نظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة
صورة بالأبيض والأسود لرجل يرتدي نظارة.
يوهان بيتر جوستاف ليجون ديريشليت

في نظرية الأعداد ، تنص نظرية ديريشليه ، أو نظرية الأعداد الأولية لديريشليه ، على أنه لأي عددين صحيحين موجبين أوليين فيما بينهما a و d ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الصورة a + nd ، حيث n عدد صحيح موجب أيضًا . بعبارة أخرى، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التي تُطابق a بتردد d . تُشكل الأعداد على الصورة a + nd متتالية حسابية .     

أ، أ+د، أ+2د، أ+3د، ...، {\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots ,\ }

وتنص نظرية ديريشليه على أن هذه المتتالية تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. وتُعمم هذه النظرية نظرية إقليدس التي تنص على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (على الصورة 1 + 2 ^n ). وتنص صيغ أقوى لنظرية ديريشليه على أنه بالنسبة لأي متتالية حسابية من هذا النوع، فإن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية في المتتالية يتباعد، وأن المتتاليات الحسابية المختلفة من هذا النوع التي لها نفس المعامل لها نسب متقاربة من الأعداد الأولية. وبصورة مكافئة، تتوزع الأعداد الأولية بالتساوي (بشكل تقاربي) بين فئات التطابق بتردد d التي تحتوي على عدد أولي نسبيًا مع d .

سميت النظرية على اسم عالم الرياضيات الألماني بيتر جوستاف ليجون ديريشليه ، الذي أثبتها في عام 1837.

أمثلة

الأعداد الأولية من الشكل 4 ن + 3 هي (المتتالية A002145 في OEIS )

3، 7، 11، 19، 23، 31، 43، 47، 59، 67، 71، 79، 83، 103، 107، 127، 131، 139، 151، 163، 167، 179، 191، 199، 211، 223، 227، 239، 251، 263، 271، 283، ...

وهي تتوافق مع القيم التالية لـ n : (التسلسل A095278 في OEIS )

٠، ١، ٢، ٤، ٥، ٧، ١٠، ١١، ١٤، ١٦، ١٧، ١٩، ٢٠، ٢٥، ٢٦، ٣١، ٣٢، ٣٤، ٣٧، ٤٠، ٤١، ٤٤، ٤٧، ٤٩، ٥٢، ٥٥، ٥٦، ٥٩، ٦٢، ٦٥، ٦٧، ٧٠، ٧٦، ٧٧، ٨٢، ٨٦، ٨٩، ٩١، ٩٤، ٩٥، ...

يُشير الشكل القوي لنظرية ديريشليه إلى أن

13+17+111+119+123+131+143+147+159+167+⋯{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots }

هي سلسلة متباعدة .

غالبًا ما يتم تجاهل المتتابعات dn  + a التي يكون فيها d عددًا فرديًا ، لأن نصف الأعداد فيها زوجي، والنصف الآخر هو نفسه عدد الأعداد في متتابعة يكون فيها d عددًا فرديًا ، إذا بدأنا بـ n = 0. على سبيل المثال، ينتج عن 6n + 1 نفس الأعداد الأولية التي ينتجها 3n + 1 ، بينما ينتج عن 6n + 5 نفس الأعداد الأولية التي ينتجها 3n + 2 باستثناء العدد الأولي الزوجي الوحيد وهو 2. يسرد الجدول التالي عدة متتابعات حسابية تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، بالإضافة إلى الأعداد القليلة الأولى في كل منها.           

