نظرية داربو

في الهندسة التفاضلية ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ نظرية داربو نظريةً تُقدّم صيغةً معياريةً لفئاتٍ خاصةٍ من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى ، وهي تعميمٌ جزئيٌّ لنظرية فروبينيوس التكاملية . سُمّيت هذه النظرية نسبةً إلى جان جاستون داربو ^{[ 1 ]} الذي أثبتها كحلٍّ لمسألة بفاف . ^{[ 2 ]}

إنها نتيجة أساسية في العديد من المجالات، وأهمها الهندسة التبسيطية . في الواقع، من بين نتائجها العديدة أن أي مشعبين تبسيطيين من نفس البعد يكونان متماثلين تبسيطياً محلياً مع بعضهما البعض. أي أن كل${\displaystyle 2n}$يمكن جعل مشعب سيمبلكتيكي ذي أبعاد يبدو محليًا مثل الفضاء السيمبلكتيكي الخطي${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بصيغتها التبسيطية المتعارف عليها.

وهناك أيضاً نتيجة مماثلة للنظرية عند تطبيقها على هندسة التلامس .

لنفترض أن${\displaystyle \theta }$هو شكل تفاضلي من الدرجة الأولى على${\displaystyle n}$متعدد الشعب ذو الأبعاد n، بحيث${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$له رتبة ثابتة${\displaystyle p}$. ثم

• لو${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$في كل مكان، يوجد نظام إحداثيات محلي${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$في أي$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• لو${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$في كل مكان، يوجد نظام إحداثيات محلي${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{np},y_{1},\ldots ,y_{p})}$في أي$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

استخدم داربوكس في برهانه الأصلي الاستقراء على${\displaystyle p}$ويمكن عرضها بشكل مكافئ من حيث التوزيعات ^{[ 3 ]} أو من حيث المثاليات التفاضلية . ^{[ 4 ]}

لنفترض أن${\displaystyle \omega }$هو شكل تماثلي من الدرجة الثانية على${\displaystyle n=2m}$متعدد الأبعاد${\displaystyle M}$في جوار كل نقطة${\displaystyle p}$ل${\displaystyle M}$بحسب مبرهنة بوانكاريه ، يوجد شكل من الدرجة الأولى${\displaystyle \theta }$مع${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$. علاوة على ذلك،${\displaystyle \theta }$يُحقق المجموعة الأولى من الفرضيات في نظرية داربو، وبالتالي يوجد مخطط إحداثيات محليًا${\displaystyle U}$قريب${\displaystyle p}$في أي$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

يُظهر أخذ مشتق خارجي الآن

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

الرسم البياني${\displaystyle U}$يقال إنها مخطط داربوكس حول${\displaystyle p}$[ ^{5 ]} المشعب^​${\displaystyle M}$يمكن تغطية ذلك من خلال هذه المخططات.

وبعبارة أخرى، حدد${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$مع${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$عن طريق السماح${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$. لو${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$إذا كان مخطط داربو،${\displaystyle \omega }$يمكن كتابتها على أنها سحب عكسي للشكل التبسيطي القياسي${\displaystyle \omega _{0}}$على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

يتم تقديم برهان حديث لهذه النتيجة، دون استخدام بيان داربو العام حول الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى، باستخدام خدعة موسر . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

أظهر آلان وينشتاين أن نظرية داربوكس للمشعبات التبسيطية يمكن تقويتها لتشمل جوار مشعب فرعي : ^{[ 8 ]}

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد شعب أملس مزودًا بصيغتين تماثليتين${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$ودع${\displaystyle N\subset M}$ليكن فضاءً فرعياً مغلقاً. إذا${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$ثم هناك حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle N}$في${\displaystyle M}$وتماثل تفاضلي${\displaystyle f:U\to U}$بحيث${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$.

يتم استعادة نظرية داربو القياسية عندما${\displaystyle N}$هذه نقطة و${\displaystyle \omega _{2}}$هو البنية التبسيطية القياسية على مخطط الإحداثيات.

تنطبق هذه النظرية أيضًا على مشعبات باناخ اللانهائية الأبعاد .

• نظرية كاراثيودوري-جاكوبي-لي ، وهي تعميم لهذه النظرية.
• خدعة موسر
• أساس سيمبليكت

• جي. داربو، "حول مشكلة بفاف"، ترجمة دي إتش دلفينيتش
• ج. داربو، "حول مشكلة بفاف (تابع)"، ترجمة د. هـ. دلفينيتش