الهندسة العددية

في الرياضيات ، الهندسة العددية هي فرع من الهندسة الجبرية يهتم بحساب عدد الحلول للمسائل الهندسية، وذلك بشكل رئيسي عن طريق نظرية التقاطع .

في حين أن علماء الرياضيات فقدوا اهتمامهم بهذا المجال، الذي كان شائعًا لدى الإغريق القدماء وما بعدهم، في منتصف القرن العشرين، فقد شهد هذا المجال انتعاشًا حديثًا مع اكتشاف طرق لتطبيق نظرية التماثل التحفيزي على هذه المسائل. ^{[ 1 ]}

تُعدّ مسألة أبولونيوس مثالًا مبكرًا على مسائل الهندسة التعدادية، التي كانت شائعة لدى الإغريق القدماء. ^{[ 1 ]} تطلب هذه المسألة إيجاد عدد الدوائر التي تُمسّ ثلاث دوائر أو نقاط أو خطوط مُعطاة، وكيفية إنشائها. ^{[ 1 ]} عمومًا، للمسألة ثمانية حلول لثلاث دوائر مُعطاة، ^{[ 1 ]} ويمكن تمثيلها بـ 2 ^{^3} ، حيث يفرض كل شرط تماس شرطًا تربيعيًا على فضاء الدوائر. مع ذلك، بالنسبة لترتيبات خاصة للدوائر المُعطاة، قد يكون عدد الحلول أي عدد صحيح من صفر (لا حلول) إلى ستة؛ ولا يوجد ترتيب له سبعة حلول لمسألة أبولونيوس.

أصبحت الهندسة العددية أكثر تعقيدًا بمرور الوقت، وأصبحت الأسئلة أكثر تعقيدًا: على سبيل المثال، عدد الخطوط على سطح مكعب، أو عدد المنحنيات التربيعية على سطح خماسي. ^{[ 1 ]}

بحلول عام 1900 تقريبًا، تمكن علماء الرياضيات من حل أي مسألة هندسية عددية على الأعداد المركبة، لكن هذه الطرق لم تكن قابلة للتطبيق على أي أنظمة عددية أخرى. ^{[ 1 ]} في ذلك الوقت، اعتقد البعض أن دراسة مسائل الهندسة العددية على أنظمة عددية أخرى، مثل الأعداد الصحيحة، ستكشف عن خصائص أساسية لهذه الأنظمة العددية وتؤدي إلى مجالات جديدة في الرياضيات. ^{[ 1 ]} وقد أدرج هيلبرت، أحد هؤلاء العلماء، مسألة هندسية عددية ضمن مسائل هيلبرت . ^{[ 1 ]}

بحلول منتصف القرن العشرين، تراجعت شعبية هذا المجال بشكل ملحوظ، حيث بدأ علماء الرياضيات بالتركيز على مواضيع أكثر تجريدًا. ^{[ 1 ]} وشهدت التسعينيات انتعاشًا وجيزًا للاهتمام به. ^{[ 1 ]}

اكتشف علماء الرياضيات مؤخرًا كيفية تطبيق نظرية التماثل التحفيزي على مسائل الهندسة العددية. ^{[ 1 ]} يسمح هذا بإنشاء صيغة تربيعية من كل مسألة، والتي يمكن استخدامها لاستخلاص معلومات حول الحلول في أي نظام عددي. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، في الأعداد المركبة، يساوي عدد الحلول عدد الحدود، وفي الأعداد الحقيقية، تُعطي الإشارة (عدد الحدود الموجبة - عدد الحدود السالبة) حدًا أدنى لعدد الحلول؛ أما في الأنظمة العددية الأخرى، فيصبح الأمر أكثر تعقيدًا، ويُعد استخلاص المعلومات من هذه الصيغ التربيعية مجالًا نشطًا للدراسة. ^{[ 1 ]}

تتضمن مجموعة من الأدوات، بدءًا من الأدوات الأساسية وصولًا إلى الأدوات الأكثر تقدمًا، ما يلي:

• عد الأبعاد
• نظرية بيزو
• حساب شوبيرت ، وبشكل أعم الفئات المميزة في علم التماثل.
• إن العلاقة بين عدّ التقاطعات وعلم التماثل هي ثنائية بوانكاريه
• دراسة فضاءات المعاملات للمنحنيات والخرائط والأشكال الهندسية الأخرى، أحيانًا عبر نظرية التماثل الكمي . وقد أسهمت دراسة التماثل الكمي ، وثوابت غروموف-ويتن ، والتناظر المرآوي في إحراز تقدم كبير في حدسية كليمنس .

ترتبط الهندسة العددية ارتباطًا وثيقًا بنظرية التقاطع . ^{[ 2 ]}

وفي الآونة الأخيرة، تم تضمين نظرية التماثل التحفيزي . ^{[ 1 ]}

شهدت الهندسة التعدادية تطورًا مذهلاً في أواخر القرن التاسع عشر على يد هيرمان شوبرت . ^{[ 3 ]} وقد أدخلها لأغراض حساب شوبرت ، الذي أثبت قيمته الهندسية والطوبولوجية الأساسية في مجالات أوسع. لم تُلبَّ الاحتياجات الخاصة للهندسة التعدادية إلا بعد إيلاء المزيد من الاهتمام لها في ستينيات وسبعينيات القرن العشرين (كما أشار ستيفن كلايمان على سبيل المثال ). وقد عُرِّفت أعداد التقاطع تعريفًا دقيقًا (من قِبَل أندريه ويل كجزء من برنامجه التأسيسي 1942-1946 ، [ ^{4 ] ثم} لاحقًا)، لكن هذا لم يُغطِّ النطاق الكامل للمسائل التعدادية.

