اشتقاق حل شوارزشيلد

يصف حل شوارزشيلد الزمكان تحت تأثير جسم ضخم غير دوار ومتناظر كرويًا. ويعتبره البعض أحد أبسط الحلول وأكثرها فائدة لمعادلات أينشتاين للمجال .

العمل في مخطط إحداثيات باستخدام الإحداثيات${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$نبدأ بالمقياس في صورته العامة (عشرة مكونات مستقلة، كل منها دالة سلسة لأربعة متغيرات)، مع ترقيمها من 1 إلى 4 على التوالي. يُفترض أن يكون الحل متناظرًا كرويًا، وساكنًا، وفي الفراغ. ولأغراض هذه المقالة، يمكن صياغة هذه الافتراضات كما يلي (انظر الروابط ذات الصلة للاطلاع على التعريفات الدقيقة):

1. الزمكان المتناظر كرويًا هو الزمكان الذي يكون ثابتًا تحت الدوران ويأخذ صورة المرآة.
2. الزمكان الساكن هو الزمكان الذي تكون فيه جميع مكونات القياس مستقلة عن إحداثيات الزمن.${\displaystyle t}$( بحيث${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$) وتبقى هندسة الزمكان دون تغيير عند عكس الزمن ⁠${\displaystyle t\rightarrow -t}$⁠ .
3. الحل الفراغي هو الحل الذي يحقق المعادلة ⁠${\displaystyle T_{ab}=0}$. من معادلات أينشتاين للمجال (مع ثابت كوني يساوي صفرًا )، هذا يعني أن${\displaystyle R_{ab}=0}$منذ التعاقد${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$النتائج​${\displaystyle R=0}$⁠ .
4. التوقيع المتري المستخدم هنا هو (+ + + −) .

أول تبسيط يجب إجراؤه هو تحويل المقياس إلى شكل قطري. في ظل تحويل الإحداثيات ،${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$ينبغي أن تظل جميع المكونات المترية كما هي. المكونات المترية${\displaystyle g_{\mu 4}}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$) تتغير في ظل هذا التحويل على النحو التالي:

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$)​

لكن، كما نتوقع${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$(مع بقاء المكونات المترية كما هي)، وهذا يعني أن:

${\displaystyle g_{\mu 4}=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$)​

وبالمثل، تحويلات الإحداثيات${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$و${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$على التوالي تعطي:

${\displaystyle g_{\mu 3}=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 3}$)​

${\displaystyle g_{\mu 2}=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq 2}$)​

بجمع كل هذه الأمور معًا نحصل على:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0}$( ⁠${\displaystyle \mu \neq \nu }$)​

وبالتالي يجب أن يكون المقياس على الشكل التالي:

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

حيث تكون المكونات المترية الأربعة مستقلة عن إحداثيات الزمن${\displaystyle t}$(بناءً على الافتراض الثابت).

على كل سطح فائق ثابت${\displaystyle t}$، ثابت${\displaystyle \theta }$وثابت${\displaystyle \phi }$(أي على كل خط شعاعي)،${\displaystyle g_{11}}$ينبغي أن يعتمد فقط على${\displaystyle r}$(بسبب التناظر الكروي). ومن ثم${\displaystyle g_{11}}$هي دالة لمتغير واحد:

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

وينطبق نقاش مماثل على${\displaystyle g_{44}}$يُظهر ذلك أن:

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

على الأسطح الفائقة ذات الثوابت${\displaystyle t}$وثابت​${\displaystyle r}$، من الضروري أن يكون المقياس هو مقياس كرة ثنائية الأبعاد:

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

اختيار أحد هذه الأسطح الفائقة (السطح ذو نصف القطر ⁠${\displaystyle r_{0}}$على سبيل المثال)، المكونات المترية المقيدة بهذا السطح الفائق (والتي نرمز لها بـ${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$ and ⁠${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$⁠) should be unchanged under rotations through ${\displaystyle \theta }$ and ${\displaystyle \phi }$ (again, by spherical symmetry). Comparing the forms of the metric on this hypersurface gives:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

which immediately yields:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$ and ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

But this is required to hold on each hypersurface; hence,

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$ and ${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

An alternative intuitive way to see that ${\displaystyle g_{22}}$ and ${\displaystyle g_{33}}$ must be the same as for a flat spacetime is that stretching or compressing an elastic material in a spherically symmetric manner (radially) will not change the angular distance between two points.

