متصل (طوبولوجيا)

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

في مجال طوبولوجيا المجموعات النقطية ، يُعرف المتصل (جمعه: "متصلات") بأنه فضاء متري متصل مضغوط غير فارغ ، أو، في حالات أقل شيوعًا، فضاء هاوسدورف متصل مضغوط . ونظرية المتصل هي فرع من الطوبولوجيا يُعنى بدراسة المتصلات.

التعريفات

  • يُطلق على المتصل الذي يحتوي على أكثر من نقطة واحدة اسم غير متدهور .
  • تُسمى المجموعة الجزئية A من المتصل X، بحيث تكون A نفسها متصلة، متصلًا جزئيًا من X. ويُسمى الفضاء المتماثل مع متصل جزئي من المستوى الإقليدي R² متصلًا مستويًا .
  • يكون المتصل X متجانسًا إذا كان لكل نقطتين x و y في X ، يوجد تماثل تماثلي h : X → X بحيث يكون h ( x ) = y .
  • متصل بيانو هو متصل متصل محليًا عند كل نقطة.
  • المتصل غير القابل للتحليل هو متصل لا يمكن تمثيله كاتحاد متصلين فرعيين حقيقيين. ويُقال عن المتصل X أنه غير قابل للتحليل وراثيًا إذا كان كل متصل فرعي من X غير قابل للتحليل.
  • يشير بُعد الوسط المتصل عادةً إلى بُعده الطوبولوجي . ويُطلق على الوسط المتصل أحادي البُعد غالبًا اسم المنحنى .

أمثلة

  • القوس هو فضاء متماثل الشكل مع الفترة المغلقة [0,1]. إذا كان h : [0,1] → X تماثلًا شكليًا، وكان h (0) = p و h (1) = q، فإن p و q تُسميان طرفي X ؛ ويُقال أيضًا أن X قوس من p إلى q . القوس هو أبسط أنواع المتصلات وأكثرها شيوعًا. وهو أحادي البعد، ومتصل قوسيًا ، ومتصل محليًا.
  • منحنى الجيب الطوبولوجي هو مجموعة جزئية من المستوى تمثل اتحاد منحنى الدالة f ( x ) = sin(1/ x )، حيث 0 < x ≤ 1، مع القطعة المستقيمة −1 ≤ y ≤ 1 على المحور y . وهو عبارة عن متصل أحادي البعد غير متصل قوسياً، ومنفصل محلياً عند النقاط الواقعة على طول المحور y .
  • تُحصل دائرة وارسو عن طريق "إغلاق" منحنى الجيب الطوبولوجي بقوس يصل بين النقطتين (0، -1 ) و(1، sin(1)). وهي عبارة عن متصل أحادي البعد، جميع زمر التماثل فيه تافهة، ولكنه ليس فضاءً قابلاً للانكماش .
دائرة وارسو
  • يمكن صياغة أحد مكونات فضاء هاوسدورف المضغوط المحدد من حيث المتصلات؛ ويتم تعريفه على أنه متصل يحتوي على نقطتين عشوائيتين من فضاء هاوسدورف المضغوط.
  • الخلية ذات البعد n هي فضاء متماثل الشكل مع الكرة المغلقة في الفضاء الإقليدي R n . وهي قابلة للانكماش وهي أبسط مثال على متصل ذي البعد n .
  • الكرة ذات البعد n هي فضاء متماثل الشكل مع الكرة القياسية ذات البعد n في الفضاء الإقليدي ذي البعد ( n + 1). وهي عبارة عن متصل متجانس ذي بعد n غير قابل للانكماش، وبالتالي فهي تختلف عن الخلية ذات البعد n .
  • مكعب هيلبرت هو متصل لا نهائي الأبعاد.
  • تُعد الملفات اللولبية من أبسط الأمثلة على الأوساط المتجانسة غير القابلة للتحليل. فهي ليست متصلة بشكل قوسي ولا متصلة محلياً.
  • سجادة سيربينسكي ، والمعروفة أيضًا باسم منحنى سيربينسكي العالمي ، هي عبارة عن متصل بيانو مستوٍ أحادي البعد يحتوي على صورة متماثلة لأي متصل مستوٍ أحادي البعد.
  • القوس الزائف هو عبارة عن متصل مستو متجانس غير قابل للتحلل وراثيًا.

ملكيات

هناك تقنيتان أساسيتان لبناء المتصلات، عن طريق التقاطعات المتداخلة والنهايات العكسية .

  • إذا كانت { X n } عائلة متداخلة من المتصلات، أي X n ⊇ X n +1 ، فإن تقاطعها هو متصل.
  • إذا كانت {( X n , f n )} عبارة عن سلسلة عكسية من المتصلات X n ، والتي تسمى فضاءات الإحداثيات ، بالإضافة إلى الخرائط المتصلة f n : X n +1 → X n ، والتي تسمى خرائط الترابط ، فإن حدها العكسي هو متصل.

إن الناتج المحدود أو القابل للعد من المواد المتصلة هو مادة متصلة.

انظر أيضاً

مراجع

مصادر

  • سام ب. نادلر الابن، نظرية الأوساط المتصلة: مقدمة . الرياضيات البحتة والتطبيقية، مارسيل ديكر. ISBN 0-8247-8659-9.
  • هوكينج، جون؛ يونغ، غيل (1988). الطوبولوجيا (  طبعة منقحة). منشورات دوفر . ISBN 978-0486656762.