الزخم الزاوي

الزخم الزاوي كمية متجهة (أو بالأحرى، شبه متجهة ) تمثل حاصل ضرب عزم القصور الذاتي الدوراني للجسم وسرعته الدورانية (بالراديان/ثانية) حول محور معين. مع ذلك، إذا كان مسار الجسيم يقع في مستوى واحد ، يكفي تجاهل الطبيعة المتجهة للزخم الزاوي، والتعامل معه ككمية قياسية (أو بالأحرى، شبه قياسية ). ^{[ 5 ]} يمكن اعتبار الزخم الزاوي نظيرًا دورانيًا للزخم الخطي. وبالتالي، حيث يتناسب الزخم الخطي p طرديًا مع الكتلة m والسرعة الخطية v ،$${\displaystyle p=mv,}$$ الزخم الزاوي L يتناسب مع عزم القصور الذاتي I والسرعة الزاوية ω المقاسة بالراديان في الثانية. ^{[ 6 ]}$${\displaystyle L=I\omega .}$$

على عكس الكتلة، التي تعتمد فقط على كمية المادة، يعتمد عزم القصور الذاتي أيضًا على موضع محور الدوران وتوزيع المادة. وعلى عكس السرعة الخطية، التي لا تعتمد على اختيار نقطة الأصل، تُقاس السرعة الزاوية المدارية دائمًا بالنسبة إلى نقطة أصل ثابتة. لذلك، من الناحية الدقيقة، ينبغي الإشارة إلى L على أنها الزخم الزاوي بالنسبة إلى ذلك المركز . ^{[ 7 ]}

في حالة الحركة الدائرية لجزيء واحد، يمكننا استخدام${\displaystyle I=r^{2}m}$و${\displaystyle \omega ={v}/{r}}$لتوسيع الزخم الزاوي كـ${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}$يُختزل إلى: $${\displaystyle L=rmv,}$$

حاصل ضرب نصف قطر الدوران r والزخم الخطي للجسيم${\displaystyle p=mv}$، أين${\displaystyle v=r\omega }$هي السرعة الخطية (المماسية) .

يمكن تطبيق هذا التحليل البسيط أيضًا على الحركة غير الدائرية إذا استخدمنا مركبة الحركة العمودية على متجه نصف القطر : $${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$$ أين${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$هو المكون العمودي للحركة. التمدد،${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$إعادة الترتيب،${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$ويمكن أيضاً التعبير عن الزخم الزاوي بالتناقص، $${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$$ أين${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$يمثل طول ذراع العزم ، وهو خط عمودي يسقط من نقطة الأصل على مسار الجسيم. وهذا التعريف، (طول ذراع العزم) × (الزخم الخطي) ، هو ما يشير إليه مصطلح عزم الزخم . ^{[ 8 ]}

ثمة نهج آخر يتمثل في تعريف الزخم الزاوي بأنه الزخم المرافق (ويسمى أيضًا الزخم الكنسي ) للإحداثي الزاوي${\displaystyle \phi }$معبرًا عنها بدلالة لاغرانجيان النظام الميكانيكي. لنفترض نظامًا ميكانيكيًا بكتلة${\displaystyle m}$مقيد بالتحرك في دائرة نصف قطرها${\displaystyle r}$في غياب أي مجال قوة خارجي، تكون الطاقة الحركية للنظام هي $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

والطاقة الكامنة هي $${\displaystyle U=0.}$$

ثم يكون لاغرانجيان $${\displaystyle {\mathcal {L}}{\left(\phi ,{\dot {\phi}}\right)}=TU={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

الزخم المعمم "المترافق بشكل قانوني" مع الإحداثي${\displaystyle \phi }$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$$

لتعريف الزخم الزاوي المداري تعريفًا كاملًا في ثلاثة أبعاد ، يلزم معرفة معدل مسح متجه الموضع بزاوية، والاتجاه العمودي على مستوى الإزاحة الزاوية اللحظية ، والكتلة المؤثرة ، فضلًا عن كيفية توزيع هذه الكتلة في الفضاء. ^{[ 9 ]} وبالحفاظ على هذه الطبيعة المتجهة للزخم الزاوي، تُحفظ أيضًا الطبيعة العامة للمعادلات، ويمكنها وصف أي نوع من الحركة ثلاثية الأبعاد حول مركز الدوران - دائرية ، أو خطية ، أو غير ذلك. في الترميز المتجهي ، يمكن التعبير عن الزخم الزاوي المداري لجسيم نقطي يتحرك حول نقطة الأصل كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$ أين

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$هو عزم القصور الذاتي لكتلة نقطية ،
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}$هي السرعة الزاوية المدارية للجسيم حول نقطة الأصل،
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل متجه موضع الجسيم بالنسبة إلى نقطة الأصل، و${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$،
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$هي السرعة الخطية للجسيم بالنسبة إلى نقطة الأصل، و
• ${\displaystyle m}$هي كتلة الجسيم.

