التيار المحفوظ

في الفيزياء، التيار المحفوظ هو تيار ، $j^{\mu }$ ، الذي يحقق معادلة الاستمرارية $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ تمثل معادلة الاستمرارية قانون حفظ، ومن هنا جاء الاسم.

في الواقع، تكامل معادلة الاستمرارية على حجم $V$ ، كبيرة بما يكفي بحيث لا يكون هناك تيارات صافية عبر سطحها، مما يؤدي إلى قانون الحفظ ${\frac {\partial }{\partial t}}Q=0\;,$ أين ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$ هي الكمية المحفوظة .

في نظريات القياس، ترتبط حقول القياس بالتيارات المحفوظة. على سبيل المثال، يرتبط المجال الكهرومغناطيسي بالتيار الكهربائي المحفوظ .

الكميات المحفوظة والتناظرات

التيار المحفوظ هو تدفق المرافق الكنسي لكمية تتمتع بتناظر انتقالي مستمر . معادلة استمرارية التيار المحفوظ هي بيان لقانون الحفظ . من أمثلة الكميات المرافقة الكنسية:

الزمن والطاقة - التناظر الانتقالي المستمر للزمن يعني حفظ الطاقة
المكان والزخم - التناظر الانتقالي المستمر للمكان يعني حفظ الزخم
الفضاء والزخم الزاوي - التناظر الدوراني المستمر للفضاء يستلزم حفظ الزخم الزاوي
طور الدالة الموجية والشحنة الكهربائية - يشير تناظر زاوية الطور المستمر للدالة الموجية إلى حفظ الشحنة الكهربائية

تلعب التيارات المحفوظة دورًا بالغ الأهمية في الفيزياء النظرية ، إذ تربط نظرية نوثر وجود تيار محفوظ بوجود تناظر لكمية معينة في النظام المدروس. عمليًا، تُعدّ جميع التيارات المحفوظة تيارات نوثر ، لأن وجود تيار محفوظ يستلزم وجود تناظر. كما تلعب التيارات المحفوظة دورًا هامًا في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية ، إذ يشير وجود تيار محفوظ إلى وجود ثوابت حركة ، وهي ضرورية لتحديد التوريق ، وبالتالي نظام قابل للتكامل . يُعبّر عن قانون الحفظ بانعدام تباعد رباعي، حيث تُشكّل شحنة نوثر المكوّن الصفري للتيار الرباعي .

أمثلة

الكهرومغناطيسية

إن مبدأ حفظ الشحنة ، على سبيل المثال، في تدوين معادلات ماكسويل ، ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$

أين

ρ هي كثافة الشحنة الكهربائية الحرة (بوحدات C/m ³ )
J هي كثافة التيار $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$ حيث v هي سرعة الشحنات.

وينطبق هذا القانون بالتساوي على الكتل (أو الكميات المحفوظة الأخرى)، حيث يتم استبدال كلمة الكتلة بكلمة الشحنة الكهربائية المذكورة أعلاه.

حقل قياسي معقد

كثافة لاغرانج كلاين- غوردون ${\mathcal {L}}=\جزئي _{\mu }\phi ^{*}\,\جزئي ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )$ من حقل قياسي معقد $φ$ ثابت تحت تحويل التناظر $\phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.$ تعريف $δφ = φ' - φ$ نجد تيار نوثر $j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d{\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi }}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi ^{*}}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\جزئي ^{\mu) }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\جزئي ^{\mu }\phi )$ وهو ما يحقق معادلة الاستمرارية. هنا $\mathbf {Q} _{r}$ هو مولد التناظر، وهو ${\frac {d(\delta \mathbf {q} )}{d\alpha _{r}}}$ في حالة وجود مُعامل واحد $\alpha$ .

انظر أيضاً

مراجع

جولدشتاين، هربرت (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. الصفحات 588-596 . ISBN 0-201-02918-9.

ديفيد ج. غريفيث (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول. الصفحات 356-357 . ISBN 978-0-13-805326-0.

بيسكين، مايكل إي.؛ شرودر، دانيال في. (1995). "الفصل 1.2.2. عناصر نظرية الحقل الكلاسيكية". مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-201-50397-5.