صنف أبيليان المزدوج

في الرياضيات ، يمكن تعريف الصنف الإبيلي المزدوج من الصنف الإبيلي A ، المحدد على حقل k . الصنف الإبيلي أحادي البعد هو منحنى إهليلجي ، وكل منحنى إهليلجي متماثل مع صنفه الإهليلجي، لكن هذا يفشل بالنسبة للأصناف الإبيلية ذات الأبعاد الأعلى، لذا يصبح مفهوم الصنف الإبيلي أكثر إثارة للاهتمام في الأبعاد الأعلى.

ليكن A صنفًا أبيليًا على حقل k . ونعرفه بأنه المجموعة الفرعية المكونة من حزم الخطوط L بحيث ، حيث هما خرائط الضرب والإسقاط على التوالي. ويسمى عنصر حزمة خطوط من الدرجة 0 على A. ^[1]${\displaystyle \operatorname {صورة} ^{0}(أ)\subset \operatorname {صورة} (أ)}$${\displaystyle m^{*}L\cong p^{*}L\otimes q^{*}L}$${\displaystyle m,p,q}$${\displaystyle A\times _{k}A\to A}$${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)}$

ثم يتم ربط تنوع أبيلي مزدوج A ^v (على نفس الحقل)، وهو الحل لمشكلة المعاملات التالية . يتم تعريف عائلة من حزم الخطوط من الدرجة 0 ذات المعلمة بواسطة تنوع k T على أنها حزمة خطوط L على A × T بحيث

1. بالنسبة للجميع ، فإن تقييد L إلى A ×{ t } هو حزمة خطوط من الدرجة 0،${\displaystyle t\in T}$
2. إن تقييد L إلى {0}× T عبارة عن حزمة خطوط تافهة (هنا 0 هي هوية A ).

ثم هناك تنوع A ^v وحزمة خطوط ، تسمى حزمة بوانكاريه، وهي عائلة من حزم الخطوط من الدرجة 0 المعلمة بواسطة A ^v بمعنى التعريف أعلاه. ^[2] علاوة على ذلك، فإن هذه العائلة عالمية، أي أن أي عائلة L المعلمة بواسطة T مرتبطة بتشكل فريد f : T → A ^v بحيث يكون L متماثلًا مع سحب P على طول التشكل 1 _A × f : A × T → A × A ^v . بتطبيق هذا على الحالة عندما تكون T نقطة، نرى أن نقاط A ^v تتوافق مع حزم الخطوط من الدرجة 0 على A ، لذلك توجد عملية مجموعة طبيعية على A ^v تُعطى بواسطة حاصل ضرب موتر لحزم الخطوط، مما يجعلها في تنوع أبيلي. ${\displaystyle P\to A\times A^{\vee }}$

في لغة المتجهات القابلة للتمثيل، يمكننا أن نذكر النتيجة أعلاه على النحو التالي. المتجه المعاكس، الذي يربط بكل تنوع k T مجموعة عائلات حزم الخطوط من الدرجة 0 المعلمة بواسطة T ولكل شكل k f : T → T'، يكون التعيين الناتج عن السحب مع f ، قابلاً للتمثيل. العنصر الشامل الذي يمثل هذا المتجه هو الزوج ( A ^v ، P ).

هذا الارتباط هو ثنائية بمعنى وجود تماثل طبيعي بين الثنائي المزدوج A ^vv و A (المحدد من خلال حزمة بوانكاريه) وأنه متغاير دالة ، أي أنه يرتبط بجميع التماثلات f : A → B التماثلات الثنائية f ^v : B ^v → A ^v بطريقة متوافقة. يكون الالتواء n للتنوع الإبيلي والالتواء n لثنائيه ثنائيًا لبعضهما البعض عندما يكون n أوليًا مشتركًا لخاصية القاعدة. بشكل عام - لجميع n - تكون مخططات مجموعة الالتواء n للأصناف الإبيلية المزدوجة ثنائيات كارتييه لبعضها البعض. هذا يعمم اقتران ويل للمنحنيات الإهليلجية.

تم وضع النظرية لأول مرة في شكل جيد عندما كان K هو مجال الأعداد المركبة . في هذه الحالة، يوجد شكل عام من الثنائية بين التنوع الألباني للتنوع الكامل V ، وتنوع بيكارد الخاص به ؛ وقد تحقق ذلك، بالنسبة للتعريفات من حيث التوريات المعقدة ، بمجرد أن أعطى أندريه ويل تعريفًا عامًا للتنوع الألباني. بالنسبة للتنوع الإبيلي A ، فإن التنوع الألباني هو A نفسه، لذلك يجب أن يكون الثنائي Pic ⁰ ( A )، المكون المتصل لعنصر الهوية لما يسمى في المصطلحات المعاصرة بمخطط بيكارد .