المتتابعة الحسابيةأول عشرة أعداد أولية من عدد لا نهائي من الأعداد الأوليةتسلسل OEIS
2 ن + 13، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، …A065091
4 ن + 15، 13، 17، 29، 37، 41، 53، 61، 73، 89، …A002144
4 ن + 33، 7، 11، 19، 23، 31، 43، 47، 59، 67، …A002145
6 ن + 17، 13، 19، 31، 37، 43، 61، 67، 73، 79، …A002476
6 ن + 55، 11، 17، 23، 29، 41، 47، 53، 59، 71، …A007528
8 ن + 117، 41، 73، 89، 97، 113، 137، 193، 233، 241، …A007519
8 ن + 33، 11، 19، 43، 59، 67، 83، 107، 131، 139، …A007520
8 ن + 55، 13، 29، 37، 53، 61، 101، 109، 149، 157، …A007521
8 ن + 77، 23، 31، 47، 71، 79، 103، 127، 151، 167، …A007522
10 ن + 111، 31، 41، 61، 71، 101، 131، 151، 181، 191، …A030430
10 ن + 33، 13، 23، 43، 53، 73، 83، 103، 113، 163، …A030431
10 ن + 77، 17، 37، 47، 67، 97، 107، 127، 137، 157، …A030432
10 ن + 919، 29، 59، 79، 89، 109، 139، 149، 179، 199، …A030433
12 ن + 113، 37، 61، 73، 97، 109، 157، 181، 193، 229، ...A068228
12 ن + 55، 17، 29، 41، 53، 89، 101، 113، 137، 149، ...A040117
12 ن + 77، 19، 31، 43، 67، 79، 103، 127، 139، 151، ...A068229
12 ن + 1111، 23، 47، 59، 71، 83، 107، 131، 167، 179، ...A068231

يمكننا توليد بعض أشكال الأعداد الأولية باستخدام طريقة تكرارية . على سبيل المثال، يمكننا توليد أعداد أولية على الصورة 4n + 3 باستخدام الطريقة التالية:

لنفترض أن a₀ = 4(1) + 3 = 7. ثم نضع a₁ = 4، ومنه a₀ + 3 = 4(7) + 3 = 31 ، وهو عدد أولي. نتابع بحساب 4(7)(31) + 3 = 871 = 13(67) . بما أن 4(7)(31) + 3 من الصورة 4ⁿ + 3 ، فإن إما 13 أو 67 من الصورة 4ⁿ + 3. لدينا أن 67 = 4(16) + 3 وهو عدد أولي، لذا a₃ = 67. ثم نتابع هذه العملية لإيجاد الأعداد الأولية المتتالية من الصورة 4ⁿ + 3 ( سيلفرمان 2013).

توزيع

بما أن الأعداد الأولية تتضاءل، في المتوسط، وفقًا لنظرية الأعداد الأولية ، فإن الأمر نفسه ينطبق على الأعداد الأولية في المتتابعات الحسابية. ومن الطبيعي التساؤل عن كيفية توزيع الأعداد الأولية بين مختلف المتتابعات الحسابية لقيمة معينة لـ d (يوجد d منها، أساسًا، إذا لم نميز بين متتابعتين تشتركان في جميع حدودهما تقريبًا). والإجابة هي: عدد المتتابعات الممكنة بتردد d - أي تلك التي لا يوجد فيها عامل مشترك بين a و d سوى 1 - يُعطى بدالة أويلر. 

φ(د).{\displaystyle \varphi (d).}

علاوة على ذلك، فإن نسبة الأعداد الأولية في كل منها هي

1φ(د).{\displaystyle {\frac {1}{\varphi (d)}}.}

على سبيل المثال، إذا كان d عددًا أوليًا q ، فإن كل متتابعة من متتابعات q  −  1

q+1،2q+1،3q+1،...{\displaystyle q+1,2q+1,3q+1,\dots }
q+2،2q+2،3q+2،...{\displaystyle q+2,2q+2,3q+2,\dots }
... {\displaystyle \dots \ }
q+q-1،2q+q-1،3q+q-1،...{\displaystyle q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,\dots }
(الكل باستثناء)q،2q،3q،...{\displaystyle q,2q,3q,\dots })

يحتوي على نسبة 1/( q  −  1) من الأعداد الأولية.

عند مقارنتها ببعضها البعض، فإن التسلسلات ذات الباقي غير المتبقي التربيعي تحتوي عادةً على عناصر أكثر قليلاً من تلك التي تحتوي على باقي متبقي تربيعي ( انحياز تشيبيشيف ).

