مجموعة غير معدودة

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة غير القابلة للعد ، بشكل غير رسمي، بأنها مجموعة لانهائية تحتوي على عدد كبير جدًا من العناصر بحيث لا يمكن عدها . وترتبط عدم قابلية المجموعة للعد ارتباطًا وثيقًا بعدد عناصرها : فالمجموعة غير قابلة للعد إذا كان عدد عناصرها أكبر من عدد عناصر المجموعة الطبيعية (أليف-نويل) .

من أمثلة المجموعات غير المعدودة المجموعة ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ومجموعة جميع المجموعات الجزئية للأعداد الطبيعية.

توجد العديد من التوصيفات المكافئة لعدم قابلية العد. تكون المجموعة X غير قابلة للعد إذا وفقط إذا تحققت أي من الشروط التالية:

• لا توجد دالة أحادية (وبالتالي لا يوجد تقابل ) من X إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.
• المجموعة X غير فارغة، ولكل متتالية ω من عناصر X ، يوجد على الأقل عنصر واحد من X غير مُدرج فيها. أي أن X غير فارغة، ولا توجد دالة شاملة من الأعداد الطبيعية إلى X.
• عدد عناصر المجموعة X ليس محدودًا ولا يساوي${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-null ).
• عدد عناصر المجموعة X أكبر تمامًا من${\displaystyle \aleph _{0}}$.

يمكن إثبات تكافؤ أول ثلاثة من هذه الخصائص في نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل بدون بديهية الاختيار ، ولكن لا يمكن إثبات تكافؤ الثالث والرابع بدون مبادئ اختيار إضافية.

إذا كانت المجموعة غير القابلة للعد X مجموعة جزئية من المجموعة Y ، فإن Y غير قابلة للعد.

أشهر مثال على مجموعة غير قابلة للعد هو المجموعة ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ؛ تُظهر حجة كانتور القطرية أن هذه المجموعة غير قابلة للعد. ويمكن أيضًا استخدام تقنية إثبات القطرية لإظهار أن العديد من المجموعات الأخرى غير قابلة للعد، مثل مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية من الأعداد الطبيعية .${\displaystyle \mathbb {N} }$( انظر: (المتتالية A102288 في OEIS ) )، ومجموعة جميع المجموعات الجزئية من مجموعة الأعداد الطبيعية. عدد عناصر ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$يُطلق عليها غالبًا اسم عدد عناصر المتصل ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$، أو${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$^{[ 1 ]} ، أو${\displaystyle \beth _{1}}$( بيث-ون ).

مجموعة كانتور هي مجموعة جزئية غير قابلة للعد من${\displaystyle \mathbb {R} }$مجموعة كانتور هي شكل كسري ولها بُعد هاوسدورف أكبر من الصفر ولكن أقل من واحد (${\displaystyle \mathbb {R} }$( لها بُعد واحد). هذا مثال على الحقيقة التالية: أي مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$يجب أن يكون البعد الهاوسدورفي الأكبر من الصفر غير قابل للعد.

مثال آخر على مجموعة غير قابلة للعد هو مجموعة جميع الدوال من${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى​​${\displaystyle \mathbb {R} }$هذه المجموعة "أكثر صعوبة في العد" من ...${\displaystyle \mathbb {R} }$بمعنى أن عدد عناصر هذه المجموعة هو${\displaystyle \beth _{2}}$( بيث اثنان )، وهو أكبر من${\displaystyle \beth _{1}}$.

مثال أكثر تجريدًا لمجموعة غير قابلة للعد هو مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد ، ويرمز لها بـ Ω أو ω . ^{[ 2 ]} يُرمز إلى عدد عناصر Ω _بـ${\displaystyle \aleph _{1}}$( ألف-واحد ). يمكن إثبات ذلك، باستخدام بديهية الاختيار ، أن${\displaystyle \aleph _{1}}$هو أصغر عدد أصلي غير قابل للعد. وبالتالي إما${\displaystyle \beth _{1}}$، وهو عدد عناصر الأعداد الحقيقية، يساوي${\displaystyle \aleph _{1}}$أو أنها أكبر حجماً بشكل قاطع. كان جورج كانتور أول من طرح سؤال ما إذا كان${\displaystyle \beth _{1}}$يساوي${\displaystyle \aleph _{1}}$في عام 1900، طرح ديفيد هيلبرت هذا السؤال كأولى مسائله الثلاث والعشرين . والبيان هو أن${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$تُسمى الآن فرضية الاستمرارية ، ومن المعروف أنها مستقلة عن بديهيات زيرميلو-فرانكل لنظرية المجموعات (بما في ذلك بديهية الاختيار ).

بدون بديهية الاختيار ، قد توجد أعداد لا تُقارن بـ${\displaystyle \aleph _{0}}$(أي، أعداد المجموعات اللانهائية المنتهية وفقًا لتصنيف ديديكيند ). تحقق المجموعات ذات هذه الأعداد الخصائص الثلاث الأولى المذكورة أعلاه، ولكنها لا تحقق الخاصية الرابعة. ولأن هذه المجموعات ليست أكبر من الأعداد الطبيعية من حيث العدد، فقد لا يرغب البعض في وصفها بأنها غير قابلة للعد.

إذا صحت بديهية الاختيار، فإن الشروط التالية على عدد أصلي${\displaystyle \kappa }$متكافئان:

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$و
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$، أين${\displaystyle \aleph _{1}=|\أوميغا _{1}|}$و${\displaystyle \omega _{1}}$هل أصغر ترتيب أولي أكبر من${\displaystyle \omega .}$

مع ذلك، قد تختلف هذه الخيارات جميعها إذا لم يتحقق شرط الاختيار. لذا، ليس من الواضح أيّها التعميم المناسب لمفهوم "عدم العدّ" عند فشل الشرط. ولعلّ من الأفضل تجنّب استخدام هذه الكلمة في هذه الحالة، وتحديد المقصود منها.

• رقم ألف
• رقم بيث
• العدد الترتيبي الأول غير المعدود
• دالة الحقن

• هالموس، بول ، نظرية المجموعات الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة دي. فان نوستراند، 1960. أعيد طبعه بواسطة سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. ISBN 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ). أعيد طبعه بواسطة مارتينو فاين بوكس، 2011. رقم ISBN 978-1-61427-131-4(طبعة غلاف ورقي).
• جيتش، توماس (2002)، نظرية المجموعات ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات (  طبعة الألفية الثالثة)، سبرينغر، رقم ISBN 3-540-44085-2

• إثبات أن R غير قابل للعد