صندوق إيدجوورث

في علم الاقتصاد ، يُعرف صندوق إيدجوورث، أو صندوق إيدجوورث-باولي، بأنه تمثيل بياني لسوق يتكون من سلعتين فقط، X و Y ، ومستهلكين اثنين. أبعاد الصندوق هي الكميات الإجمالية Ωx _و Ωy _من السلعتين.

لنفترض أن المستهلكين هما أوكتافيو وآبي. تمثل الزاوية العلوية اليمنى من المربع التوزيع الذي يمتلك فيه أوكتافيو جميع السلع، بينما تمثل الزاوية السفلية اليسرى الملكية الكاملة لآبي. تمثل النقاط داخل المربع طرق توزيع السلع بين المستهلكين.

سيتحدد سلوك السوق من خلال منحنيات السواء للمستهلكين . تمثل المنحنيات الزرقاء في الرسم البياني منحنيات السواء لأوكتافيو، وتظهر محدبة من وجهة نظره (أي من أسفل اليسار). أما المنحنيات البرتقالية فتمثل آبي، وهي محدبة من أعلى اليمين. يؤدي التحرك لأعلى ولليمين إلى زيادة حصة أوكتافيو ووضعه على منحنى سواء أكثر ملاءمة، بينما يضع آبي على منحنى سواء أقل ملاءمة.

تعتبر منحنيات السواء المحدبة هي الحالة المعتادة. وهي تتوافق مع تناقص العوائد لكل سلعة مقارنة بالأخرى.

يبدأ التبادل داخل السوق من تخصيص أولي يُعرف باسم الهبة .

يُستخدم صندوق إيدجوورث بشكل أساسي لتقديم مواضيع في نظرية التوازن العام بصورة تسمح بتصور الخصائص بيانياً. كما يُمكنه إظهار صعوبة الوصول إلى نتيجة فعّالة في ظل وجود احتكار ثنائي . ^{[ 1 ]} في هذه الحالة الأخيرة، يُعدّ الصندوق تمهيداً لمسألة التفاوض في نظرية الألعاب ، والتي تُتيح حلاً عددياً فريداً. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

بما أن هناك سلعتين فقط، فإن السعر الفعلي هو سعر الصرف بينهما. هدفنا هو إيجاد السعر الذي يُمكن عنده تحقيق توازن السوق، وهو السعر الذي لا تُرغب عنده أي معاملات أخرى، انطلاقًا من كمية مُحددة. سيتم تحديد هذه الكميات من خلال منحنيات السواء للمستهلكين كما هو موضح في الشكل  2.

سنفترض أن أوكتافيو وآبي يذهبان يوميًا إلى السوق ومعهما كميات (ω _x ,ω _y ) و (Ω _x – ω _x , Ω _y – ω _y ) من السلعتين، والتي تتوافق مع الموضع ω في الرسم البياني. سيتبادل المستهلكان السلعتين فيما بينهما وفقًا لسلوك السوق التنافسي. يتطلب هذا الافتراض قدرًا من التغاضي عن بعض الأمور، نظرًا لعدم تحقق شروط المنافسة الكاملة - التي تشمل عددًا لا نهائيًا من المستهلكين.

إذا تم تبادل عنصرين من نوع X مقابل عنصر واحد من نوع Y ، فإن معاملة أوكتافيو وآبي ستنقلهما إلى نقطة ما على طول الخط الرمادي المتصل، والذي يُعرف بخط الميزانية  . (وبشكل أدق، يمكن تعريف خط الميزانية بأنه خط مستقيم يمر بنقطة الوقف، ويمثل المخصصات التي يمكن الحصول عليها عن طريق التبادل بسعر معين). كما هو موضح في الشكل 2، تظهر خطوط الميزانية لأسعار أخرى كخطوط متقطعة ومنقطة.