تاريخ

في عام 1737، ربط أويلر دراسة الأعداد الأولية بما يُعرف الآن بدالة زيتا لريمان: فقد بيّن أن قيمة ζ (1) تختزل إلى نسبة حاصل ضرب عددين لانهائيين، Πp / Π( p -1) ، لجميع الأعداد الأولية p ، وأن هذه النسبة لانهائية. [ 1 ] [ 2 ] وفي عام 1775، صاغ أويلر نظريةً لحالات a + nd ، حيث a = 1. [ 3 ] ويمكن إثبات هذه الحالة الخاصة من نظرية ديريشليه باستخدام كثيرات الحدود الدائرية . [ 4 ] وقد افترض ليجاندر الشكل العام للنظرية لأول مرة في محاولاته غير الناجحة لإثبات التبادلية التربيعية [ 5 ] - كما أشار غاوس في كتابه Disquisitiones Arithmeticae [ 6 ] - ولكن ديريشليه ( 1837 ) أثبتها باستخدام متسلسلة ديريشليه L. يستند البرهان إلى أعمال أويلر السابقة التي تربط دالة زيتا لريمان بتوزيع الأعداد الأولية. تمثل هذه النظرية بداية نظرية الأعداد التحليلية الدقيقة . وقدّم أتلي سيلبرغ برهانًا أوليًا لهذه النظرية عام ١٩٤٩ [ ٧ ] . 

دليل

تُثبت نظرية ديريشليه بإثبات أن قيمة دالة ديريشليه L (ذات خاصية غير تافهة ) عند 1 لا تساوي الصفر. ويتطلب إثبات هذه النظرية بعضًا من حساب التفاضل والتكامل ونظرية الأعداد التحليلية ( سير، 1973 ) . أما الحالة الخاصة a = 1 (أي، فيما يتعلق بالأعداد الأولية التي تُطابق 1 بتردد n ) فيمكن إثباتها بتحليل سلوك انقسام الأعداد الأولية في الامتدادات الدائرية، دون استخدام حساب التفاضل والتكامل ( نيوكيرش، 1999 ، §VII.6) .

على الرغم من أن برهان نظرية ديريشليه يعتمد على حساب التفاضل والتكامل ونظرية الأعداد التحليلية، إلا أن بعض براهين الأمثلة أبسط بكثير. على وجه الخصوص، يقدم برهان مثال العدد اللانهائي من الأعداد الأولية من الشكل 4n + 3 حجة مشابهة لتلك المستخدمة في برهان نظرية إقليدس (سيلفرمان 2013). يرد البرهان أدناه:

نريد إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الصورة 4n + 3. لنفترض، على سبيل التناقض، أن عدد الأعداد الأولية على الصورة 4n + 3 محدود . سنجمع قائمة بجميع هذه الأعداد الأولية: 3، p1 ، p2 ، ​​... ، pm ، حيث p1 < p2 < ... < pm . لنفترض أن N = 4p1 ، p2 ، ​​... ، pm + 3. من الواضح أنه لا يوجد أي عدد أولي في القائمة 3، p1 ، p2 ، ​​... ، pm يقسم N. بحسب الحالات، يكون N إما عددًا مركبًا أو عددًا أوليًا. إذا كان N عددًا مركبًا، فإن له تحليلًا وحيدًا إلى عوامله الأولية: N = a1 ، a2 ، ... ، ar ، حيث كل ai عدد أولي. ولأن N ≡ 3 (mod 4) ، فإن N عدد فردي ، ويجب أن يكون حاصل ضرب أعداد أولية فردية فقط. أي عدد أولي فردي p يجب أن يكون إما p ≡ 1 (mod 4) أو p ≡ 3 (mod 4) . لا يمكن أن يكون aᵢ ≡ 1 (mod 4) لكل aᵢ ، لأنه لو كان الأمر كذلك، لكان N ≡ 1 (mod 4) . لذا، يوجد عدد أولي a ′ ≡ 3 (mod 4) بحيث a ′ يقسم N و a ′ < N. وإلا، إذا كان N عددًا أوليًا، فإن N ≡ 3 (mod 4) بحسب التعريف . في كلتا الحالتين، يحقق a ′ و N الصيغة 4ⁿ + 3 ، لكنهما ليسا ضمن القائمة 3، p₁ ، p₂ ، ... ، pₘ لأنهما يقسمان N ، وهذا تناقض. لذلك، لا تحتوي هذه القائمة على جميع هذه الأعداد الأولية، ويجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من الصيغة 4ⁿ + 3 ( سيلفرمان 2013).

