عامل ديبي-والر

تُعدّ تجارب التشتت طريقة شائعة لدراسة البلورات . تتضمن هذه التجارب عادةً استخدام مسبار (مثل الأشعة السينية أو النيوترونات ) وبلورة صلبة. قد يتفاعل مسبار مُحدد الخصائص، أثناء انتشاره نحو البلورة، مع البلورة ويتشتت بطريقة معينة. تسمح المعادلات الرياضية التي تربط نمط التشتت بخصائص المسبار وخصائص جهاز التجربة وخصائص البلورة، باستخلاص السمات المطلوبة للعينة البلورية.

يستند الاشتقاق التالي إلى الفصل الرابع عشر من كتاب سيمون " أساسيات الحالة الصلبة في أكسفورد " ^{[ 5 ]} ، وإلى تقرير "تسمية معلمات الإزاحة الذرية" لتروبلود وآخرون ^{[ 6 ]} (متوفر ضمن الروابط الخارجية ). يُنصح بالرجوع إلى هذه المصادر لمزيد من التفصيل. يمكن الاطلاع على معلومات أساسية حول ميكانيكا الكم ذات الصلة في كتاب ساكوراي ونابليتانو " ميكانيكا الكم الحديثة" ^{[ 7 ]} .

تتكون تجارب التشتت غالبًا من جسيم ذي زخم بلوري ابتدائي${\displaystyle {\vec {k}}}$سقوط جسيم على جسم صلب. يمر الجسيم عبر جهد كهربائي موزع في الفضاء.${\displaystyle V({\vec {r}})}$ويخرج بزخم بلوري${\displaystyle {\vec {k}}'}$يتم وصف هذا الوضع بواسطة قاعدة فيرمي الذهبية ، التي تعطي احتمالية الانتقال لكل وحدة زمنية.${\displaystyle \Gamma ({\vec {k}}',{\vec {k}})}$، إلى حالة الطاقة الذاتية${\displaystyle E_{{\vec {k}}'}}$من حالة الطاقة الذاتية${\displaystyle E_{\vec {k}}}$ بسبب الاضطراب الضعيف الناجم عن جهدنا${\displaystyle V({\vec {r}})}$.

${\displaystyle \Gamma ({\vec {k}}',{\vec {k}})={\frac {2\pi }{\hbar }}\left\vert \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle \right\vert ^{2}\delta (E_{{\vec {k}}'}-E_{\vec {k}})}$(1)

بإدخال مجموعة كاملة من حالات الموضع، ثم استخدام تعبير الموجة المستوية الذي يربط الموضع والزخم، نجد أن عنصر المصفوفة هو ببساطة تحويل فورييه للجهد.

${\displaystyle \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle ={\frac {1}{L^{3}}}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {r}}}}$(2)

أعلاه، يُشار إلى طول العينة بـ${\displaystyle L}$نفترض الآن أن المادة الصلبة لدينا عبارة عن بلورة دورية، حيث يتم تمييز كل خلية وحدة بواسطة متجه موضع الشبكة.${\displaystyle {\vec {R}}}$يتم تحديد الموضع داخل خلية الوحدة بواسطة متجه ${\displaystyle {\vec {x}}}$بحيث يمكن التعبير عن الموضع الكلي في البلورة على النحو التالي${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {R}}+{\vec {x}}}$بسبب ثبات الخلايا الوحدوية لدينا عند الانتقال، فإن التوزيع المحتمل لكل خلية يكون متطابقًا.${\displaystyle V({\vec {x}})=V({\vec {x}}+{\vec {R}})}$.