يُحدد التوازن الموافق لموارد معينة ω من خلال زوج من منحنيات السواء التي لها مماس مشترك يمر عبر ω . سنستخدم مصطلح "خط السعر" للدلالة على المماس المشترك لمنحنيين من منحنيات السواء. وبالتالي، يتوافق التوازن مع خط ميزانية هو نفسه خط سعر، وسعر التوازن هو ميل هذا الخط. في الشكل  3 ، ω هي الموارد و ω ' هي التوزيع عند التوازن.

والسبب وراء ذلك هو كما يلي.

أولًا، يجب أن تقع أي نقطة داخل المربع على منحنى واحد فقط من منحنيات السواء الخاصة بأبي، وعلى منحنى واحد فقط من منحنيات السواء الخاصة بأوكتافيو. إذا تقاطع المنحنيان (كما هو موضح في الشكل  4)، فإنهما يقسمان المنطقة المجاورة مباشرة إلى أربع مناطق، إحداها (موضحة باللون الأخضر الفاتح) مفضلة لكلا المستهلكين؛ لذلك، لا يمكن أن تكون نقطة تقاطع منحنيات السواء نقطة توازن، ويجب أن تكون نقطة التوازن نقطة تماس.

ثانياً، السعر الوحيد الذي يمكن أن يستمر في السوق عند نقطة التماس هو السعر الذي يحدده ميل المماس، لأنه عند هذا السعر فقط سيكون المستهلكون على استعداد لقبول عمليات تبادل صغيرة للغاية.

وثالثًا (وهي النقطة الأصعب)، يجب أن تتم جميع عمليات التبادل التي تنقل المستهلكين على المسار من ω إلى نقطة التوازن عند السعر نفسه. إذا تم قبول هذا الشرط، فسيكون هذا السعر هو السعر المؤثر عند نقطة التماس، ومن ثمّ تتحقق النتيجة.

في اقتصاد ثنائي الأفراد، لا يوجد ما يضمن أن تتم جميع عمليات التبادل بنفس السعر. لكن الغرض من نموذج إيدجوورث ليس توضيح تثبيت الأسعار الذي قد يحدث في غياب المنافسة، بل توضيح اقتصاد تنافسي في أبسط صورة. لذا، يمكننا أن نتخيل أنه بدلًا من آبي وأوكتافيو واحدين، لدينا عدد لا نهائي من النسخ المتطابقة لكل منهما، جميعها تدخل السوق بموارد متطابقة في أوقات مختلفة، وتتفاوض تدريجيًا حتى تصل إلى حالة التوازن. قد يتبادل أوكتافيو الوافد حديثًا بسعر السوق مع آبي القريبة من التوازن، وطالما أن آبي الوافد حديثًا يتبادل مع أوكتافيو شبه راضٍ، فإن الأعداد ستتوازن. لكي ينجح التبادل في اقتصاد تنافسي واسع النطاق، يجب أن يسود السعر نفسه للجميع. وبالتالي، يجب أن يُحرك التبادل التوزيع على طول خط السعر كما حددناه. ^{[ 12 ]}

وبالتالي، فإن مهمة إيجاد توازن تنافسي تُختزل إلى مهمة إيجاد نقطة تماس بين منحنيي سواء يمر المماس عندها بنقطة معينة. ويُوفر استخدام منحنيات العرض (الموصوفة أدناه) إجراءً منهجياً لتحقيق ذلك.

يُقال إن توزيعًا للسلع "يتفوق على توزيع آخر وفقًا لمبدأ باريتو" إذا كان مفضلًا لأحد المستهلكين ولا يقل سوءًا عن الآخر. ويُقال إن التوزيع "أمثل وفقًا لمبدأ باريتو " (أو "فعال وفقًا لمبدأ باريتو") إذا لم يتفوق عليه أي توزيع آخر وفقًا لمبدأ باريتو. وتُعرف مجموعة التوزيعات المثلى وفقًا لمبدأ باريتو باسم مجموعة باريتو (أو "الموضع الفعال").