يمكن توسيع هذا، وتقليصه، وإعادة ترتيبه وفقًا لقواعد الجبر المتجهي : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ وهو حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الموضع${\displaystyle \mathbf {r} }$والزخم الخطي${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$للجسيم. بحسب تعريف الضرب الاتجاهي، فإن${\displaystyle \mathbf {L} }$المتجه عمودي على كليهما${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle \mathbf {p} }$ويكون اتجاهه عموديًا على مستوى الإزاحة الزاوية، كما هو موضح في قاعدة اليد اليمنى – بحيث تُرى السرعة الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من رأس المتجه. وعلى العكس من ذلك،${\displaystyle \mathbf {L} }$يحدد المتجه المستوى الذي${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle \mathbf {p} }$كذب.

من خلال تعريف متجه الوحدة${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$عموديًا على مستوى الإزاحة الزاوية، سرعة زاوية قياسية${\displaystyle \omega }$النتائج، حيث $${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$$و $${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$$أين${\displaystyle v_{\perp }}$هو المكون العمودي للحركة، كما هو موضح أعلاه.

وبالتالي، يمكن إعطاء اتجاه للمعادلات العددية ثنائية الأبعاد الواردة في القسم السابق: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$$ و${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$بالنسبة للحركة الدائرية، حيث تكون الحركة بأكملها عمودية على نصف القطر${\displaystyle r}$.

في نظام الإحداثيات الكروية، يُعبر عن متجه الزخم الزاوي كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

يمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة رياضياً،$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ أو القوة = الكتلة × التسارع . ويمكن اشتقاق المكافئ الدوراني للجسيمات النقطية على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$$وهذا يعني أن عزم الدوران (أي المشتق الزمني للزخم الزاوي) هو $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.}$$

لأن عزم القصور الذاتي هو${\displaystyle mr^{2}}$وبناءً على ذلك${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$، و${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$والذي يختزل إلى $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$$ هذا هو النظير الدوراني لقانون نيوتن الثاني. لاحظ أن عزم الدوران ليس بالضرورة متناسبًا أو موازيًا للتسارع الزاوي (كما قد يتوقع المرء). والسبب في ذلك هو أن عزم القصور الذاتي للجسيم يتغير مع الزمن، وهو أمر لا يمكن أن يحدث للكتلة العادية.

يمكن صياغة نظير دوراني لقانون نيوتن الثالث للحركة على النحو التالي: "في نظام معزول ، لا يمكن التأثير بعزم دوران على أي جسم دون أن يؤثر عزم دوران مساوٍ ومعاكس على جسم آخر حول المحور نفسه." ^{[ 20 ]} وبالتالي، يمكن تبادل الزخم الزاوي بين الأجسام في نظام معزول، لكن الزخم الزاوي الكلي قبل التبادل وبعده يظل ثابتًا (محفوظًا) . ^{[ 21 ]}

وبعبارة أخرى، يمكن صياغة نظير دوراني لقانون نيوتن الأول للحركة على النحو التالي: "يستمر الجسم الصلب في حالة دوران منتظم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية." ^{[ 20 ]} وبالتالي، في غياب أي تأثير خارجي، يظل الزخم الزاوي الأصلي للنظام ثابتًا . ^{[ 22 ]}

يُستخدم قانون حفظ الزخم الزاوي في تحليل حركة القوة المركزية . إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على جسم ما موجهة دائمًا نحو نقطة ما، وهي المركز ، فلن يكون هناك عزم دوران على الجسم بالنسبة إلى المركز، لأن كل القوة موجهة على طول متجه نصف القطر ، ولا يوجد أي عزم دوران عمودي على نصف القطر. رياضيًا، عزم الدوران${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$لأنه في هذه الحالة${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle \mathbf {F} }$هي متجهات متوازية. لذلك، يكون الزخم الزاوي للجسم حول المركز ثابتًا. هذا هو الحال مع التجاذب الجاذبي في مدارات الكواكب والأقمار الصناعية ، حيث تكون قوة الجاذبية موجهة دائمًا نحو الجسم الرئيسي ، وتحافظ الأجسام الدائرة على الزخم الزاوي من خلال تبادل المسافة والسرعة أثناء دورانها حول الجسم الرئيسي. كما تُستخدم حركة القوة المركزية في تحليل نموذج بور للذرة .