${\displaystyle \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle =\left[{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{\vec {R}}e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {R}}}\right]\left[\int _{unit-cell}d^{3}{\vec {x}}V({\vec {x}})e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {x}}}\right]}$(3)

وفقًا لصيغة مجموع بواسون :

${\displaystyle \sum _{\vec {R}}e^{-i{\vec {\kappa }}\cdot {\vec {R}}}={\frac {(2\pi )^{D}}{v}}\sum _{\vec {q}}\delta ({\vec {\kappa }}-{\vec {q}})}$(4)

${\displaystyle {\vec {q}}}$هو متجه الشبكة المقلوبة للجهد الدوري و${\displaystyle v}$يمثل حجم الخلية الأولية . وبمقارنة (3) و(4)، نجد أنه يجب استيفاء معادلة لاوي لحدوث التشتت:

${\displaystyle {\vec {k}}'-{\vec {k}}={\vec {q}}}$(5)

(5) هو بيانٌ لقانون حفظ زخم البلورة. تتعرض الجسيمات المتناثرة في البلورة لتغير في متجه الموجة يساوي متجه الشبكة المقلوبة للبلورة. وعندما يحدث ذلك، يكون تأثيرها على عنصر المصفوفة ثابتًا محدودًا. وهكذا، نجد رابطًا هامًا بين الجسيمات المتناثرة والبلورة المشتتة. شرط لاوي، الذي ينص على وجوب حفظ زخم البلورة، يُكافئ شرط براغ .${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta }$وهذا يتطلب تداخلاً بناءً للجسيمات المتناثرة. والآن بعد أن رأينا كيف يحدد العامل الأول في المعادلة (3) ما إذا كانت الجسيمات الساقطة ستتناثر أم لا، نتناول كيف يؤثر العامل الثاني على التناثر.

الحد الثاني على الجانب الأيمن من (3) هو عامل البنية .

${\displaystyle F({\vec {q}})=\int _{unit-cell}d^{3}{\vec {x}}V({\vec {x}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$ (6)

بالنسبة لمتجه الشبكة المقلوبة المعطى (المقابل لمجموعة من مستويات الشبكة المصنفة بمؤشرات ميلر)${\displaystyle (hkl)}$)، تتناسب شدة الجسيمات المتناثرة مع مربع عامل البنية.

${\displaystyle I_{(hkl)}\propto |F_{(hkl)}|^{2}}$(7)

تتضمن الفقرة (6) جوانب مفصلة من بنية البلورة تستحق التمييز والمناقشة.

إنّ دراسة عامل البنية (وافتراضنا بشأن الثبات الانتقالي) أمرٌ معقدٌ نظرًا لاحتمالية إزاحة الذرات في البلورة عن مواقعها الشبكية. وباعتبار جهد التشتت متناسبًا مع كثافة المادة المشتتة، نعيد كتابة عامل البنية.

${\displaystyle F({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}\langle \rho ({\vec {x}})\rangle e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$(8)

من المفهوم أن التكامل من هنا فصاعدًا يتم على الخلية الأساسية.${\displaystyle \rho ({\vec {x}})}$تمثل كثافة المادة المشتتة. تشير الأقواس إلى المتوسط ​​الزمني لكل خلية وحدة، متبوعًا بالمتوسط ​​المكاني على جميع خلايا الوحدة. نفترض أيضًا أن كل ذرة تُزاح بشكل مستقل عن الذرات الأخرى.

${\displaystyle \langle \rho ({\vec {x}})\rangle \simeq \sum _{k=1}^{N}n_{k}\int d^{3}{\vec {x}}_{k}\rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})}$(9)