لنفترض وجود منحنيين مماسين، أحدهما لكل مستهلك كما هو موضح في الشكل  5، حيث تُشير النقطة البنفسجية إلى نقطة التماس. يضمن التحدب أن المنحنيين لا يمكنهما التقاطع إلا عند نقطة التماس، وبناءً على ذلك، يُقسّم المربع إلى 3 مناطق. المنطقة الزرقاء الفاتحة أفضل من نقطة التماس بالنسبة لأوكتافيو، ولكنها أسوأ بالنسبة لأبي؛ والمنطقة البرتقالية الفاتحة أفضل بالنسبة لأبي، ولكنها أسوأ بالنسبة لأوكتافيو؛ والمنطقة البيضاء أسوأ بالنسبة لكليهما. تنطبق اعتبارات مماثلة على الحدود. وعليه، فإن نقطة التماس هي الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو.

وبالتالي، فإن مجموعة باريتو هي موضع نقاط التماس للمنحنيات. وهي عبارة عن خط يصل بين نقطة أصل أوكتافيو (O) ونقطة أصل آبي (A). يوضح الشكل  6 مثالاً على ذلك، حيث يمثل الخط البنفسجي مجموعة باريتو المقابلة لمنحنيات السواء للمستهلكين.

تتباين المصطلحات المستخدمة لوصف العناصر المختلفة التي تُشكّل جزءًا من صندوق إيدجوورث. يُطلق على مجموعة باريتو بأكملها أحيانًا اسم منحنى العقد ، بينما يقتصر تعريف منحنى العقد، وفقًا لماس-كوليل وآخرون، على النقاط الموجودة على مجموعة باريتو التي تجعل كلًا من آبي وأوكتافيو في وضع جيد على الأقل مثل وضعهما عند بداية المشروع. أما مؤلفون آخرون ذوو توجه نظري أكثر ، مثل مارتن أوزبورن وأرييل روبنشتاين ^{[ 13 ]} ، فيستخدمون مصطلح "الجوهر " للإشارة إلى جزء مجموعة باريتو الذي يُحقق لكل مستهلك على الأقل نفس مستوى وضعه عند بداية المشروع.

بما أن مجموعة باريتو هي مجموعة النقاط التي تكون عندها منحنيات السواء للمستهلكين متماسّة، فهي أيضاً مجموعة النقاط التي يكون عندها معدل الإحلال الحدي لكل مستهلك مساوياً لمعدل الإحلال الحدي للشخص الآخر. ^{[ 14 ]}

لقد رأينا أن نقاط التماس لمنحنيات السواء هي نقاط باريتو المثلى، ولكننا رأينا سابقًا أيضًا أن التوازنات الاقتصادية هي تلك النقاط التي تكون عندها منحنيات السواء مماسية لخط سعر مشترك. وبناءً على ذلك، فإن التوازنات هي تحديدًا نقاط باريتو المثلى.

ينطبق هذا الاستدلال مع قيد واحد حتى لو كانت المنحنيات غير قابلة للتفاضل أو إذا كان التوازن على الحدود. شرط التوازن هو عدم حدوث أي تبادل إضافي، وشرط عدم حدوث أي تبادل إضافي هو عدم وجود اتجاه حركة يفيد أحد المستهلكين دون الإضرار بالآخر؛ وهذا يُعادل تعريف الأمثلية الباريتية. ^{[ 15 ]}

يكمن القيد في أن التوازن يعني استحالة تحقيق أي تحسين محلي ، أي أن النقطة تُعتبر "محلية" مثلى وفقًا لمبدأ باريتو. لكن يُنظر اليوم إلى أمثلية باريتو على أنها عالمية بحكم تعريفها. ^{[ 16 ]} وبالتالي، إذا سمحت طبيعة منحنيات السواء بظهور حلول مثلى غير عالمية (وهو ما لا يمكن أن يحدث إذا كانت محدبة)، فمن الممكن ألا تكون نقاط التوازن مثلى وفقًا لمبدأ باريتو.