بالنسبة للكواكب، يتوزع الزخم الزاوي بين دورانها حول محورها ودورانها حول الشمس، وغالبًا ما يتم تبادل هذين الزخمين عبر آليات مختلفة. يؤدي قانون حفظ الزخم الزاوي في نظام الأرض والقمر إلى انتقال الزخم الزاوي من الأرض إلى القمر، نتيجةً لعزم المد والجزر الذي يمارسه القمر على الأرض. وهذا بدوره يؤدي إلى تباطؤ معدل دوران الأرض، بمقدار 65.7 نانوثانية تقريبًا في اليوم، ^{[ 23 ]} وإلى زيادة تدريجية في نصف قطر مدار القمر، بمقدار 3.82  سنتيمتر تقريبًا في السنة. ^{[ 24 ]}

يشرح قانون حفظ الزخم الزاوي التسارع الزاوي لمتزلج الجليد عندما يُقرّب ذراعيه وساقيه من محور الدوران الرأسي. فبتقريب جزء من كتلة جسمه من المحور، يُقلّل من عزم قصوره الذاتي. ولأن الزخم الزاوي هو حاصل ضرب عزم القصور الذاتي في السرعة الزاوية ، فإذا بقي الزخم الزاوي ثابتًا (محفوظًا)، فإن السرعة الزاوية (سرعة الدوران) للمتزلج ستزداد.

وتؤدي الظاهرة نفسها إلى دوران سريع للغاية للنجوم المدمجة (مثل الأقزام البيضاء والنجوم النيوترونية والثقوب السوداء ) عندما تتشكل من نجوم أكبر بكثير وأبطأ دورانًا.

لا يُعدّ مبدأ حفظ الزخم دائمًا تفسيرًا كاملًا لديناميكيات النظام، ولكنه قيد أساسي. فعلى سبيل المثال، يخضع دولاب دوار لعزم دوران جاذبي يجعله يميل ويغير زخمه الزاوي حول محور التذبذب ، ولكن بإهمال الاحتكاك عند نقطة التلامس الدوراني، فإنه يحتفظ بزخم زاوي حول محور دورانه، وآخر حول محور ترنحه . كذلك، في أي نظام كوكبي ، يمكن للكواكب والنجوم والمذنبات والكويكبات أن تتحرك بطرق معقدة ومتعددة، ولكن فقط بحيث يبقى الزخم الزاوي للنظام محفوظًا.

تنص نظرية نوثر على أن كل قانون حفظ يرتبط بتناظر ( ثابت) في الفيزياء الأساسية. التناظر المرتبط بحفظ الزخم الزاوي هو التناظر الدوراني . إن حقيقة أن فيزياء النظام لا تتغير إذا تم تدويره بأي زاوية حول محور ما، تعني أن الزخم الزاوي محفوظ. ^{[ 25 ]}

بينما يمكن فهم مبدأ حفظ الزخم الزاوي الكلي بمعزل عن قوانين نيوتن للحركة باعتباره نابعًا من نظرية نوثر في الأنظمة المتناظرة تحت الدوران، فإنه يمكن أيضًا فهمه ببساطة كطريقة فعالة لحساب النتائج التي يمكن التوصل إليها مباشرةً من قانون نيوتن الثاني، إلى جانب القوانين التي تحكم قوى الطبيعة (مثل قانون نيوتن الثالث، ومعادلات ماكسويل، وقوة لورنتز ). في الواقع، بمعرفة الشروط الابتدائية للموقع والسرعة لكل نقطة، والقوى عند هذه الشروط، يمكن استخدام قانون نيوتن الثاني لحساب المشتقة الثانية للموقع، وحل هذه المعادلة يعطي معلومات كاملة عن تطور النظام الفيزيائي مع الزمن. ^{[ 26 ]} مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذا لم يعد صحيحًا في ميكانيكا الكم ، نظرًا لوجود دوران الجسيم ، وهو زخم زاوي لا يمكن وصفه بالتأثير التراكمي للحركات النقطية في الفضاء.

على سبيل المثال، لنفترض انخفاض عزم القصور الذاتي ، كما هو الحال عندما يسحب متزلج على الجليد يديه، مما يزيد من سرعة حركته الدائرية. من حيث حفظ الزخم الزاوي، لدينا، بالنسبة للزخم الزاوي L وعزم القصور الذاتي I والسرعة الزاوية ω : $${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$$

باستخدام هذا، نرى أن التغيير يتطلب طاقة مقدارها: $${\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ وبالتالي فإن انخفاض عزم القصور الذاتي يتطلب استثمار الطاقة.