التعميمات

تُعمم حدسية بونياكوفسكي نظرية ديريشليه لتشمل كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى. ويُعدّ ما إذا كانت كثيرات الحدود التربيعية البسيطة ، مثل x² + 1 (المعروفة من مسألة لانداو الرابعة )، تصل إلى عدد لا نهائي من القيم الأولية، مسألةً مفتوحةً مهمة .

تعمم فرضية ديكسون نظرية ديريشليه لتشمل أكثر من متعددة حدود واحدة.

تعمم فرضية شينزل H هاتين الفرضيتين، أي أنها تعمم إلى أكثر من متعدد حدود واحد بدرجة أكبر من واحد.

في نظرية الأعداد الجبرية ، تعمم نظرية ديريشليه إلى نظرية كثافة تشيبوتاريف .

تتناول نظرية لينيك (1944) حجم أصغر عدد أولي في متتالية حسابية معينة. وقد أثبت لينيك أن المتتالية a  + nd (عندما تتراوح قيمة n بين الأعداد الصحيحة الموجبة) تحتوي على عدد أولي لا يتجاوز حجمه cd L ، حيث c و L ثابتان مطلقان . وقد قام باحثون لاحقون بتقليص قيمة L إلى 5. 

ينطبق نظير لنظرية ديريشليه في إطار الأنظمة الديناميكية ( T. Sunada و A. Katsuda، 1990).

