الملف اللولبي (الرياضيات)

يمكن بناء كل ملف لولبي على شكل تقاطع نظام متداخل من الحلقات الصلبة المدمجة في R ³ .

لنثبت متتالية من الأعداد الطبيعية { n _i }، حيث n _i ≥ 2. ولتكن T ₀ = S ¹ × D سطحًا حلقيًا صلبًا . لكل i ≥ 0، اختر سطحًا حلقيًا صلبًا T _{i + 1} ملفوفًا طوليًا n _i مرة داخل السطح الحلقي الصلب T _i . ثم تقاطعهما

${\displaystyle \Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}}$

متماثلة شكليًا مع الملف اللولبي الذي تم إنشاؤه كحد عكسي لنظام الدوائر مع الخرائط المحددة بواسطة المتتالية { n _i }.

فيما يلي صيغة معدلة لهذا البناء، عزلها ^ستيفن سميل كمثال على جاذب متوسع في نظرية الأنظمة الديناميكية الملساء. لنرمز إلى الإحداثي الزاوي على الدائرة S₁ بالرمز t (وهو معرف بتردد 2π ) ، ولنعتبر الإحداثي المركب z على القرص ثنائي الأبعاد D. ولتكن f هي الدالة من الطارة الصلبة T = S₁ × D إلى نفسها ^، والمُعطاة بالصيغة الصريحة التالية:

${\displaystyle f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).}$

هذه الخريطة عبارة عن تضمين سلس للسطح T في نفسه، يحافظ على التوريق بواسطة الأقراص الزوالية (الثوابت 1/2 و1/4 اختيارية إلى حد ما، ولكن من الضروري أن يكون 1/4 < 1/2 و1/4 + 1/2 < 1). إذا تخيلنا T كأنبوب مطاطي، فإن الخريطة f تمدده في الاتجاه الطولي، وتتقلص كل قرص زوالي، وتلف الأنبوب المشوه مرتين داخل T مع التواء، ولكن دون تقاطعات ذاتية. المجموعة الزائدية Λ للنظام الديناميكي المنفصل ( T , f ) هي تقاطع سلسلة الأسطح الصلبة المتداخلة الموصوفة أعلاه، حيث Ti هي صورة _T تحت التكرار i للخريطة f . هذه المجموعة عبارة عن جاذب أحادي البعد (بمعنى البعد الطوبولوجي ) ، وديناميكيات f على Λ لها الخصائص المثيرة للاهتمام التالية:

• الأقراص الزوالية هي مشعبات مستقرة ، يتقاطع كل منها مع Λ فوق مجموعة كانتور
• تكون النقاط الدورية للدالة f كثيفة في Λ
• التطبيق f متعدٍ طوبولوجيًا على Λ

تم تطوير النظرية العامة للملفات اللولبية والمستقطبات المتوسعة، والتي ليست بالضرورة أحادية البعد، بواسطة آر إف ويليامز وتتضمن نظامًا إسقاطيًا من عدد لا نهائي من النسخ من متعدد الشعب المتفرع المضغوط بدلاً من الدائرة، إلى جانب غمر ذاتي متوسع .

في الإحداثيات الحلقية ذات نصف القطر${\displaystyle R}$يمكن تحديد معلمات الملف اللولبي بواسطة${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$مثل$${\displaystyle \zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$أين

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}}$

هنا،${\displaystyle \delta _{k}}$هي معلمات شكل قابلة للتعديل، مع وجود قيد.${\displaystyle 0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}}$. بخاصة،${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2n_{k}}}}$يعمل.

يترك${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$إذا تم بناء الملف اللولبي بهذه الطريقة، فإن طوبولوجيا الملف اللولبي هي مجرد طوبولوجيا المجموعة الجزئية الناتجة عن الطوبولوجيا الإقليدية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

بما أن عملية تحديد المعلمات تقابلية، يمكننا سحب الطوبولوجيا على${\displaystyle S}$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$مما يجعل${\displaystyle \mathbb {R} }$الملف اللولبي نفسه. وهذا يسمح لنا بإنشاء خرائط النهاية العكسية بشكل صريح:$${\displaystyle g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

إذا نظرنا إلى الملف اللولبي كمجموعة، فهو مجرد سلسلة متصلة من الدوائر، موصولة ببعضها بطريقة معينة. وهذا يوحي لنا بالبناء باستخدام الديناميكيات الرمزية ، حيث نبدأ بدائرة كـ"حلبة سباق"، ونضيف "عداد مسافة" لتتبع الدائرة التي نحن عليها.

يُعرِّف${\displaystyle S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$كما هو الحال مع الملف اللولبي. بعد ذلك، حدد الإضافة على عداد المسافات${\displaystyle \mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$بنفس طريقة الأعداد p -adic . بعد ذلك، عرّف عملية الجمع على الملف اللولبي.${\displaystyle +:\mathbb {R} \times S\to S}$بواسطة$${\displaystyle r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)}$$يتم توليد الطوبولوجيا على الملف اللولبي بواسطة الأساس الذي يحتوي على المجموعات الفرعية${\displaystyle S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$، أين${\displaystyle S'}$أي فترة مفتوحة في${\displaystyle S^{1}}$، و${\displaystyle Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$هي مجموعة جميع عناصر${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$بدءاً من الجزء الأولي${\displaystyle (m_{1},...,m_{k})}$.