يمكن مقارنة ذلك بالشغل المبذول كما هو محسوب باستخدام قوانين نيوتن. تتسارع كل نقطة في الجسم الدوار، في كل لحظة زمنية، بتسارع شعاعي مقداره: $${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$$

لنفترض أننا نراقب نقطة كتلتها m ، ويكون متجه موضعها بالنسبة لمركز الحركة عموديًا على المحور z عند لحظة زمنية معينة، وتقع على مسافة z . تكون قوة الجذب المركزي المؤثرة على هذه النقطة، مع الحفاظ على الحركة الدائرية، كما يلي: $${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$$

وبالتالي فإن العمل المطلوب لتحريك هذه النقطة إلى مسافة dz أبعد عن مركز الحركة هو: $${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)}$$

بالنسبة لجسم غير نقطي، يجب إجراء التكامل على هذا، مع استبدال m بكثافة الكتلة لكل وحدة z . وهذا يعطي: $${\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$ وهي بالضبط الطاقة المطلوبة للحفاظ على الزخم الزاوي.

لاحظ أن الحساب المذكور أعلاه يمكن إجراؤه أيضًا لكل كتلة، باستخدام علم الحركة فقط. وبالتالي، يمكن فهم ظاهرة تسارع السرعة المماسية لدى متزلجي التزلج الفني أثناء ضم أيديهم، بلغة مبسطة، على النحو التالي: لا تتحرك راحتا المتزلج في خط مستقيم، لذا فهما تتسارعان باستمرار نحو الداخل، لكنهما لا تكتسبان سرعة إضافية لأن التسارع يحدث دائمًا عندما تكون حركتهما نحو الداخل صفرًا. ومع ذلك، يختلف الأمر عند ضم راحتي اليدين نحو الجسم: فالتسارع الناتج عن الدوران يزيد السرعة؛ ولكن بسبب الدوران، لا تُترجم الزيادة في السرعة إلى سرعة كبيرة نحو الداخل، بل إلى زيادة في سرعة الدوران.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يمكن إثبات أن ثبات الدوال الفعلية تحت الدوران يستلزم حفظ الزخم الزاوي. يُعرَّف الفعل في الفيزياء الكلاسيكية بأنه دالة للمواقع.${\displaystyle x_{i}(t)}$غالباً ما يتم تمثيلها باستخدام الأقواس المربعة، والوقتين النهائي والابتدائي. وتأخذ الشكل التالي في الإحداثيات الديكارتية:$${\displaystyle S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)}$$حيث تشير المؤشرات المتكررة إلى الجمع على المؤشر. إذا كان الفعل ثابتًا تحت تحويل متناهي الصغر، فيمكن التعبير عنه رياضيًا على النحو التالي:${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$.

في ظل هذا التحول،${\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}}$، يصبح الفعل كالتالي: $${\displaystyle S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)}$$ حيث يمكننا استخدام توسيع الحدود حتى الرتبة الأولى في${\textstyle \delta x_{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}}$$مما أدى إلى التغيير التالي في الإجراء: $${\displaystyle S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).}$$

بما أن جميع عمليات الدوران يمكن التعبير عنها كدالة أسية للمصفوفات المتناظرة المائلة، أي كـ${\displaystyle R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }}$أين${\displaystyle M}$هي مصفوفة متناظرة معكوسة و${\displaystyle \theta }$إذا كانت زاوية الدوران، فيمكننا التعبير عن تغير الإحداثيات الناتج عن الدوران${\displaystyle R({\hat {n}},\delta \theta )}$، حتى الدرجة الأولى من زاوية الدوران المتناهية الصغر،${\displaystyle \delta \theta }$مثل: $${\displaystyle \delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .}$$

بدمج معادلة الحركة وثبات الفعل الدوراني ، نحصل من المعادلات السابقة على ما يلي:$${\displaystyle 0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}}$$بما أن هذا صحيح لأي مصفوفة${\displaystyle M_{ij}}$ذلك يرضي${\displaystyle M_{ij}=-M_{ji},}$وينتج عن ذلك حفظ الكمية التالية: $${\displaystyle \ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),}$$ مثل${\displaystyle \ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})}$وهذا يتوافق مع قانون حفظ الزخم الزاوي طوال الحركة. ^{[ 27 ]}

في ميكانيكا لاغرانج ، الزخم الزاوي للدوران حول محور معين هو الزخم المرافق للإحداثي المعمم للزاوية حول نفس المحور. على سبيل المثال،${\displaystyle L_{z}}$، الزخم الزاوي حول المحور z، هو: $${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$$ أين${\displaystyle {\cal {L}}}$هو لاغرانجيان و${\displaystyle \theta _{z}}$هي الزاوية حول المحور z.