المنافسة الكاملة ليست شرطاً أساسياً لنظرية باريتو. فما دام المستهلكون أحراراً في التبادل، وسيستمرون في ذلك حتى لا يتوفر أي تبادل مقبول للطرفين، سيتحقق التوازن وسيكون (على الأقل محلياً) الأمثل وفقاً لمبدأ باريتو. ^{[ 17 ]}

لنفترض الآن اقتصادًا يمتلك فيه المستهلكون موارد ω كما هو موضح في الشكل  7. إذا تُرك السوق الحرّ لحالته، فسيقودهم إلى ω' . ولكن لنفترض أن موقعًا آخر في المربع - لنقل α' - يُعتبر مفضلًا اجتماعيًا. يمكننا أن نفترض أن الموقع المرغوب اجتماعيًا هو الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو.

يمكننا أن نعتبر خطوط الأسعار (الموضحة كخطوط متقطعة في الرسم البياني) بمثابة توزيعات مختلفة للدخل الحقيقي، والحركة على طولها بمثابة إعادة تخصيص للموارد بينما تظل الدخول ثابتة.

_{ثم ،} لإعادة تموضع المجتمع عند النقطة المرغوبة α'، ليس من الضروري أن تعيد الحكومة توزيع الموارد بحيث يمتلك أوكتافيو (α'x ^, α'y ⁾ وتمتلك آبي النقطة المكملة لها؛ يكفي إعادة تخصيص الموارد لنقل الاقتصاد إلى أي نقطة (لنقل α ) على خط السعر المار بـ α' ، ثم ترك السوق ليجد توازنه بنفسه. في الواقع، طالما أن الحكومة _تُقرّ بتوزيع مرغوب للدخل، فلا تحتاج إلى أي فكرة عن التوزيع الأمثل للموارد.

في بيان لاقتصاد أكثر عمومية، يمكن اعتبار النظرية بمثابة القول بأن α' يمكن الوصول إليها عن طريق تحويل نقدي يتبعه اللعب الحر لتبادل السوق؛ لكن النقود غائبة عن صندوق إيدجوورث.

لا تُقدّم النظرية الأساسية الثانية خطةً جاهزةً لمعالجة مشاكل المجتمع. فقد تُقرّر الحكومة إعادة توزيع الموارد بين أوكتافيو وآبي، بنقلها من ω إلى α قبل بدء التداول اليومي؛ ونتيجةً لذلك، قد يُقرّر الخاسر طرح كمية أقل في السوق في اليوم التالي. ولا تُراعي النظرية الأساسية الثانية التشوهات الناجمة عن إعادة التوزيع. ^{[ 18 ]}

توفر منحنيات العرض وسيلة لإيجاد نقاط التوازن، وهي مفيدة أيضًا للتحقق من وجودها وتفردها.

يمكن رسم منحنيين من هذا القبيل، أحدهما لكل مستهلك، وكلاهما يعتمد على الموارد المتاحة، داخل المربع. نُحوّل خط الميزانية حول النقطة ω ونتتبع النقاط الأكثر تفضيلاً لكل من المستهلكين على طول الخط كما هو موضح بالنقاط الملونة في الشكل  8. هذه هي النقاط التي يكون عندها الخط مماساً لمنحنيات السواء الخاصة بكل منهما.

يمثل منحنى العرض الخاص بالمستهلك النقطة التي يفضلها أكثر من غيرها.  يوضح الشكل 9 منحنى عرض أوكتافيو باللون الأزرق الداكن، ومنحنى عرض آبي باللون البني. يتقاطع المنحنيان عند النقطة ω ' ، وخط ميزانية التوازن (المرسوم باللون الرمادي) هو الخط المار بهذه النقطة. أما منحنيات السواء المارة بالنقطة ω ' للمستهلكين، فتظهر بألوان أفتح.