عدد الذرات في وحدة الخلية هو${\displaystyle N}$وعامل شغل الذرة${\displaystyle k}$يكون${\displaystyle n_{k}}$.${\displaystyle {\vec {x}}}$يمثل هذا النقطة في الخلية الأولية التي نرغب في معرفة كثافة المادة المشتتة لها.${\displaystyle \rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})}$هي كثافة المادة المتناثرة من الذرة${\displaystyle k}$في موضع منفصل عن الموضع النووي${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$بواسطة متجه${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x}}_{k}}$.${\displaystyle p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})}$هي دالة كثافة الاحتمال للإزاحة.${\displaystyle {\vec {x}}_{k0}}$هو موقع الشبكة المرجعي الذي تنطلق منه الذرة${\displaystyle k}$قد يتم نقله إلى منصب جديد${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$. لو ${\displaystyle \rho _{k}}$متناظر بدرجة كافية (مثلاً متناظر كروياً)،${\displaystyle {\vec {x}}_{k0}}$هو ببساطة متوسط ​​موضع النواة. عند دراسة تشتت الأشعة السينية، تتكون كثافة المادة المتشتتة من كثافة الإلكترونات حول النواة. أما بالنسبة لتشتت النيوترونات، فلدينا${\displaystyle \delta }$- الدوال الموزونة بطول التشتت${\displaystyle b_{k}}$بالنسبة للنواة المعنية (انظر جهد فيرمي الزائف ). تجدر الإشارة إلى أننا افترضنا في المناقشة السابقة أن الذرات غير قابلة للتشوه. وبناءً على ذلك، يمكن تعويض المعادلة (9) في المعادلة (8) لحساب عامل البنية.

${\displaystyle F({\vec {q}})\simeq \sum _{k=1}^{N}n_{k}F_{k}({\vec {q}})}$؛${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}\left[\int d^{3}{\vec {r}}_{k}\rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$(10)

نرى الآن أن عامل البنية الكلي يمكن تمثيله كمجموع مرجح لعوامل البنية${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})}$لكل ذرة. اجعل الإزاحة بين الموقع في الفضاء الذي نرغب في معرفة كثافة التشتت له وموقع النواة المرجعي مساوية لمتغير جديد${\displaystyle {\vec {t}}={\vec {x}}-{\vec {x}}_{k0}}$كرر نفس الشيء بالنسبة للإزاحة بين الموضع النووي المزاح والموضع النووي المرجعي${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0}}$. استبدل في (10).

${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\left\{\int d^{3}{\vec {t}}\left[\int d^{3}{\vec {u}}\rho _{k}({\vec {t}}-{\vec {u}})p_{k}({\vec {u}})\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {t}}}\right\}e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$(11)

داخل الأقواس المربعة في (11)، نقوم بدمج كثافة المادة المتناثرة للذرة${\displaystyle k}$باستخدام دالة كثافة الاحتمال لبعض الإزاحات النووية. ثم، داخل الأقواس المعقوفة، نقوم بتحويل فورييه للالتفاف الناتج. الخطوة الأخيرة هي الضرب في طور يعتمد على الموضع المرجعي (مثل المتوسط) للذرة${\displaystyle k}$لكن، وفقًا لنظرية الالتفاف ، فإن تحويل فورييه للالتفاف يُعادل ضرب دالتي فورييه المُحوّلتين. نُساوي الإزاحة بين الموقع في الفضاء الذي نرغب في معرفة كثافة التشتت له وموقع النواة بمتغير جديد.${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {x}}-{\vec {x}}_{k}={\vec {t}}-{\vec {u}}}$.

${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\left[\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}\right]\left[\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$(12)

استبدل (12) في (10).

${\displaystyle F({\vec {q}})=\sum _{k=1}^{N}n_{k}\left[\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}\right]\left[\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$(13)

إنه:

${\displaystyle F({\vec {q}})=\sum _{k=1}^{N}n_{k}f_{k}({\vec {q}})T_{k}({\vec {q}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$؛${\displaystyle f_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}}$،${\displaystyle T_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}}$(14)

${\displaystyle f_{k}({\vec {q}})}$هو عامل الشكل الذري للذرة${\displaystyle k}$; فهو يحدد كيف يؤثر توزيع المادة المشتتة حول الموضع النووي على التشتت.${\displaystyle T_{k}({\vec {q}})}$هو عامل ديباي-والر الذري؛ وهو يحدد كيفية تأثير ميل النواة للإزاحة عن موضعها المرجعي في الشبكة على التشتت. ويُعطى التعبير لـ${\displaystyle {\text{DWF}}}$يختلف افتتاح المقال بسبب قرار استخدام المتوسط ​​الشبكي أو المتوسط ​​الزمني.