لاحظ أن${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$، وهي المشتقة الزمنية للزاوية، هي السرعة الزاوية${\displaystyle \omega _{z}}$عادةً، تعتمد دالة لاغرانج على السرعة الزاوية من خلال الطاقة الحركية: ويمكن كتابة الأخيرة بفصل السرعة إلى جزئها القطري والمماسي، حيث يكون الجزء المماسي في المستوى xy، حول المحور z، مساوياً لما يلي: $${\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ حيث يشير الرمز السفلي i إلى الجسم رقم i، و${\displaystyle m}$،${\displaystyle v_{T}}$و${\displaystyle \omega _{z}}$تمثل هذه الرموز الكتلة، والسرعة المماسية حول المحور z، والسرعة الزاوية حول ذلك المحور، على التوالي.

بالنسبة لجسم ليس نقطيًا، بكثافة ρ ، لدينا بدلاً من ذلك: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$ حيث يتم التكامل على مساحة الجسم، ^{[ 28 ]} و I _z هو عزم القصور الذاتي حول المحور z.

وبالتالي، بافتراض أن طاقة الوضع لا تعتمد على ω _z (قد يفشل هذا الافتراض بالنسبة للأنظمة الكهرومغناطيسية)، فإن لدينا الزخم الزاوي للجسم رقم i : $${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$$

لقد قمنا حتى الآن بتدوير كل جسم بزاوية منفصلة؛ يمكننا أيضًا تحديد زاوية إجمالية θ _z نقوم بتدوير النظام بأكمله بها، وبالتالي تدوير كل جسم حول المحور z، والحصول على الزخم الزاوي الإجمالي: $${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

ومن معادلات أويلر-لاغرانج يتبين ما يلي: $${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$$

بما أن دالة لاغرانج تعتمد على زوايا الجسم فقط من خلال الجهد، فإننا نحصل على: $${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$$ وهو عزم الدوران المؤثر على الجسم رقم i .

لنفترض أن النظام ثابت بالنسبة للدوران، بحيث يكون الجهد مستقلاً عن الدوران الكلي بالزاوية θz (وبالتالي قد يعتمد على زوايا الأجسام فقط من خلال فروقها، على النحو التالي _:${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$وبالتالي نحصل على الزخم الزاوي الكلي: $${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$$ وبالتالي فإن الزخم الزاوي حول المحور z محفوظ.

يمكن تكرار هذا التحليل بشكل منفصل لكل محور، مما يُثبت حفظ متجه الزخم الزاوي. مع ذلك، لا يمكن التعامل مع الزوايا حول المحاور الثلاثة في آنٍ واحد كإحداثيات معممة، لأنها ليست مستقلة؛ فزاويتان لكل نقطة تكفيان لتحديد موضعها. صحيح أنه في حالة الجسم الصلب، يتطلب وصفه وصفًا كاملًا، بالإضافة إلى ثلاث درجات حرية انتقالية ، تحديد ثلاث درجات حرية دورانية أيضًا؛ إلا أنه لا يمكن تعريف هذه الدرجات على أنها دورانات حول المحاور الديكارتية (انظر زوايا أويلر ). ينعكس هذا القيد في ميكانيكا الكم في علاقات التبادل غير التافهة بين مختلف مكونات مؤثر الزخم الزاوي .

بصورة مكافئة، في ميكانيكا هاميلتون، يمكن وصف الهاميلتوني كدالة للزخم الزاوي. وكما سبق، فإن جزء الطاقة الحركية المتعلق بالدوران حول المحور z للجسم رقم i هو: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$$ وهو ما يشبه اعتماد الطاقة على الزخم على طول المحور z،${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$.

تربط معادلات هاميلتون الزاوية حول المحور z بزخمها المرافق، وهو الزخم الزاوي حول نفس المحور: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$$

المعادلة الأولى تعطي $${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

وهكذا نحصل على نفس النتائج كما في الشكلية اللاغرانجية.

لاحظ أنه عند دمج جميع المحاور معًا، نكتب الطاقة الحركية على النحو التالي: $${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|\mathbf {p} _{i}|^{2}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\mathbf {L} _{i}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}\mathbf {L} _{i}\right)}$$ حيث p _r هو الزخم في الاتجاه القطري، وعزم القصور الذاتي عبارة عن مصفوفة ثلاثية الأبعاد ؛ تشير الأحرف الغامقة إلى متجهات ثلاثية الأبعاد.