بالنسبة لحالة التنوع اليعقوبي J لسطح ريمان المضغوط C ، فإن اختيار الاستقطاب الرئيسي لـ J يؤدي إلى تحديد J بتنوع بيكارد الخاص به. وهذا في حد ذاته مجرد نتيجة لنظرية آبل . بالنسبة للتنوعات الإبيلية العامة، حتى على الأعداد المركبة، فإن A في نفس فئة التماثل مثل ثنائيها. يمكن إنشاء تماثل صريح باستخدام حزمة قابلة للعكس L على A (أي في هذه الحالة حزمة خطية هولومورفية )، عندما تكون المجموعة الفرعية

ك ( ل )

إن الترجمات على L التي تأخذ L إلى نسخة متماثلة هي في حد ذاتها محدودة. في هذه الحالة، يكون حاصل القسمة

أ / ك ( ل )

متماثل مع الصنف الإبيلى المزدوج Â .

يمتد هذا البناء لـ Â إلى أي حقل K ذي خاصية الصفر . ^[3] وفقًا لهذا التعريف، يمكن تعريف حزمة بوانكاريه ، وهي حزمة خطوط عالمية على

أ × .​

يستخدم البناء عندما يكون لـ K خاصية p نظرية المخطط . يجب أن يكون تعريف K ( L ) من حيث مخطط المجموعة الذي يعد مثبتًا نظريًا للمخطط ، والحاصل المأخوذ الآن هو حاصل حسب مخطط المجموعة الفرعية. ^[4]

ليكن تساوي نشوء الأصناف الإبيلية. (أي أنه منتهٍ إلى واحد ومتجاوز.) سنقوم بإنشاء تساوي نشوء باستخدام الوصف الدال لـ ، والذي ينص على أن بيانات الخريطة هي نفس إعطاء عائلة من حزم الخطوط ذات الدرجة الصفرية على ، المعلمة بواسطة . ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

ولتحقيق هذه الغاية، ضع في اعتبارك التماثل المتماثل وأين توجد مجموعة خطوط بوانكاريه لـ . وهذه هي العائلة المطلوبة من حزم خطوط الدرجة صفر على . ${\displaystyle f\times 1_{\hat {B}}:A\times {\hat {B}}\to B\times {\hat {B}}}$${\displaystyle (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}}$${\displaystyle P_{B}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

من خلال الوصف الوظيفي المذكور أعلاه، يوجد تماثل بحيث . يمكن للمرء أن يُظهِر باستخدام هذا الوصف أن هذه الخريطة هي تماثل نشوئي من نفس الدرجة مثل ، وأن . ^[5]${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$${\displaystyle ({\hat {f}}\times 1_{A})^{*}P_{A}\cong (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {\hat {f}}}=f}$

ومن ثم، نحصل على مُستدِل نهائي متغاير في فئة الأصناف الإبلية والذي يربع المتطابق. غالبًا ما يُطلق على هذا النوع من المُستدِل اسم المُستدِل الثنائي . ^[6]

تنص نظرية موكاي الشهيرة ^[7] على وجود تماثل في الفئات المشتقة ، حيث تشير إلى الفئة المشتقة المحدودة للحزم المتماسكة على X. تاريخيًا، كان هذا هو أول استخدام لتحويل فورييه-موكاي ويُظهر أن الفئة المشتقة المحدودة لا يمكنها بالضرورة التمييز بين الأصناف غير المتماثلة. ${\displaystyle D^{b}(A)\cong D^{b}({\hat {A}})}$${\displaystyle D^{b}(X)}$

تذكر أنه إذا كانت X و Y أصنافًا، وكانت عبارة عن مركب من الحزم المتماسكة، فإننا نحدد تحويل فورييه-موكاي ليكون التركيب ، حيث p و q هما الإسقاطان على X و Y على التوالي. ${\displaystyle {\mathcal {K}}\in D^{b}(X\times Y)}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}(\cdot )=Rq_{*}({\mathcal {K}}\otimes _{L}Lp^{*}(\cdot ))}$

لاحظ أن تكون مسطحة وبالتالي دقيقة على مستوى الحزم المتماسكة، وفي التطبيقات تكون غالبًا عبارة عن حزمة خطية، لذا قد يترك المرء عادةً المشتقات المشتقة من اليسار مشتقة بشكل أقل في التعبير أعلاه. لاحظ أيضًا أنه يمكن تعريف تحويل فورييه-موكاي بشكل مماثل باستخدام نفس النواة، فقط عن طريق تبديل خرائط الإسقاط في الصيغة. ${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{Y\to X}}$

ومن ثم فإن بيان نظرية موكاي هو على النحو التالي.

المبرهنة: ليكن A متباينة أبيلية ذات بعد g وحزمة خطوط بوانكاريه على . ثم، حيث ، هي خريطة الانعكاس، و هي مُحوِّل الإزاحة. وعلى وجه الخصوص، هو تماثل. ^[8]${\displaystyle P_{A}}$${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{{\hat {A}}\to A}\circ \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}\cong \iota ^{*}[-g]}$${\displaystyle \iota :A\to A}$${\displaystyle [-g]}$${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}}$

• ميلن، جيمس س. (2008). أصناف أبيليان (الإصدار 2.00) (PDF) .

• مومفورد، ديفيد (1985). أصناف أبيليان (الطبعة الثانية). دار نشر جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-560528-0.

• بهات ، بهارجاف (2017). أصناف أبيليان (PDF) .

تتضمن هذه المقالة مواد من Dual isogeny على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة للغير/المشاركة بالمثل .