يؤدي التطبيق الساذج لعدّ الأبعاد ونظرية بيزو إلى نتائج غير صحيحة، كما يوضح المثال التالي. واستجابةً لهذه المشاكل، قدّم علماء الهندسة الجبرية " عوامل تصحيح " غامضة، لم يتم تبريرها بدقة إلا بعد عقود.

كمثال، احسب القطوع المخروطية المماسية لخمسة خطوط معطاة في المستوى الإسقاطي . ^{[ 5 ]} تُشكل القطوع المخروطية فضاءً إسقاطيًا ذا بُعد 5، باعتبار معاملاتها الستة إحداثيات متجانسة ، وتُحدد خمس نقاط قطعًا مخروطيًا ، إذا كانت هذه النقاط في وضع خطي عام ، حيث أن المرور بنقطة معينة يفرض شرطًا خطيًا. وبالمثل، فإن التماس مع خط معين L (التماس هو تقاطع بتكرار اثنين) هو شرط تربيعي واحد، وبالتالي يُحدد سطحًا تربيعيًا في P ^5. ومع ذلك، فإن النظام الخطي للقواسم الذي يتكون من جميع هذه الأسطح التربيعية ليس بدون موضع أساسي . في الواقع، يحتوي كل سطح تربيعي من هذا القبيل على سطح فيرونيز ، الذي يُحدد القطوع المخروطية.

( aX + bY + cZ ) ^² = 0

تُسمى هذه الخطوط "الخطوط المزدوجة". وذلك لأن الخط المزدوج يتقاطع مع كل خط في المستوى، حيث تتقاطع الخطوط في المستوى الإسقاطي، بتكرار اثنين لأنه مضاعف، وبالتالي يحقق نفس شرط التقاطع (تقاطع بتكرار اثنين) مثل القطع المخروطي غير المنحط المماس للخط .

تنص نظرية بيزو العامة على أن خمسة أسطح تربيعية عامة في الفضاء الخماسي تتقاطع في 32 = 25 ^نقطة . لكن الأسطح التربيعية المعنية هنا ليست في وضع عام . من 32، يجب طرح 31 ونسبتها إلى فيرونيز، للحصول على الإجابة الصحيحة (من وجهة نظر الهندسة)، وهي 1. تُعد عملية إسناد التقاطعات إلى الحالات "المُنحلة" هذه إدخالًا هندسيًا نموذجيًا لـ " عامل تصحيح ".

كانت المشكلة الخامسة عشرة لهيلبرت هي التغلب على الطبيعة التعسفية الظاهرة لهذه التدخلات؛ ويتجاوز هذا الجانب السؤال الأساسي لحساب شوبرت نفسه.

في عام 1984، درس هـ. كليمنس حساب عدد المنحنيات النسبية على سطح ثلاثي من الدرجة الخامسة${\displaystyle X\subset P^{4}}$وتوصل إلى التخمين التالي.

يترك${\displaystyle X\subset P^{4}}$ليكن ثلاثيًا خماسيًا عامًا،${\displaystyle d}$إذا كان عددًا صحيحًا موجبًا، فإن عدد المنحنيات النسبية ذات الدرجة يكون محدودًا.${\displaystyle d}$على${\displaystyle X}$.

تم حل هذه الفرضية في القضية${\displaystyle d\leq 9}$لكنها لا تزال مفتوحة أمام مستويات أعلى${\displaystyle d}$.

في عام 1991، نُشرت الورقة البحثية ^{[ 6 ]} حول التناظر المرآوي على الفضاء الثلاثي الخماسي في${\displaystyle P^{4}}$من وجهة نظر نظرية الأوتار، يعطي عدد المنحنيات العقلانية من الدرجة d على${\displaystyle X}$للجميع${\displaystyle d>0}$قبل ذلك، لم يكن بإمكان علماء الهندسة الجبرية حساب هذه الأرقام إلا لـ${\displaystyle d\leq 5}$.

تتضمن بعض الأمثلة المهمة تاريخياً لعمليات التعداد في الهندسة الجبرية ما يلي:

• 2- عدد الخطوط التي تلتقي بأربعة خطوط عامة في الفضاء
• 8 عدد الدوائر المماسية لـ 3 دوائر عامة (مسألة أبولونيوس ).
• 27 عدد الخطوط على سطح مكعب أملس ( سالمن وكايلي )
• 2875 عدد الخطوط على شكل ثلاثي عام من الدرجة الخامسة
• 3264 عدد القطوع المخروطية المماسية للقطوع المخروطية المستوية الخمسة في الوضع العام ( Chalses )
• 609250 عدد القطوع المخروطية على منحنى خماسي عام ثلاثي الأبعاد
• 4407296 عدد القطوع المخروطية المماسية لـ 8 أسطح تربيعية عامة فولتون (1984 ، ص 193)
• 666841088 عدد الأسطح التربيعية المماسية لـ 9 أسطح تربيعية معطاة في وضع عام في الفضاء ثلاثي الأبعاد ( شوبرت 1879 ، ص 106) ( فولتون 1984 ، ص 193)
• 5819539783680 عدد المنحنيات المكعبة الملتوية المماسية لـ 12 سطحًا تربيعيًا معطى في وضع عام في الفضاء ثلاثي الأبعاد ( شوبرت 1879 ، ص 184) (S. Kleiman، SA Strømme & S. Xambó 1987 ) 

• باشيلور، أندرو؛ كسير، إيمي؛ ترافيس، ويل (2008). "الهندسة الجبرية العددية للقطوع المخروطية" . المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية . 115 (8): 701-707 . doi : 10.1080/00029890.2008.11920584 . JSTOR 27642583. مؤرشف من الأصل في 1 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2015 .