بديهية الاختيار التابع

في الرياضيات ، بديهية الاختيار التابع ، ويرمز لها بـ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$، هو شكل ضعيف من بديهية الاختيار (${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$(وهو ما يزال كافياً لتطوير جزء كبير من التحليل الحقيقي . وقد قدمه بول بيرنايز في مقال نُشر عام 1942 في مجلة الرياضيات العكسية ، والذي يستكشف بديهيات نظرية المجموعات اللازمة لتطوير التحليل. ^{[ أ ]}

علاقة متجانسة${\displaystyle R}$على${\displaystyle X}$تُسمى العلاقة علاقة كلية إذا كان لكل${\displaystyle a\in X,}$يوجد بعض${\displaystyle b\in X}$بحيث${\displaystyle a\,R~b}$هذا صحيح.

يمكن صياغة بديهية الاختيار التابع على النحو التالي: لكل مجموعة غير فارغة${\displaystyle X}$وكل العلاقات الكلية ${\displaystyle R}$على${\displaystyle X,}$يوجد تسلسل${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$في${\displaystyle X}$بحيث

${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

في الحقيقة،${\displaystyle x_{0}}$يمكن اعتبارها أي عنصر مرغوب فيه من${\displaystyle X}$(لرؤية ذلك، قم بتطبيق البديهية المذكورة أعلاه على مجموعة المتتاليات المنتهية التي تبدأ بـ${\displaystyle x_{0}}$والتي تكون فيها الشروط اللاحقة ذات صلة${\displaystyle R}$(بالإضافة إلى العلاقة الكلية على هذه المجموعة من التسلسل الثاني الذي يتم الحصول عليه من التسلسل الأول عن طريق إضافة حد واحد.)

إذا كانت المجموعة${\displaystyle X}$إذا اقتصرت العبارة أعلاه على مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، فإن البديهية الناتجة يُرمز لها بـ${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

حتى بدون مثل هذه البديهية، لأي${\displaystyle n}$يمكن للمرء استخدام الاستقراء الرياضي العادي لتكوين الأول${\displaystyle n}$شروط هذه المتتالية. تنص بديهية الاختيار التابع على أنه يمكننا تكوين متتالية كاملة ( لا نهائية قابلة للعد ) بهذه الطريقة.

البديهية${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$هو جزء من${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$المطلوب لإظهار وجود سلسلة تم إنشاؤها بواسطة التكرار المتجاوز للطول القابل للعد ، إذا كان من الضروري اتخاذ خيار في كل خطوة وإذا لم يكن من الممكن اتخاذ بعض هذه الخيارات بشكل مستقل عن الخيارات السابقة.

زيادة${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$( نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات بدون بديهية الاختيار)،${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$^{[ 1 ]} وهو ما يعادل نظرية باير للفئات بالنسبة للفضاءات المترية الكاملة.

وهو مكافئ أيضًا على${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$إلى نظرية لوفنهايم-سكوليم الهابطة . ^{[ ب ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$وهو مكافئ أيضًا على${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$إلى البيان القائل بأن كل شجرة مُقَلَّمة مع${\displaystyle \omega }$للمستويات فرع ( الدليل أدناه ).

بالإضافة إلى،${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$وهو ما يعادل شكلاً مخففاً من معضلة زورن ؛ تحديداً${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$يكافئ ذلك القول بأن أي ترتيب جزئي بحيث تكون كل سلسلة مرتبة ترتيباً جيداً منتهية ومحدودة، يجب أن يحتوي على عنصر أقصى. ^{[ 3 ]}

دليل على ذلك${\displaystyle \,{\mathsf {DC}}\iff }$كل شجرة مُقَلَّمة ذات ω مستوى لها فرع