يُعدّ التقريب التوافقي أحد التبسيطات الشائعة للمعادلة (14)، حيث يتم نمذجة دالة كثافة الاحتمال على أنها دالة غاوسية . وبموجب هذا التقريب، يتم تجاهل الاضطراب الإزاحي الساكن، ويُفترض أن الإزاحات الذرية تتحدد كليًا بالحركة (وقد تم النظر في نماذج بديلة لا يكون فيها التقريب الغاوسي صالحًا في مكان آخر ^{[ 8 ]} ).

${\displaystyle p({\vec {u}})\equiv {\sqrt {\frac {\mathrm {det} ({\mathsf {U^{-1}}})}{(2\pi )^{3}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}^{-1}{\vec {u}}}}$؛${\displaystyle {\vec {u}}\equiv \sum _{j=1}^{3}\Delta \xi ^{j}a^{j}{\vec {a}}_{j}}$؛${\displaystyle {\mathsf {U}}^{jl}\equiv \langle \Delta \xi ^{j}\Delta \xi ^{l}\rangle }$(15)

لقد أسقطنا الفهرس الذري.${\displaystyle {\vec {a}}_{j}}$ينتمي إلى الشبكة المباشرة بينما${\displaystyle {\vec {a}}^{j}}$سينتمي إلى الشبكة المقلوبة. باختيار الأساس اللابعدي المناسب${\displaystyle a^{j}{\vec {a}}_{j}}$نضمن ذلك${\displaystyle \Delta \xi ^{j}}$سيكون لها وحدات طول وتصف الإزاحة. الموتر${\displaystyle {\mathsf {U}}}$يمثل (15) معامل الإزاحة غير المتناحي. وله بُعد (طول).${\displaystyle ^{2}}$وهو مرتبط بمتوسط ​​مربعات الإزاحة. بالنسبة لمتوسط ​​مربع الإزاحة على طول متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {n}}}$ببساطة خذ${\displaystyle {\hat {n}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\hat {n}}}$تستخدم المخططات ذات الصلة المعلمات${\displaystyle \beta }$أو ب بدلاً من${\displaystyle {\mathsf {U}}}$(انظر إلى Trueblood et al. ^{[ 6 ]} لمناقشة أكثر تفصيلاً). وأخيرًا، يمكننا إيجاد العلاقة بين عامل ديباي-والر ومعامل الإزاحة غير المتناحي.

${\displaystyle T({\vec {q}})=\langle e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}\langle ({\vec {q}}\cdot {\vec {u}})^{2}\rangle }=e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}q_{j}a^{j}\langle \Delta \xi ^{j}\Delta \xi ^{l}\rangle a^{l}q_{l}}=e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}q_{j}a^{j}{\mathsf {U}}^{jl}a^{l}q_{l}}}$(16)

من المعادلتين (7) و(14)، عامل ديباي-والر${\displaystyle T({\vec {q}})}$يساهم في شدة الضوء المرصودة في تجربة حيود الأشعة السينية. وبناءً على المعادلة (16)، نرى أن عامل الإزاحة غير المتناحي لدينا${\displaystyle {\mathsf {U}}}$هو المسؤول عن تحديد${\displaystyle T({\vec {q}})}$بالإضافة إلى ذلك، يوضح (15) أن${\displaystyle {\mathsf {U}}}$قد يكون مرتبطًا بشكل مباشر بدالة كثافة الاحتمال${\displaystyle p}$من أجل الإزاحة النووية${\displaystyle {\vec {u}}}$من الموضع المتوسط. ونتيجة لذلك، من الممكن إجراء تجربة تشتت على بلورة، ومطابقة الطيف الناتج لمختلف الذرات${\displaystyle {\mathsf {U}}}$القيم، واستخلاص ميل كل ذرة للإزاحة النووية من${\displaystyle p}$.