ديديكيند كت

في الرياضيات ، تُعرف قطوع ديديكيند ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديديكيند (وقد سبق أن تناولها جوزيف برتراند ^{[ 1 ] [ 2 ]} )، بأنها طريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية من الأعداد النسبية . قطوع ديديكيند هي تقسيم للأعداد النسبية إلى مجموعتين غير خاليتين A و B ، بحيث يكون كل عنصر في A أصغر من كل عنصر في B ، ولا تحتوي A على أكبر عنصر . قد تحتوي المجموعة B على أصغر عنصر بين الأعداد النسبية أو لا. إذا احتوت B على أصغر عنصر بين الأعداد النسبية، فإن القطوع تُطابق ذلك العدد النسبي. وإلا، فإن هذه القطوع تُحدد عددًا غير نسبي فريدًا ، والذي، بتعبير أدق، يملأ "الفجوة" بين A و B. ^{[ 3 ]} بعبارة أخرى، تحتوي A على كل عدد نسبي أصغر من القطوع، وتحتوي B على كل عدد نسبي أكبر من أو يساوي القطوع. يُعادل القطع غير النسبي عددًا غير نسبي لا ينتمي إلى أي من المجموعتين. كل عدد حقيقي، سواء كان نسبيًا أم لا، يُعادل قطعة واحدة فقط من الأعداد النسبية. ^{[ 3 ]} 

يمكن تعميم قطوع ديديكيند من الأعداد النسبية إلى أي مجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا بتعريف قطوع ديديكيند على أنها تقسيم لمجموعة مرتبة ترتيبًا كليًا إلى جزأين غير فارغين A و B ، بحيث يكون A مغلقًا من الأسفل (أي أنه لكل a في A ، فإن x ≤ a يستلزم أن x ينتمي إلى A أيضًا) ويكون B مغلقًا من الأعلى، ولا يحتوي A على أكبر عنصر. انظر أيضًا الاكتمال (نظرية الترتيب) .

من السهل إثبات أن القطع ديديكيند بين الأعداد الحقيقية يُعرَّف بشكل فريد بالقطع المقابل بين الأعداد النسبية. وبالمثل، فإن كل قطع للأعداد الحقيقية مطابق للقطع الناتج عن عدد حقيقي محدد (والذي يمكن تحديده بأنه أصغر عنصر في المجموعة B ). بعبارة أخرى، فإن خط الأعداد الذي يُعرَّف فيه كل عدد حقيقي كقطع ديديكيند للأعداد النسبية هو سلسلة متصلة كاملة دون أي فجوات أخرى.

القطع ديديكيند هو تقسيم للمنطقيين${\displaystyle \mathbb {Q} }$إلى مجموعتين فرعيتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بحيث

1. ${\displaystyle A}$غير فارغ.
2. ${\displaystyle A\neq \mathbb {Q} }$(بمعنى آخر،${\displaystyle B}$(غير فارغة).
3. لو${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$،${\displaystyle x<y}$، و${\displaystyle y\in A}$، ثم${\displaystyle x\in A}$. (${\displaystyle A}$(مغلق للأسفل).
4. لو${\displaystyle x\in A}$إذن يوجد${\displaystyle y\in A}$بحيث${\displaystyle y>x}$. (${\displaystyle A}$(لا يحتوي على عنصر أعظم.)

باختصار، فإن قطع ديديكيند هو بالتالي مجموعة فرعية سفلية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {Q} }$بدون عنصر أقصى.

وبحذف الشرطين الأولين، نحصل رسمياً على خط الأعداد الحقيقية الممتد .

يُعدّ استخدام رمز ( A , B ) لقطع ديديكيند أكثر تناسقًا، لكن كلًا من A و B يُحدّد الآخر. ويمكن تبسيط الأمر، من حيث الرمز على الأقل، بالتركيز على "نصف" واحد - لنقل النصف السفلي - وتسمية أي مجموعة مغلقة تنازليًا A بدون عنصر أكبر "قطع ديديكيند".

إذا كانت المجموعة المرتبة S كاملة، فإنه لكل قطع ديديكيند ( A , B ) في S ، يجب أن تحتوي المجموعة B على عنصر أصغر b ، بحيث تكون A هي الفترة ( −∞ , b )، و B هي الفترة [ b , +∞). في هذه الحالة، نقول إن b ممثل بالقطع ( A , B ).

يتمثل الغرض الرئيسي من قطع ديديكيند في تمكيننا من التعامل مع مجموعات الأعداد غير الكاملة . يمكن للقطع نفسه أن يمثل عددًا غير موجود في المجموعة الأصلية للأعداد (غالبًا ما تكون أعدادًا نسبية ). يمكن للقطع أن يمثل العدد b ، حتى وإن لم تتضمن الأعداد الموجودة في المجموعتين A و B العدد b الذي يمثله القطع.

على سبيل المثال، إذا كانت A و B تحتويان فقط على أعداد نسبية ، فإنه لا يزال من الممكن تقسيمهما عند${\displaystyle {\sqrt {2}}}$بوضع كل عدد نسبي سالب في المجموعة A ، إلى جانب كل عدد نسبي غير سالب مربعه أقل من 2؛ وبالمثل، ستحتوي المجموعة B على كل عدد نسبي موجب مربعه أكبر من أو يساوي 2. على الرغم من عدم وجود قيمة نسبية لـ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$إذا تم تقسيم الأعداد النسبية إلى A و B بهذه الطريقة، فإن التقسيم نفسه يمثل عددًا غير نسبي .

