئيسية في تعليقاته على الأعمال الرياضية لأسلافه.
  • إيكي، بول فير (1933). بابوس الإسكندرية: مجموعة الرياضيات مع مقدمة وملاحظات (مجلدان من Fondation Universitaire de Belgique  ed.). باريس: ألبرت بلانشارد.