بالنسبة للأجسام النقطية لدينا: $${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{p_{r}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\mathbf {L} _{i}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$$

يُعد هذا الشكل من جزء الطاقة الحركية في الهاميلتوني مفيدًا في تحليل مشاكل الجهد المركزي ، ويمكن تحويله بسهولة إلى إطار عمل ميكانيكي كمي (على سبيل المثال في مشكلة ذرة الهيدروجين ).

بالنسبة لمجموعة من الجسيمات المتحركة حول نقطة أصل عشوائية، من المفيد اشتقاق معادلة الزخم الزاوي بتحليل حركتها إلى مركبات حول مركز كتلتها وحول نقطة الأصل. معطى،

• ${\displaystyle m_{i}}$كتلة الجسيم${\displaystyle i}$،
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$هو متجه موضع الجسيم${\displaystyle i}$فيما يتعلق بالأصل،
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$هي سرعة الجسيم${\displaystyle i}$فيما يتعلق بالأصل،
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$يمثل متجه موضع مركز الكتلة بالنسبة إلى نقطة الأصل،
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$هي سرعة مركز الكتلة بالنسبة إلى نقطة الأصل،
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$هو متجه موضع الجسيم${\displaystyle i}$بالنسبة لمركز الكتلة،
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$هي سرعة الجسيم${\displaystyle i}$بالنسبة لمركز الكتلة،

الكتلة الإجمالية للجسيمات هي ببساطة مجموع كتلها. $${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$$

يتم تعريف متجه موضع مركز الكتلة بواسطة ^{[ 30 ]}$${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$$

بالمعاينة،

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$و${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

الزخم الزاوي الكلي لمجموعة الجسيمات هو مجموع الزخم الزاوي لكل جسيم على حدة.

التوسع${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

التوسع${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

يمكن إثبات ذلك (انظر الشريط الجانبي)،

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$و${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

وبالتالي فإن الحدين الثاني والثالث يختفيان.

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

يمكن إعادة ترتيب الحد الأول،

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

وأخيرًا، الزخم الزاوي الكلي لمجموعة الجسيمات هو ^{[ 31 ]}

الحد الأول هو الزخم الزاوي لمركز الكتلة بالنسبة إلى نقطة الأصل. وكما هو الحال في القسم "  جسيم منفرد" أدناه، فهو الزخم الزاوي لجسيم واحد كتلته M في مركز الكتلة يتحرك بسرعة V. أما الحد الثاني فهو الزخم الزاوي للجسيمات المتحركة بالنسبة إلى مركز الكتلة، كما هو الحال في القسم "  مركز كتلة ثابت" أدناه. والنتيجة عامة، إذ لا تقتصر حركة الجسيمات على الدوران حول نقطة الأصل أو مركز الكتلة. ولا يشترط أن تكون الجسيمات كتلًا منفردة، بل يمكن أن تكون عناصر من توزيع متصل، مثل جسم صلب.

بإعادة ترتيب المعادلة ( 2 ) باستخدام متطابقات المتجهات، وضرب كلا الحدين في "واحد"، والتجميع بشكل مناسب، $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$$ يعطي الزخم الزاوي الكلي لنظام الجسيمات بدلالة عزم القصور الذاتي${\displaystyle I}$والسرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$،

التعريف الكلاسيكي للزخم الزاوي هو${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$يمكن تطبيق ذلك على ميكانيكا الكم، بإعادة تفسير r كمؤثر الموضع الكمومي و p كمؤثر الزخم الكمومي . عندئذٍ، يكون L مؤثرًا ، يُسمى تحديدًا مؤثر الزخم الزاوي المداري . تُحقق مركبات مؤثر الزخم الزاوي علاقات التبادل لجبر لي SO(3) . ^{[ 37 ]} في الواقع، تُعد هذه المؤثرات هي الفعل المتناهي الصغر لمجموعة الدوران على فضاء هيلبرت الكمومي . ^{[ 38 ]} (انظر أيضًا المناقشة أدناه حول مؤثرات الزخم الزاوي كمولدات للدوران).