أظهر شيو أن أي متتابعة حسابية تحقق فرضية نظرية ديريشليه ستحتوي في الواقع على سلاسل طويلة بشكل تعسفي من الأعداد الأولية المتتالية . [ 8 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ^ أويلر ، ليونارد (1737). "ملاحظات متنوعة حول السلسلة اللانهائية" [ ملاحظات مختلفة حول السلسلة اللانهائية ] . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 9 : 160 - 188.; تحديداً، النظرية 7 في الصفحات 172-174.
  2. ↑ سانديفير، سي. إدوارد، الرياضيات المبكرة لليونارد أويلر (واشنطن العاصمة: الرابطة الرياضية الأمريكية، 2007)، ص  253.
  3. ↑ ليونارد أويلر، "المجموع seriei ex numeri primis formatae 1/3 − 1/5 + 1/7 + 1/11 − 1/13 − 1/17 + 1/19 + 1/23 − 1/29 + 1/31 إلخ. ubi numeri primiformae 4 n − 1 habent Signum positivum, formae autem 4 n + 1 Signum negativum" (على مجموع المتسلسلة [المؤلفة] من الأعداد الأولية المرتبة 1/3 − 1/5 + 1/7 + 1/11 − 1/13 − 1/17 + 1/19 + 1/23 − 1/29 + 1/31 وما إلى ذلك، حيث الأعداد الأولية للنموذج 4 n − (1 لها إشارة موجبة، بينما [تلك] من الشكل 4 ن + 1 [لها] إشارة سالبة.) في: ليونارد أويلر، أوبوسكولا أناليتيكا (سانت بطرسبرغ، روسيا: الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم، 1785)، المجلد 2، الصفحات 240-256؛ انظر الصفحة  241. من الصفحة. 241: " Quoniam porro numeri primi praeter binarium شبه طبيعي في فئتين مميزتين، proti fuerint vel formae 4n + 1 ، vel formae 4n − 1 ، dum prees omnes sunt summae duorum Quadratorum، postiores vero ab hac proprietate penitus exluduntur: series المتبادلة من خلال صيغ الطبقات، الخط: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + إلخ، و 1/ 3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + إلخ. Tenendum ii tantum excerpantur، الذي صنف 100n + 1، بما في ذلك 101، 401، 601، 701، وما إلى ذلك، لا يوجد عدد كبير من الأشخاص لا نهاية له، ولكن مجموع هذه السلسلة من الأشكال، متقطع: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + إلخ . " (بما أن الأعداد الأولية الأكبر من اثنين مقسمة كما لو كانت الطبيعة إلى فئتين، وفقًا لما كانت عليه إما من الشكل 4 n + 1 أو من الشكل 4 n − 1 ، حيث أن كل الأعداد الأولى عبارة عن مجموع مربعين، لكن الأخير تُستثنى تمامًا من هذه الخاصية: المتسلسلات المقلوبة المُكوَّنة من كلا الفئتين، وهي: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + إلخ، و1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + إلخ، ستكون كلتاهما لانهائية بنفس القدر، وهي خاصية موجودة أيضًا في جميع أنواع الأعداد الأولية. وبالتالي، إذا تم اختيار الأعداد الأولية التي تأخذ الشكل 100n + 1 فقط ، والتي من نوعها 101، 401، 601، 701، إلخ، فإن مجموعة هذه الأعداد ليست لانهائية فحسب، بل إن مجموع المتسلسلات المُكوَّنة من تلك المجموعة، وهي: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + إلخ، سيكون لانهائية أيضًا. 1/1901 + إلخ. كذلك هو عدد لا نهائي.)
  4. ↑ نوكيرش (1999) ، §I.10، التمرين 1.
  5. ↑ انظر:
    • Le Gendre (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (تحقيقات في التحليل المتداخل)، Histoire de l'Académie royale des Sciences، avec les mémoires de mathématique et de physique ، الصفحات من  465 إلى 559؛ انظر بشكل خاص ص.  552. من ص.  552: " 34. ملاحظة . قد يكون من الضروري إظهار الدقة في الاختيار الذي يفترض أن نفترضه في العديد من هذه المقالة، ومعرفة ما هو عدد لا نهائي من الأسماء الأولى التي تشمل في كل التقدم الحسابي، وليس المصطلح الأول والسبب هو الأول من نوعه، أو الذي يعود إلى نفس الشكل، في الصيغة 2mx + μ ، عندما يكون 2m & μ ليس نقطة مقسمة مشتركة، هذا الاقتراح صعب للغاية، بشرط أنه يمكن التأكد من أنه حقيقي، بالمقارنة. التقدم الحسابي لا تتحرك، حسب التقدم العادي 1، 3، 5، 7، إلخ. إذا قمت بصنع عدد كبير من مصطلحات هذه التقدمات، نفس الشيء في الثنائي، وكيف يتم التخلص، على سبيل المثال، من أن المصطلح الكبير الإضافي يكون متساويًا وعلى نفس المكان من جزء وآخر؛ On verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7, & c. حتى يتم الحصول على اسم معين أولاً ، يجب أن يبقى من جزأين نفس عدد الفصول، أو حتى يبقي أقل في التقدم 1، 3، 5، 7، & ج. ولكن في الخلية، الباقي ضروري des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre. " (34. ملاحظة . قد يكون من الضروري إثبات أمر افترضناه في عدة مواضع من هذه المقالة، وهو وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية في كل متتالية حسابية، حيث يكون حدها الأول وفرقها