Thus, the metric can be put in the form:

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

with ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ as yet undetermined functions of ⁠${\displaystyle r}$⁠. Note that if ${\displaystyle A}$ or ${\displaystyle B}$ is equal to zero at some point, the metric would be singular at that point.

Using the metric above, we find the Christoffel symbols, where the indices are ⁠${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$⁠. The sign ${\displaystyle '}$ denotes a total derivative of a function.

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

To determine ${\displaystyle A}$ and ⁠${\displaystyle B}$⁠, the vacuum field equations are employed:

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

Hence:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda}^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha {\vphantom {\beta }}}^{\lambda }=0\,,}$

where a comma is used to set off the index that is being used for the derivative. The Ricci curvature is diagonal in the given coordinates:

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)',}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right),}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right),}$

${\displaystyle R_{\phi \phi}=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

where the prime means the r derivative of the functions.

Only three of the field equations are nontrivial (the fourth equation is just ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ times the third equation) and upon simplification become, respectively:

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,}$

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0,}$

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

Subtracting the first and second equations produces:

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

where ${\displaystyle K}$ is a non-zero real constant. Substituting ${\displaystyle A(r)B(r)=K}$ into the third equation and tidying up gives:

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

which has general solution:

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

for some non-zero real constant ${\displaystyle S}$. Hence, the metric for a static, spherically symmetric vacuum solution is now of the form:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

Note that the spacetime represented by the above metric is asymptotically flat, i.e. as ⁠${\displaystyle r\rightarrow \infty }$⁠, the metric approaches that of the Minkowski metric and the spacetime manifold resembles that of Minkowski space.^[1]

The geodesics of the metric (obtained where ${\displaystyle ds}$يجب أن تتوافق القيمة القصوى، في حدٍّ ما (مثلاً، عند سرعة الضوء اللانهائية)، مع حلول الحركة النيوتونية (مثلاً، تلك المُستنتجة من معادلات لاغرانج ). (يجب أن يقتصر المقياس أيضاً على فضاء مينكوفسكي عندما تتلاشى الكتلة التي يُمثلها).

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

(أين${\displaystyle KE}$هي الطاقة الحركية و${\displaystyle PE_{g}}$(هي طاقة الوضع الناتجة عن الجاذبية) الثوابت${\displaystyle K}$و${\displaystyle S}$يتم تحديدها بالكامل من خلال أحد أشكال هذا النهج؛ ومن تقريب المجال الضعيف نصل إلى النتيجة التالية:

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

أين${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية ،${\displaystyle m}$هي كتلة مصدر الجاذبية و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء. وقد وُجد أن:

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$و${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

لذلك:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$و${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

لذا، يمكن كتابة مقياس شوارزشيلد في النهاية بالشكل التالي:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

لاحظ أن:

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{\text{s}}}$

هو تعريف نصف قطر شوارزشيلد لجسم كتلته${\displaystyle m}$لذلك، يمكن إعادة كتابة مقياس شوارزشيلد بالشكل البديل التالي:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)dt^{2}}$

وهذا يدل على أن المقياس يصبح متفرداً عند الاقتراب من أفق الحدث (أي ،${\displaystyle r\rightarrow r_{\text{s}}}$) . إن التفرد المتري ليس تفردًا فيزيائيًا (على الرغم من وجود تفرد فيزيائي حقيقي عند${\displaystyle r=0}$)، كما يمكن إثبات ذلك باستخدام تحويل إحداثيات مناسب (على سبيل المثال نظام إحداثيات كروسكال-سيكيريس ).