مع ذلك، في فيزياء الكم، يوجد نوع آخر من الزخم الزاوي، يُسمى الزخم الزاوي الدوراني ، ويُرمز له بمؤثر الدوران S. غالبًا ما يُصوَّر الدوران على أنه جسيم يدور حرفيًا حول محور، لكن هذه صورة مُضلِّلة وغير دقيقة: فالدوران خاصية جوهرية للجسيم، لا علاقة لها بأي نوع من الحركة في الفضاء، وتختلف اختلافًا جوهريًا عن الزخم الزاوي المداري. جميع الجسيمات الأولية لها دوران مميز، ^{[ 39 ]} وهو غير صفري لجميع الجسيمات الأولية باستثناء بوزون هيغز (الذي له دوران 0، مما يجعله البوزون القياسي الأولي الوحيد المعروف ). ^{[ 40 ]} على سبيل المثال، للإلكترونات "دوران 1/2" (وهذا يعني في الواقع "دوران ħ /2")، وللفوتونات "دوران 1" (وهذا يعني في الواقع "دوران ħ")، ولميزونات باي " دوران 0" . ^{[ 41 ]}

أخيرًا، هناك الزخم الزاوي الكلي J ، الذي يجمع بين الزخم الزاوي الدوراني والمداري لجميع الجسيمات والمجالات. (بالنسبة لجسيم واحد، J = L + S ). ينطبق قانون حفظ الزخم الزاوي على J ، ولكن ليس على L أو S ؛ فعلى سبيل المثال، يسمح تفاعل الدوران المداري بانتقال الزخم الزاوي ذهابًا وإيابًا بين L و S ، مع بقاء المجموع ثابتًا. لا يشترط أن تكون قيم الزخم الزاوي الكلي للإلكترونات والفوتونات أعدادًا صحيحة، بل يمكن أن تكون أيضًا أنصاف أعداد صحيحة. ^{[ 42 ]}

في الجزيئات، يُمثل الزخم الزاوي الكلي F مجموع الزخم الزاوي الدوراني الاهتزازي (المداري) N ، والزخم الزاوي للدوران الإلكتروني S ، والزخم الزاوي للدوران النووي I. أما في حالات الإلكترون المفردة، فيُرمز للزخم الزاوي الدوراني الاهتزازي بالرمز J بدلاً من N. وكما أوضح فان فليك ^{[ 43 ]} ، فإن مركبات الزخم الزاوي الدوراني الاهتزازي الجزيئي، عند إشارتها إلى محاور ثابتة في الجزيء، لها علاقات تبادلية مختلفة عن تلك الخاصة بالمركبات حول محاور ثابتة في الفضاء.

في ميكانيكا الكم ، يكون الزخم الزاوي مُكمّمًا - أي أنه لا يمكن أن يتغير باستمرار، بل فقط في " قفزات كمومية " بين قيم معينة مسموح بها. بالنسبة لأي نظام، تنطبق القيود التالية على نتائج القياس، حيث${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل و${\displaystyle {\hat {n}}}$أي متجه إقليدي مثل x أو y أو z:

إذا قمت بالقياس ...	والنتيجة قد تكون...
${\displaystyle L_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle S_{\hat {n}}}$أو${\displaystyle J_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}}\hbar ,\hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle {\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$، أين${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$
${\displaystyle S^{2}}$أو${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$، أين${\displaystyle n=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$

ثابت بلانك المختزل${\displaystyle \hbar }$يُعدّ مقدار الزخم الزاوي ضئيلاً للغاية وفقًا للمعايير اليومية، إذ يبلغ حوالي 10⁻³⁴ ^جول /ثانية ، ولذلك لا يؤثر هذا التكميم بشكل ملحوظ على الزخم الزاوي للأجسام العيانية. مع ذلك، فهو بالغ الأهمية في عالم الميكروسكوب. على سبيل المثال، تتأثر بنية أغلفة الإلكترونات وأغلفتها الفرعية في الكيمياء بشكل كبير بتكميم الزخم الزاوي.

تم افتراض تكميم الزخم الزاوي لأول مرة من قبل نيلز بور في نموذجه للذرة، وتم التنبؤ به لاحقًا من قبل إرفين شرودنغر في معادلة شرودنغر الخاصة به .

في التعريف${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$يشارك ستة مشغلين: مشغلو تحديد المواقع${\displaystyle r_{x}}$،${\displaystyle r_{y}}$،${\displaystyle r_{z}}$ومؤثرات الزخم${\displaystyle p_{x}}$،${\displaystyle p_{y}}$،${\displaystyle p_{z}}$ومع ذلك، ينص مبدأ هايزنبرغ للشك على أنه من غير الممكن معرفة جميع هذه الكميات الست بدقة مطلقة في آن واحد. لذا، توجد حدود لما يمكن معرفته أو قياسه حول الزخم الزاوي للجسيم. ويتضح أن أفضل ما يمكن فعله هو قياس كل من مقدار متجه الزخم الزاوي ومركبته على طول محور واحد في آن واحد.

