التناظر المرآوي (نظرية الأوتار)

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية والفيزياء النظرية ، يُعرف التناظر المرآوي بأنه علاقة بين أشكال هندسية تُسمى متعددات كالابي-ياو . ويشير هذا المصطلح إلى حالة تبدو فيها متعددتا كالابي-ياو مختلفتين هندسيًا بشكل كبير، ولكنهما مع ذلك متكافئتان عند استخدامهما كأبعاد إضافية في نظرية الأوتار .

اكتشف الفيزيائيون حالات مبكرة من التناظر المرآوي. وازداد اهتمام علماء الرياضيات بهذه العلاقة حوالي عام ١٩٩٠ عندما بيّن فيليب كانديلاس ، وزينيا دي لا أوسا ، وبول غرين، وليندا باركس، إمكانية استخدامها كأداة في الهندسة العددية ، وهو فرع من الرياضيات يهتم بحساب عدد حلول المسائل الهندسية. وأظهر كانديلاس وزملاؤه أن التناظر المرآوي يُمكن استخدامه لحساب المنحنيات النسبية على مشعب كالابي-ياو، وبالتالي حل مشكلة عويصة. ورغم أن المنهج الأصلي للتناظر المرآوي كان قائمًا على أفكار فيزيائية لم تكن مفهومة بدقة رياضية، فقد تم إثبات بعض تنبؤاته الرياضية بدقة منذ ذلك الحين .

يُعدّ التناظر المرآوي اليوم موضوعًا بحثيًا رئيسيًا في الرياضيات البحتة ، ويعمل علماء الرياضيات على تطوير فهم رياضي لهذه العلاقة استنادًا إلى حدس الفيزيائيين. كما يُعدّ التناظر المرآوي أداةً أساسيةً لإجراء الحسابات في نظرية الأوتار، وقد استُخدم لفهم جوانب من نظرية الحقل الكمومي ، وهي الصيغة التي يستخدمها الفيزيائيون لوصف الجسيمات الأولية . تشمل المناهج الرئيسية لدراسة التناظر المرآوي برنامج التناظر المرآوي الهومولوجي لماكسيم كونتسيفيتش ، وتخمين SYZ لأندرو سترومينجر وشينغ تونغ ياو وإريك زاسلو ، ونظيره الجبري - برنامج غروس-سيبرت لمارك غروس وبيرند سيبرت .

ملخص

السلاسل والضغط

قطعة مفتوحة متموجة وحلقة مغلقة من الخيط.
الأشياء الأساسية في نظرية الأوتار هي الأوتار المفتوحة والمغلقة .

في الفيزياء، تُعدّ نظرية الأوتار إطارًا نظريًا يُستبدل فيه الجسيمات النقطية في فيزياء الجسيمات بأجسام أحادية البعد تُسمى الأوتار . تبدو هذه الأوتار كأجزاء صغيرة أو حلقات من خيط عادي. تصف نظرية الأوتار كيفية انتشار الأوتار في الفضاء وتفاعلها مع بعضها البعض. على مسافات أكبر من مقياس الوتر، يبدو الوتر تمامًا كجسيم عادي، حيث تُحدد حالته الاهتزازية كتلته وشحنته وخصائصه الأخرى. يتوافق انقسام الأوتار وإعادة تركيبها مع انبعاث الجسيمات وامتصاصها ، مما يُؤدي إلى التفاعلات بين الجسيمات. [ 1 ]

توجد اختلافات ملحوظة بين العالم الذي تصفه نظرية الأوتار والعالم الذي نعيش فيه. ففي حياتنا اليومية، لدينا ثلاثة أبعاد مألوفة للمكان (أعلى/أسفل، يمين/يسار، وأمام/خلف)، وبُعد واحد للزمن (لاحقًا/سابقًا). لذا، في لغة الفيزياء الحديثة، يُقال إن الزمكان رباعي الأبعاد. [ 2 ] ومن السمات المميزة لنظرية الأوتار أنها تتطلب أبعادًا إضافية للزمكان من أجل اتساقها الرياضي. في نظرية الأوتار الفائقة ، وهي النسخة من النظرية التي تتضمن فكرة نظرية تُسمى التناظر الفائق ، توجد ستة أبعاد إضافية للزمكان بالإضافة إلى الأبعاد الأربعة المألوفة من تجاربنا اليومية. [ 3 ]