يمر منحنى العرض بالضرورة عبر نقطة الهبة ω . إذا أخذنا آبي كمثال، نلاحظ أن أحد منحنيات السواء الخاصة بها يجب أن يمر عبر ω، وأنه يمكن اختيار خط الميزانية بحيث يكون له نفس ميل منحنى السواء هنا، مما يجعل ω نقطة مفضلة للغاية لهذا الخط.

ونتيجة لذلك، تتقاطع منحنيات عرض المستهلكين بالضرورة عند ω ؛ لكن الخاصية التي تجعل هذا يحدث هي أن ω هي نقطة التقاطع الوحيدة الممكنة والمتوافقة مع خطوط الميزانية ذات التدرج المختلف، وبالتالي فهي لا تشكل بالضرورة حالة توازن.

أي تقاطع لمنحنيات العرض عند نقطة أخرى غير ω يُحدد توازناً مستقراً. إذا كان منحنيا العرض متماسين عند نقطة الهبة، فإن هذه النقطة تُمثل توازناً بالفعل، ويكون المماس المشترك لهما هو خط الميزانية المقابل. ^{[ 19 ]}

تفرد التوازنات

قد يُفترض، انطلاقًا من اعتبارات اقتصادية، أنه إذا وُجد خط تماس مشترك يمر عبر موارد معينة، وإذا لم تكن منحنيات السواء شاذة الشكل، فإن نقطة التماس ستكون فريدة. إلا أن هذا الافتراض غير صحيح. وقد خضعت شروط تفرد التوازن لبحوث مستفيضة: انظر نظرية التوازن العام .

يوضح الشكلان 9 و10 مثالاً من دراسة ماس-كوليل وآخرون، حيث تتوافق ثلاث حالات توازن متميزة مع نقطة الهبة ω . منحنيات السواء هي:

${\displaystyle \quad x-{\tfrac {1}{8}}y^{-8}=u}$(أوكتافيو)

${\displaystyle \quad y-{\tfrac {1}{8}}x^{-8}=u}$(آبي).

تملأ منحنيات السواء المربع، ولكنها لا تظهر إلا عندما تكون مماسية لبعض خطوط الميزانية التمثيلية. تتقاطع منحنيات العرض، الموضحة في الشكل 11، عند ثلاث نقاط موضحة بنقاط رمادية كبيرة، وتتوافق مع أسعار صرف 1/2 و 1 و2.

استندت الدراسات المبكرة لخصائص التوازن إلى تعريف ضمني للتوازن على أنه تماس، ويبدو أن التحدب كان مفترضًا ضمنيًا. ^{[ 20 ]} لم يكن هناك شك في إمكانية الوصول إلى التوازن: فالصعود التدريجي سيؤدي إليه. لكن النتائج افتقرت إلى التعميم.

توازنات الحدود والمنحنيات غير القابلة للتفاضل

نشر كل من كينيث آرو وجيرار ديبرو أوراقًا بحثية بشكل مستقل في عام 1951، لفتوا فيها الانتباه إلى القيود في البراهين الحسابية لنظريات التوازن. ^{[ 21 ]} أشار آرو تحديدًا إلى الصعوبة الناجمة عن التوازنات على الحدود، بينما أشار ديبرو إلى مشكلة منحنيات السواء غير القابلة للتفاضل.

دون السعي إلى تغطية شاملة، من السهل إدراك كيفية توسيع نطاق أساليبنا لتشمل هذه الحالات. نحتاج إلى توسيع مفهوم المماس ليشمل أي خط يلامس المنحنى: المماس بالمعنى اللغوي وليس بالمعنى التفاضلي. في مثال الشكل  12، يوجد قوس من خطوط الأسعار القانونية يمر بنقطة تماس، يلامس كل منها منحنيات السواء دون أن يقطعها داخل المربع، وبالتالي توجد مجموعة من التوازنات الممكنة لموارد معينة.

