اقتران ويل

في الرياضيات ، يُعرف اقتران ويل بأنه اقتران ( بصيغة ثنائية الخطية ، وإن كان باستخدام الترميز الضربي ) بين النقاط من الرتبة n التي تقسم منحنى إهليلجي E ، وتأخذ قيمًا من الجذور النونية للوحدة . وبشكل أعم، يوجد اقتران ويل مماثل بين النقاط من الرتبة n لمتنوعة أبيلية ومُنَظَّمتها الثنائية. وقد قدّمه أندريه ويل ( 1940 ) لمصفوفات جاكوبي للمنحنيات، حيث قدّم تعريفًا جبريًا مجردًا؛ وكانت النتائج المقابلة للدوال الإهليلجية معروفة، ويمكن التعبير عنها ببساطة باستخدام دالة سيجما لفايرشتراس .

اختر منحنى إهليلجي E معرفًا على حقل K ، وعددًا صحيحًا n > 0 (نشترط أن يكون n أوليًا نسبيًا مع char( K ) إذا كان char( K ) > 0) بحيث يحتوي K على جذر أولي من الرتبة n للوحدة . عندئذٍ يكون الالتواء من الرتبة n على    ${\displaystyle E({\overline {K}})}$من المعروف أن هذا حاصل ضرب ديكارتي لمجموعتين دوريتين من الرتبة n . ينتج عن اقتران ويل جذرًا من الرتبة n للوحدة.

${\displaystyle w(P,Q)\in \mu _{n}}$

باستخدام نظرية كومر ، لأي نقطتين${\displaystyle P,Q\in E(K)[n]}$، أين${\displaystyle E(K)[n]=\{T\in E(K)\mid n\cdot T=O\}}$و${\displaystyle \mu _{n}=\{x\in K\mid x^{n}=1\}}$.

يمكن بناء اقتران ويل بطريقة عملية كما يلي: اختر دالة F في حقل الدوال E فوق الإغلاق الجبري K مع قاسم

${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\sum _{0\leq k<n}[P+k\cdot Q]-\sum _{0\leq k<n}[k\cdot Q].}$

إذن، للدالة F جذر بسيط عند كل نقطة P + kQ ، وقطب بسيط عند كل نقطة kQ إذا كانت هذه النقاط متميزة. عندئذٍ، تكون F معرفة جيدًا حتى الضرب بثابت. إذا كانت G هي إزاحة F بمقدار Q ، فبحسب التعريف، يكون لـ G نفس القاسم، وبالتالي فإن الدالة G/F ثابتة.

لذلك إذا عرّفنا

${\displaystyle w(P,Q):={\frac {G}{F}}}$

سيكون لدينا جذر من الرتبة n للوحدة (لأن الترجمة n مرة يجب أن تعطي 1) بخلاف 1. مع هذا التعريف، يمكن إثبات أن w متناوب وثنائي الخطية، ^{[ 1 ]} مما يؤدي إلى اقتران غير منحط على الالتواء n .

لا يمتد اقتران ويل إلى اقتران على جميع نقاط الالتواء (الحد المباشر لنقاط الالتواء من الرتبة n ) لأن الاقترانات لقيم n المختلفة ليست متطابقة. ومع ذلك، فإنها تتلاءم معًا لتُعطي اقترانًا T _ℓ ( E ) × T _ℓ ( E ) → T _ℓ (μ) على وحدة تيت T _ℓ ( E ) للمنحنى الإهليلجي E (الحد العكسي لنقاط الالتواء من الرتبة ⁿ ) إلى وحدة تيت T _ℓ (μ) للمجموعة الضربية (الحد العكسي لجذور الوحدة من الرتبة ⁿ ).

بالنسبة للأصناف الأبيلية على حقل مغلق جبريًا K ، فإن اقتران ويل هو اقتران غير منحط.

${\displaystyle A[n]\times A^{\vee }[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

لكل ^عدد أولي n بالنسبة لخاصية K. [ ^{2 ]} هنا${\displaystyle A^{\vee }}$يشير إلى التنوع الأبلي المزدوج لـ A. وهذا ما يسمى باقتران ويل للأبعاد الأعلى. إذا كانت A مزودة باستقطاب

${\displaystyle \lambda :A\longrightarrow A^{\vee }}$،

ثم ينتج عن التركيب اقتران (ربما يكون متدهورًا)

${\displaystyle A[n]\times A[n]\longrightarrow \mu _{n}.}$

إذا كانت C منحنى إسقاطيًا غير منفرد من الرتبة ≥  ​​0 على k ، و J مصفوفة جاكوبي الخاصة بها ، فإن قاسم ثيتا لـ J يُولِّد استقطابًا رئيسيًا لـ J ، والذي يكون في هذه الحالة بالذات تماثلًا (انظر خاصية الازدواجية الذاتية لمصفوفات جاكوبي ). وبالتالي، فإن تركيب اقتران ويل لـ J مع الاستقطاب يُعطي اقترانًا غير مُنحط.

${\displaystyle J[n]\times J[n]\longrightarrow \mu _{n}}$

لكل n عدد أولي بالنسبة لخاصية k .

كما هو الحال في المنحنيات الإهليلجية ، يمكن إعطاء صيغ صريحة لهذا الاقتران بدلالة قواسم C.

يتم استخدام الاقتران في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية ، كما تم تطبيقه أيضًا في تشفير المنحنيات الإهليلجية والتشفير القائم على الهوية .

• تيت بيرفيو
• التشفير القائم على الاقتران
• مخطط بونيه-فرانكلين
• التوقيعات المتماثلة لترميز الشبكة

• Weil، André (1940)، “Sur les fonctions algébriques à corps de Constantes fini”، Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences ، 210 : 592–594 ، MR 0002863 

• اقتران ويل على المنحنيات الإهليلجية فوق C (PDF)