إذا كانت A مجموعة جزئية فعلية من C ، فإن أحد مقاطع ديديكيند ( A , B ) يُعتبر أصغر من مقطع ديديكيند آخر ( C , D ) (لنفس المجموعة الشاملة) . وبالمثل، إذا كانت D مجموعة جزئية فعلية من B ، فإن المقطع ( A , B ) يكون أصغر من المقطع ( C , D ). وبهذه الطريقة، يمكن استخدام احتواء المجموعات لتمثيل ترتيب الأعداد، ويمكن إنشاء جميع العلاقات الأخرى ( أكبر من ، أصغر من أو يساوي ، يساوي ، وما إلى ذلك) من علاقات المجموعات.

مجموعة جميع قطوع ديديكيند هي نفسها مجموعة مرتبة خطيًا (من مجموعات). علاوة على ذلك، تتمتع مجموعة قطوع ديديكيند بخاصية الحد الأعلى الأدنى ، أي أن كل مجموعة جزئية غير فارغة منها، والتي لها أي حد أعلى، لها حد أعلى أدنى . وبالتالي، فإن إنشاء مجموعة قطوع ديديكيند يخدم غرض تضمين المجموعة المرتبة الأصلية S ، التي قد لا تتمتع بخاصية الحد الأعلى الأدنى، ضمن مجموعة مرتبة خطيًا (عادةً ما تكون أكبر) تتمتع بهذه الخاصية المفيدة.

مقطع ديديكيند النموذجي للأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$يتم تحديده بواسطة التقسيم${\displaystyle (A,B)}$مع

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.}$^{[ 4 ]}

يمثل هذا القطع العدد غير النسبي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$في بناء ديديكيند. الفكرة الأساسية هي أننا نستخدم مجموعة${\displaystyle A}$، وهي مجموعة جميع الأعداد النسبية التي مربعاتها أقل من 2، لتمثيل العدد${\displaystyle {\sqrt {2}}}$وعلاوة على ذلك، من خلال تعريف عوامل التشغيل الحسابية بشكل صحيح على هذه المجموعات (الجمع والطرح والضرب والقسمة)، فإن هذه المجموعات (مع عمليات الحساب هذه) تشكل المجال المألوف للأعداد الحقيقية.

ولإثبات ذلك، يجب على المرء أن يُظهر أن${\displaystyle A}$هو في الواقع قطع (وفقًا للتعريف) ومربع من${\displaystyle A}$، إنه${\displaystyle A\times A}$(يرجى الرجوع إلى الرابط أعلاه للاطلاع على التعريف الدقيق لكيفية تعريف ضرب القطع)، هو${\displaystyle 2}$(لاحظ أنه بالمعنى الدقيق للكلمة، يتم تمثيل هذا الرقم 2 بقطع)${\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}}$ولإثبات الجزء الأول، سنبين أنه لأي عدد نسبي موجب${\displaystyle x}$مع${\displaystyle x^{2}<2}$هناك منطق${\displaystyle y}$مع${\displaystyle x<y}$و${\displaystyle y^{2}<2}$الخيار${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$يعمل، وبالتالي${\displaystyle A}$إنها بالفعل عملية قطع. والآن، بعد معرفة عملية الضرب بين عمليات القطع، يصبح من السهل التحقق من ذلك.${\displaystyle A\times A\leq 2}$(باختصار، هذا بسبب${\displaystyle x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0}$لذلك، لإثبات ذلك${\displaystyle A\times A=2}$، نوضح أن${\displaystyle A\times A\geq 2}$ويكفي أن نبين أنه لأي${\displaystyle r<2}$، يوجد${\displaystyle x\in A}$،${\displaystyle x^{2}>r}$ولهذا نلاحظ أنه إذا${\displaystyle x>0,2-x^{2}=\epsilon >0}$، ثم${\displaystyle 2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$لـ${\displaystyle y}$بناءً على ما سبق، هذا يعني أن لدينا تسلسلًا في${\displaystyle A}$والتي يمكن أن يصبح مربعها قريبًا بشكل تعسفي من${\displaystyle 2}$وهذا ينهي البرهان.

لاحظ أن المساواة b ²  =  2 لا يمكن أن تتحقق لأن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ليس منطقياً .

بفرض وجود قطع ديديكيند الذي يمثل العدد الحقيقي${\displaystyle r}$عن طريق تقسيم العقلانيين إلى${\displaystyle (A,B)}$ حيث العقلانيون في${\displaystyle A}$أقل من${\displaystyle r}$والعقلانيين في${\displaystyle B}$أكبر من${\displaystyle r}$ويمكن تمثيلها بشكل مكافئ كمجموعة من الأزواج${\displaystyle (a,b)}$مع${\displaystyle a\in A}$و ${\displaystyle b\in B}$، حيث يتم تحديد الحد الأدنى والحد الأعلى بواسطة الإسقاطات. وهذا يتوافق تمامًا مع مجموعة الفترات التي تقارب${\displaystyle r}$.

يُتيح ذلك تعريف العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد الحقيقية بدلالة حساب الفترات . هذه الخاصية وعلاقتها بالأعداد الحقيقية مُعطاة فقط بدلالة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ويكتسب أهمية خاصة في الأسس الأضعف مثل التحليل البنائي .

• ديديكيند، ريتشارد، مقالات في نظرية الأعداد ، "الاستمرارية والأعداد غير النسبية"، منشورات دوفر: نيويورك، رقم ISBN 0-486-21010-3متوفر أيضاً على موقع مشروع غوتنبرغ.

• "قطع ديديكيند" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]