التوازن التنافسي

لا تمثل نقاط التوازن في الشكل  12 نقاطًا تتقاطع فيها المنحنيات بشكل حقيقي. ومع ذلك، فهي تتمتع بخاصية تعمم التعريف من حيث المماسات، وهي أنه يمكن فصل المنحنيين محليًا بخط مستقيم.

عرّف كلٌّ من آرو وديبرو مفهوم التوازن بنفس الطريقة في بحثيهما (المستقلين) عام 1951، دون تقديم أي مصدر أو أساس منطقي لتعريفهما. وقد احتفظا بهذا التعريف في بحثهما المشترك (حول وجود التوازن) عام 1954. ^{[ 22 ]} استلزم التعريف الجديد تغييرًا في الأسلوب الرياضي من حساب التفاضل والتكامل إلى نظرية المجموعات المحدبة .

كان تعريفهم في الواقع كالتالي: التوازن الذي يمكن تحقيقه من خلال مورد ω يتكون من تخصيص x وخط ميزانية يمر عبر x و ω بحيث لا توجد نقطة على طول الخط يفضلها أي من المستهلكين (بشكل قاطع) على x . يُعرف الزوج الذي يتألف من تخصيص وخط يحقق هذه الخاصية باسم توازن "والراس" أو توازن " تنافسي" .

خط الميزانية في هذا التعريف هو خط يفصل منحنيات السواء للمستهلكين، ولكنه يفصلها بشكل عام وليس محليًا. لم يوضح آرو وديبرو سبب اشتراطهما الفصل العام، الذي ربما سهّل براهينهما، ولكنه قد يُفضي إلى نتائج غير متوقعة. في الشكل  13، النقطة x هي نقطة تماس، وهي أيضًا نقطة يفصل عندها خط السعر المتقطع منحنيات السواء محليًا؛ ولكن نظرًا لعدم وجود فصل عام، فإن هذه النقطة لا تُمثل نقطة توازن وفقًا لتعريف آرو وديبرو.

في الشكل  14، تمثل النقطة x نقطة باريتو المثلى التي لا تحقق تعريف التوازن التنافسي. إن مسألة ما إذا كان الاقتصاد سيستقر عند هذه النقطة منفصلة تمامًا عن مسألة ما إذا كان يحقق تعريفًا معينًا للتوازن؛ ومن الواضح أنه في هذه الحالة سيستقر عندها بالفعل.

لطالما أدرج آرو وديبرو تحدب منحنيات السواء ضمن "افتراضاتهما". يُعدّ مصطلح "الافتراضات" مصطلحًا فضفاضًا، إذ قد يشير إلى افتراض مسبق ضمن التعريفات والنظريات، أو إلى فرضية ضرورية فقط للنظريات. ونظرًا لأن تعريفهما لا يشمل جميع حالات التوازن التي قد توجد عندما تكون المنحنيات غير محدبة، فمن المحتمل أنهما قصدا افتراض التحدب بالمعنى الأول. وسواء أكان هذا صحيحًا أم لا، فقد اعتُمد التعريف على نطاق واسع دون أي تقييد للمجال.

وقد تبين في بعض الأحيان أنه يمكن استخلاص النتائج بموجب تعريفها دون افتراض التحدب في البرهان (النظرية الأساسية الأولى لاقتصاديات الرفاهية مثال على ذلك).

• ماس-كوليل، أندرو ؛ وينستون، مايكل د.؛ جيري ر. غرين (1995). نظرية الاقتصاد الجزئي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-507340-1.
• فيلفريدو باريتو ، دليل الاقتصاد السياسي بمقدمة عن العلوم الاجتماعية (1906) / مانويل دي إيكونومي بوليتيك . (1909) (طبعة ثانية فعلياً من النسخة الإيطالية)، م. آر. (من الفرنسية) باسم "دليل الاقتصاد السياسي" (1971).

• محاكاة على موقع Wolfram.com
• شرح مربع إيدجوورث على موقع economic-truth
• شرح مربع إيدجوورث في موقع ديجيتال إيكونوميست