[هذا الاشتقاق معيب لأنه يفترض قانون كبلر الثالث. وهذا افتراض لا أساس له من الصحة لأن هذا القانون يتضمن تصحيحات نسبية. على سبيل المثال، يُشير الرمز "r" في القانون الكلاسيكي إلى المسافة الفيزيائية، بينما يُشير في النسبية العامة إلى إحداثية فقط.] يمكن أيضًا اشتقاق مقياس شوارزشيلد باستخدام الفيزياء المعروفة لمدار دائري وكتلة نقطية ثابتة مؤقتًا. ^{[ 2 ]} ابدأ بالمقياس ذي المعاملات المجهولة لـ ⁠${\displaystyle r}$⁠ :

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

والآن، قم بتطبيق معادلة أويلر-لاغرانج على تكامل طول القوس .${\displaystyle \textstyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left(ds/d\tau \right)^{2}}}\,d\tau }}$منذ​${\displaystyle ds/d\tau }$إذا كانت ثابتة، فيمكن استبدال الدالة المراد تكاملها بـ${\displaystyle (ds/d\tau )^{2},}$لأن معادلة E–L تبقى كما هي تمامًا إذا ضُربت الدالة المراد تكاملها بأي ثابت. بتطبيق معادلة E–L على${\displaystyle J}$مع الدالة التكاملية المعدلة ينتج ما يلي:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

حيث تشير النقطة إلى التفاضل بالنسبة إلى${\displaystyle \tau }$⁠ .

في مدار دائري${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0}$إذن ، فإن معادلة E–L الأولى أعلاه مكافئة لـ

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

قانون كبلر الثالث للحركة هو

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

في المدار الدائري، تكون الفترة${\displaystyle T}$يساوي​${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt)}$، مما يعني

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

لأن الكتلة النقطية${\displaystyle m}$وهي ضئيلة مقارنة بكتلة الجسم المركزي${\displaystyle M}$. لذا${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$وبإجراء التكامل على هذا نحصل على${\displaystyle B(r)=2GM/r+C}$، حيث${\displaystyle C}$هو ثابت تكامل غير معروف. ${\displaystyle C}$يمكن تحديد ذلك عن طريق ضبط${\displaystyle M=0}$وفي هذه الحالة يكون الزمكان مسطحًا و${\displaystyle B(r)=-c^{2}}$. لذا${\displaystyle C=-c^{2}}$و

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{\text{s}}/r-1).}$

عندما تكون الكتلة النقطية ثابتة مؤقتًا،${\displaystyle {\dot {r}}=0}$و​${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$تصبح المعادلة المترية الأصلية${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$وتصبح معادلة E–L الأولى أعلاه ⁠${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}})}$عندما تكون الكتلة النقطية ثابتة مؤقتًا،${\displaystyle {\ddot {r}}}$هو تسارع الجاذبية الأرضية ،${\displaystyle -MG/r^{2}}$. لذا

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{\text{s}}/r}}.}$

تستخدم الصيغة الأصلية للمقياس إحداثيات غير متناحية، حيث لا تتساوى سرعة الضوء في الاتجاهين القطري والمستعرض. وقدّم آرثر إيدنغتون صيغًا بديلة في الإحداثيات المتناحية . ^{[ 3 ]} بالنسبة للإحداثيات الكروية المتناحية${\displaystyle r_{1}}$، ⁠${\displaystyle \theta }$،​​${\displaystyle \phi }$، الإحداثيات${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \phi }$تبقى دون تغيير، ثم (شريطة أن${\displaystyle r\geq {2Gm}/{c^{2}}}$) ^{[ 4 ]}​

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$، ${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

و

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}{\Bigg /}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

ثم بالنسبة للإحداثيات المستطيلة المتساوية الخواص${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$،${\displaystyle z}$،

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi ),}$ ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi ),}$ ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

يصبح المقياس عندئذٍ، في الإحداثيات المستطيلة المتساوية الخواص:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}{\Bigg /}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

عند اشتقاق مقياس شوارزشيلد، افترضنا أن المقياس فراغي، ومتناظر كرويًا، وساكن . لكن افتراض السكون غير ضروري، إذ تنص نظرية بيركوف على أن أي حل فراغي متناظر كرويًا لمعادلات أينشتاين للمجال يكون ثابتًا ؛ ومن ثمّ ينتج حل شوارزشيلد. وتترتب على نظرية بيركوف أن أي نجم نابض يبقى متناظرًا كرويًا لا يُولّد موجات جاذبية ، لأن المنطقة الخارجية للنجم تبقى ساكنة.

• كارل شوارتزشيلد
• مقياس كير
• مقياس رايسنر-نوردستروم