${\displaystyle (\,\Longleftarrow \,)}$يترك${\displaystyle R}$أن تكون علاقة ثنائية كاملة على${\displaystyle X}$تتمثل الاستراتيجية في تحديد شجرة${\displaystyle T}$على${\displaystyle X}$من المتتاليات المنتهية التي تحقق عناصرها المجاورة${\displaystyle R.}$ثم فرع من خلال${\displaystyle T}$هي متتالية لانهائية تحقق عناصرها المتجاورة${\displaystyle R.}$ابدأ بتحديد${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T}$لو${\displaystyle x_{k}R\,x_{k+1}}$ل${\displaystyle 0\leq k<n.}$منذ${\displaystyle R}$كامل،${\displaystyle T}$هي شجرة مشذبة${\displaystyle \omega }$المستويات. وبالتالي،${\displaystyle T}$له فرع${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .}$إذن، للجميع${\displaystyle n\geq 0\!:}$${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,}$وهذا يعني${\displaystyle x_{n}R\,x_{n+1}.}$لذلك،${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$هذا صحيح. ${\displaystyle (\,\Longrightarrow \,)}$يترك${\displaystyle T}$كن شجرة مشذبة${\displaystyle X}$مع${\displaystyle \omega }$المستويات. تتمثل الاستراتيجية في تحديد علاقة ثنائية${\displaystyle R}$على${\displaystyle T}$لهذا السبب.${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ينتج تسلسلاً${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle }$أين${\displaystyle t_{n}R\,t_{n+1}}$و${\displaystyle f(n)}$هي دالة متزايدة تمامًا . إذن، المتتالية اللانهائية${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$هو فرع. (يكفي هذا البرهان لإثبات ذلك لـ${\displaystyle f(n)=m+n.}$ابدأ بتحديد${\displaystyle u\,R\,v}$لو${\displaystyle u}$هي سلسلة فرعية أولية من${\displaystyle v,\operatorname {length} (u)>0,\,}$و${\displaystyle \operatorname {length} (v)=}$${\displaystyle \operatorname {length} (u)+1.}$منذ${\displaystyle T}$هي شجرة مشذبة${\displaystyle \omega }$المستويات،${\displaystyle R}$كامل. لذلك،${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$وهذا يعني وجود سلسلة لا نهائية${\displaystyle t_{n}}$بحيث${\displaystyle t_{n}\,R\,t_{n+1}.}$الآن${\displaystyle t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle }$بالنسبة للبعض${\displaystyle m\geq 0.}$يترك${\displaystyle x_{m+n}}$أن يكون العنصر الأخير من${\displaystyle t_{n}.}$ثم${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .}$للجميع${\displaystyle k\geq 0,}$التسلسل${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle }$ينتمي إلى${\displaystyle T}$لأنها سلسلة فرعية أولية من${\displaystyle t_{0}\,(k\leq m)}$أو هو${\displaystyle t_{n}\,(k\geq m).}$لذلك،${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$هو فرع.

على عكس الكامل${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$،${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$لا يكفي لإثبات (بالنظر إلى${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$) أن هناك مجموعة غير قابلة للقياس من الأعداد الحقيقية، أو أن هناك مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تتمتع بخاصية باير أو لا تتمتع بخاصية المجموعة الكاملة . وينتج هذا عن كون نموذج سولوفاي يحقق${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$وكل مجموعة من الأعداد الحقيقية في هذا النموذج قابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ ، ولها خاصية باير ولها خاصية المجموعة الكاملة.

إن بديهية الاختيار التابع تستلزم بديهية الاختيار القابل للعد، وهي أقوى منها من الناحية النظرية. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

من الممكن تعميم البديهية لإنتاج متتابعات متسامية. إذا سُمح لهذه المتتابعات بأن تكون طويلة كيفما شاءت، فإنها تصبح مكافئة لبديهية الاختيار الكاملة.

• جيتش، توماس (2003). نظرية المجموعة (طبعة الألفية الثالثة  ). سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-44085-2. او سي ال سي 174929965 . زبل 1007.03002 .