المشترك أوليين فيما بينهما، أو ما يعادل ذلك في الصيغة 2mx + μ ، عندما لا يكون لـ 2m و μ أي قواسم مشتركة على الإطلاق. يصعب إثبات هذه الفرضية، ولكن يمكن التأكد من صحتها بمقارنة المتتالية الحسابية قيد الدراسة بالمتتالية العادية 1، 3، 5، 7، إلخ. إذا أخذنا عددًا كبيرًا من حدود هاتين المتتاليتين، نفس عدد الحدود في كلتيهما، وإذا رتبناها، على سبيل المثال، بحيث يكون الحد الأكبر متساويًا وفي نفس المكان في كلتيهما؛ فسنرى أنه بحذف مضاعفات من كل منهما 3، 5، 7، إلخ، حتى عدد أولي معين p ، يجب أن يبقى في كلتا المجموعتين نفس عدد الحدود، أو حتى سيبقى عدد أقل منها في المتتالية 1، 3، 5، 7، إلخ. ولكن كما هو الحال في هذه [المجموعة]، حيث تبقى بالضرورة أعداد أولية، فسيبقى بعضها أيضًا في [المجموعة] الأخرى.
    • AM Legendre، Essai sur la Théorie des Nombres (باريس، فرنسا: دوبرات، 1798)، المقدمة، الصفحات  من 9 إلى 16. من ص.  12: " XIX. ... بشكل عام، هناك اسم واحد يتم إضعافه، يمكن أن يتم تمثيل جميع الأسماء في الصيغة 4ax ± b ، في laquelle b est impair و moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs المحتملة de b on retrache celles qui ont un diviseur مشترك. avec a, les formes Restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres primes Partagé, ... " (XIX. ... بشكل عام، نظرًا لوجود أي رقم معين، يمكن تمثيل جميع الأرقام الفردية بواسطة الصيغة 4 ax ± b ، حيث b فردي وأقل من 2a . إذا أزال أحد القيم التي لها قاسم مشترك مع a من بين جميع القيم الممكنة ، فإن الصيغ المتبقية 4 ax ± b تشمل الكل الأعداد الأولية بينهم ...)
    • AM Legendre، Essai sur la Théorie des Nombres ، الطبعة الثانية. (باريس، فرنسا: كورسير، 1808)، ص.  404. من ص.  404: " لذا، لا تقدم تقدمًا حسابيًا بعد A − C، 2A − C، 3A − C، وما إلى ذلك، في laquelle A و C هي أوليات بين بعضهما البعض؛ لذلك لا تحتوي أيضًا على مجموعة θ، lect، μ ... ψ، ω، composée de k nombres firsts impairs، pris à volonté et disposés dans un order quelconque ; موين أون كوي لن يكون قابلاً للقسمة على أي من الأعداد الأولية θ، λ، μ ... ψ، ω. (لنفترض وجود متتابعة حسابية A - C ، 2A - C ، 3A - C ، إلخ، حيث A و C عددان أوليان فيما بينهما؛ ولنفترض أيضًا وجود متسلسلة θ ، λ ، μ ... ψ ، ω مؤلفة من k عددًا أوليًا فرديًا، يتم اختيارها كيفما شئنا وترتيبها بأي ترتيب؛ إذا أطلقنا بشكل عام على الحد z من المتسلسلة الطبيعية للأعداد الأولية 3، 5، 7، 11، إلخ، اسم π ( z ) ، فإنني أزعم أنه من بين π ( k - 1) حدًا متتاليًا من المتتابعة المقترحة، سيكون هناك حد واحد على الأقل لا يقبل القسمة على أي من الأعداد الأولية θ ، λ ، μ ... (ψ ، ω .) ثبت خطأ هذا الادعاء عام 1858 على يد أنثاناس لويس دوبريه (1808-1869). انظر:
    • دوبري، أ. (1859) Examen d'une proposition de Legendre النسبي à la théorie des nombres [فحص اقتراح ليجيندر فيما يتعلق بنظرية الأعداد] (باريس، فرنسا: ماليت باشيليه، 1859).
    • Narkiewicz, Władysław, The Development of Prime Number The: From Euclid to Hardy and Littlewood (Berlin, Germany: Springer, 2000); انظر بشكل خاص الصفحة  50.
  6. ^ كارل فريدريش غاوس، Disquisitiones arithmeticae (لايبزيغ، (ألمانيا): جيرهارد فلايشر الابن، 1801)، القسم 297، ص 507-508. من الصفحات 507 إلى 508: " Ill. Le Gendre ipse Fattur, توضيحية نظرية, صيغة sub tali forma kt + l , designantibus k, l numeros inter se primos datos, t infinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, Methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares necessariae nobis videntur, antequam hacce quidem via ad مظاهرة rigorosam pervenire liceat "(يعترف Le Gendre نفسه [بأن] إثبات النظرية - [على وجه التحديد، ذلك] بين [الأعداد الصحيحة] للشكل kt + l ، [حيث] k و l تشير إلى أعداد صحيحة معينة [التي". هي] رئيسية فيما بينها [أي، coprime] [و] يشير t إلى متغير، ومن المؤكد أن الأعداد الأولية موجودة فيه - يبدو الأمر صعبًا بما فيه الكفاية، وبالمناسبة، يشير إلى طريقة قد تؤدي إلى ذلك؛ ومع ذلك، هناك العديد من التحقيقات الأولية والضرورية التي نتوقعها قبل أن تصل هذه [الفرضية] بالفعل إلى طريق البرهان الدقيق.
  7. ↑ سيلبرغ، أتلي (1949). "برهان أولي لنظرية ديريشليه حول الأعداد الأولية في متتابعة حسابية" . حوليات الرياضيات . 50 (2): 297-304 . doi : 10.2307/1969454 – عبر JSTOR.
  8. ↑ شيو، دي كي إل (2000). "سلاسل الأعداد الأولية المتطابقة". مجلة جمعية لندن الرياضية 61 ( 2): 359-373 . doi : 10.1112/s0024610799007863 .

مراجع