يرتبط عدم اليقين ارتباطًا وثيقًا بحقيقة أن المكونات المختلفة لمؤثر الزخم الزاوي لا تتبادل ، على سبيل المثال${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$(للاطلاع على علاقات التبادل الدقيقة ، انظر عامل الزخم الزاوي .)

كما ذكرنا أعلاه، يتم تعريف الزخم الزاوي المداري L كما هو الحال في الميكانيكا الكلاسيكية:${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$لكن الزخم الزاوي الكلي J يُعرَّف بطريقة مختلفة وأكثر أساسية: يُعرَّف J بأنه "مولد الدورانات". ^{[ 44 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، يُعرَّف J بحيث يكون المؤثر$${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$ هي عملية الدوران التي تأخذ أي نظام وتديره بزاوية${\displaystyle \phi }$حول المحور${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$(يشير الرمز "exp" في الصيغة إلى الدالة الأسية للمؤثر ). بعبارة أخرى، مهما كان فضاء هيلبرت الكمومي لدينا، نتوقع أن تؤثر عليه مجموعة الدوران SO(3) . وبالتالي، يوجد تأثير مرتبط لجبر لي so(3) الخاص بـ SO(3)؛ والمؤثرات التي تصف تأثير so(3) على فضاء هيلبرت لدينا هي مؤثرات الزخم الزاوي (الكلي).

العلاقة بين مؤثر الزخم الزاوي ومؤثرات الدوران مماثلة للعلاقة بين جبر لي ومجموعات لي في الرياضيات. وتتجلى هذه العلاقة الوثيقة بين الزخم الزاوي والدوران في نظرية نوثر التي تثبت أن الزخم الزاوي محفوظ كلما كانت قوانين الفيزياء ثابتة تحت الدوران.

فهم كل من ليونارد أويلر ودانيال برنولي وباتريك دارسي الزخم الزاوي من منظور حفظ السرعة السطحية ، وذلك نتيجة لتحليلهم لقانون كبلر الثاني لحركة الكواكب. ومن غير المرجح أنهم أدركوا دلالات ذلك بالنسبة للمادة الدوارة العادية. ^{[ 51 ]}

في عام 1736، تناول أويلر، مثل نيوتن، بعض معادلات الزخم الزاوي في كتابه "الميكانيكا" دون تطويرها بشكل أكبر. ^{[ 52 ]}

كتب برنولي في رسالة عام 1744 عن "لحظة الحركة الدورانية"، وربما كان هذا أول تصور للزخم الزاوي كما نفهمه الآن. ^{[ 53 ]}

في عام 1799، أدرك بيير سيمون لابلاس لأول مرة أن المستوى الثابت مرتبط بالدوران - مستواه الثابت .

بدأ لويس بوينسو في عام 1803 بتمثيل الدوران كقطعة مستقيمة عمودية على الدوران، وقام بتوسيع نطاق "حفظ العزوم".

في عام 1852، استخدم ليون فوكو جهاز الجيروسكوب في تجربة لعرض دوران الأرض.

قام ويليام جيه إم رانكين في كتابه "دليل الميكانيكا التطبيقية" الصادر عام 1858 بتعريف الزخم الزاوي بالمعنى الحديث لأول مرة:

...  خط طوله يتناسب مع مقدار الزخم الزاوي، واتجاهه عمودي على مستوى حركة الجسم والنقطة الثابتة، بحيث عندما تُرى حركة الجسم من طرف الخط، يبدو أن متجه نصف قطر الجسم يدور باتجاه اليمين.

في طبعة عام 1872 من الكتاب نفسه، ذكر رانكين أن "مصطلح الزخم الزاوي قد قدمه السيد هايوارد" ^{[ 54 ]} ، مشيرًا على الأرجح إلى مقالة آر. بي. هايوارد بعنوان " حول طريقة مباشرة لتقدير السرعات والتسارعات وجميع الكميات المماثلة بالنسبة للمحاور المتحركة بأي شكل في الفضاء مع تطبيقات" ^{[ 55 ]} ، والتي نُشرت عام 1864. وقد أخطأ رانكين، إذ ورد المصطلح في العديد من المنشورات بدءًا من أواخر القرن الثامن عشر وحتى أوائل القرن التاسع عشر. ^{[ 56 ]} ومع ذلك، يبدو أن مقالة هايوارد كانت أول استخدام للمصطلح والمفهوم الذي اطلع عليه معظم العالم الناطق بالإنجليزية. قبل ذلك، كان يُشار إلى الزخم الزاوي عادةً باسم "زخم الدوران" في اللغة الإنجليزية. ^{[ 57 ]}