موتر زائف للإجهاد والطاقة والزخم

استرشد لاندو وليفشيتز بأربعة متطلبات في بحثهما عن موتر زائف للطاقة والزخم الثقالي،${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\mu \nu }}$: ^{[ 1 ]}

1. أن يتم بناؤه بالكامل من موتر القياس ، بحيث يكون ذا أصل هندسي أو جاذبي بحت.
2. أن يكون متناظرًا في المؤشر، أي${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\nu \nu }=t_{\text{LL}}^{\nu \mu }}$(للحفاظ على الزخم الزاوي )
3. والتي، عند إضافتها إلى موتر الإجهاد والطاقة للمادة،${\displaystyle T^{\mu \nu }}$، وبالتالي فإن تباعدها الرباعي العادي الكلي ( ∂μ _، وليس ∇μ ) يتلاشى _، مما ينتج عنه تعبير محفوظ للإجهاد والطاقة والزخم الكلي. (وهذا شرط أساسي لأي تيار محفوظ ).
4. أن يتلاشى محليًا في إطار مرجعي قصوري (مما يستلزم احتواءه على مشتقات من الرتبة الأولى فقط، وليس من الرتبة الثانية أو أعلى). وذلك لأن مبدأ التكافؤ يقتضي أن يتلاشى مجال قوة الجاذبية، أي رموز كريستوفيل ، محليًا في بعض الأطر. فإذا كانت طاقة الجاذبية دالةً لمجال قوتها، كما هو معتاد بالنسبة للقوى الأخرى، فإن الموتر الزائف للجاذبية المرتبط بها يجب أن يتلاشى محليًا أيضًا.

أظهر لاندو وليفشيتز أن هناك بنية فريدة تفي بهذه المتطلبات، وهي $${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\kappa }}G^{\mu \nu }+{\frac {1}{2\kappa (-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$ أين:

• G ^μν هو موتر أينشتاين (الذي يتم إنشاؤه من المقياس)
• g ^μν هو معكوس الموتر المتري ، g _μν
• g = det( g _μν ) هو محدد موتر القياس. g < 0 ، ومن هنا جاء ظهوره كـ${\displaystyle -g}$.
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}}$هي مشتقات جزئية ، وليست مشتقات متغيرة.
• κ = 8πG / c⁴ هو ^ثابت الجاذبية لأينشتاين​​
• G هو ثابت نيوتن للجاذبية

بفحص شروط المتطلبات الأربعة، يمكننا أن نرى أن الشروط الثلاثة الأولى سهلة الإثبات نسبياً:

1. منذ موتر أينشتاين،${\displaystyle G^{\mu \nu }}$، وهي نفسها مبنية من المقياس، لذلك فهي${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\mu \nu }}$
2. منذ موتر أينشتاين،${\displaystyle G^{\mu \nu }}$، متناظرة، لذا فهي${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\mu \nu }}$لأن الحدود الإضافية متناظرة عند الفحص.
3. يتم بناء موتر لاندو-ليفشيتز الزائف بحيث عند إضافته إلى موتر الإجهاد والطاقة للمادة،${\displaystyle T^{\mu \nu }}$، يختفي تباينها الكلي البالغ 4 :${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{\text{LL}}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}$وينتج هذا عن إلغاء موتر أينشتاين.${\displaystyle G^{\mu \nu }}$، مع موتر الإجهاد والطاقة ،${\displaystyle T^{\mu \nu }}$بواسطة معادلات مجال أينشتاين ؛ يتلاشى الحد المتبقي جبريًا بسبب تبادلية المشتقات الجزئية المطبقة عبر المؤشرات المتناظرة.
4. يبدو أن موتر لاندو-ليفشيتز الزائف يتضمن حدود المشتقة الثانية في المقياس، ولكن في الواقع، فإن حدود المشتقة الثانية الصريحة في الموتر الزائف تلغي حدود المشتقة الثانية الضمنية الموجودة داخل موتر أينشتاين .${\displaystyle G^{\mu \nu }}$يتضح هذا الأمر أكثر عندما يُعبَّر عن الموتر الزائف مباشرةً بدلالة موتر القياس أو اتصال ليفي-تشيفيتا ؛ إذ تبقى فقط حدود المشتقة الأولى في القياس، وتتلاشى هذه الحدود عندما يكون الإطار المرجعي قصوريًا محليًا عند أي نقطة مختارة. ونتيجةً لذلك، يتلاشى الموتر الزائف بأكمله محليًا (مرة أخرى، عند أي نقطة مختارة).${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\mu \nu }=0}$وهذا يوضح عدم تمركز طاقة الزخم الجاذبي. ^{[ 1 ]}

عندما تمت صياغة موتر لاندو-ليفشيتز الزائف، كان من المفترض عمومًا أن الثابت الكوني ،${\displaystyle \Lambda }$كانت القيمة صفرًا. أما اليوم، فإن هذا الافتراض مشكوك فيه ، وغالبًا ما يكتسب التعبير معنىً آخر.${\displaystyle \Lambda }$مصطلح، يعطي: $${\displaystyle t_{\text{LL}}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\kappa }}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {1}{2\kappa (-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$$

هذا ضروري لتحقيق الاتساق مع معادلات أينشتاين للمجال .

كما يقدم لاندو وليفشيتز تعبيرين متكافئين ولكن أطول لموتر لاندو-ليفشيتز الزائف:

• إصدار موتر القياس : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{\text{LL}}^{\mu \nu }+{\frac {\Lambda g^{\mu \nu }}{\kappa }}\right)={\frac {1}{2\kappa }}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$$
• إصدار الاتصال الأفيني : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{\text{LL}}^{\mu \nu }+{\frac {\Lambda g^{\mu \nu }}{\kappa }}={\frac {1}{2\kappa }}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$$

هذا التعريف للطاقة والزخم قابل للتطبيق بشكل متغاير ليس فقط في ظل تحويلات لورنتز، ولكن أيضًا في ظل تحويلات الإحداثيات العامة.