يتمثل أحد أهداف الأبحاث الحالية في نظرية الأوتار في تطوير نماذج تمثل فيها الأوتار الجسيمات المرصودة في تجارب فيزياء الطاقة العالية. ولكي يتوافق هذا النموذج مع الملاحظات، يجب أن يكون الزمكان رباعي الأبعاد عند مقاييس المسافة ذات الصلة، لذا يجب البحث عن طرق لتقييد الأبعاد الإضافية إلى مقاييس أصغر. في معظم النماذج الفيزيائية الواقعية القائمة على نظرية الأوتار، يتحقق ذلك من خلال عملية تُسمى التكثيف ، حيث يُفترض أن الأبعاد الإضافية "تنغلق" على نفسها لتشكيل دوائر. [ 4 ] في حالة صغر هذه الأبعاد الملتفة، نحصل على نظرية يكون فيها للزمكان عدد أقل من الأبعاد. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك، تخيّل جسمًا متعدد الأبعاد مثل خرطوم الحديقة. إذا نُظر إلى الخرطوم من مسافة كافية، يبدو أنه ذو بُعد واحد فقط، وهو طوله. ولكن عند الاقتراب منه، نكتشف أنه يحتوي على بُعد ثانٍ، وهو محيطه. وبالتالي، فإن نملة تزحف على سطح الخرطوم ستتحرك في بُعدين. [ 5 ]

مشعبات كالابي-ياو

تصوير سطح رياضي معقد يحتوي على العديد من الالتفافات والتقاطعات الذاتية.
مقطع عرضي لمتشعب كالابي-ياو من الدرجة الخامسة

يمكن استخدام التكثيف لبناء نماذج يكون فيها الزمكان رباعي الأبعاد فعليًا. مع ذلك، لا تُنتج كل طريقة لتكثيف الأبعاد الإضافية نموذجًا بالخصائص المناسبة لوصف الطبيعة. في نموذج قابل للتطبيق لفيزياء الجسيمات، يجب أن تتخذ الأبعاد الإضافية المضغوطة شكلًا يشبه متعدد شعب كالابي-ياو . [ 4 ] متعدد شعب كالابي-ياو هو فضاء خاص يُفترض عادةً أنه سداسي الأبعاد في تطبيقات نظرية الأوتار. سُمي نسبةً إلى عالمي الرياضيات يوجينيو كالابي وشينغ -تونغ ياو . [ 6 ]

بعد أن دخلت متشعبات كالابي-ياو إلى الفيزياء كوسيلة لضغط الأبعاد الإضافية، بدأ العديد من الفيزيائيين بدراسة هذه المتشعبات. في أواخر ثمانينيات القرن العشرين، لاحظ كل من لانس ديكسون ، وولفغانغ ليرش، وكومرون فافا ، ونيك وارنر أنه في ظل هذا الضغط لنظرية الأوتار، لا يمكن إعادة بناء متشعب كالابي-ياو المقابل بشكل فريد. [ 7 ] بدلاً من ذلك، يمكن ضغط نسختين مختلفتين من نظرية الأوتار، تُسميان نظرية الأوتار من النوع IIA ونظرية الأوتار من النوع IIB ، على متشعبات كالابي-ياو مختلفة تمامًا، مما يؤدي إلى ظهور نفس الفيزياء. [ أ ] في هذه الحالة، تُسمى المتشعبات متشعبات المرآة، وتُسمى العلاقة بين النظريتين الفيزيائيتين تناظر المرآة. [ 9 ]

تُعدّ علاقة التناظر المرآوي مثالًا خاصًا لما يُطلق عليه الفيزيائيون اسم الازدواجية الفيزيائية . وبشكل عام، يُشير مصطلح الازدواجية الفيزيائية إلى حالةٍ تتكافئ فيها نظريتان فيزيائيتان تبدوان مختلفتين، بطريقةٍ غير بديهية. فإذا أمكن تحويل إحدى النظريتين لتُصبح مُطابقةً تمامًا لنظريةٍ أخرى، يُقال إن النظريتين مُزدوجتان في ظل هذا التحويل. بعبارةٍ أخرى، تُمثل النظريتان وصفين رياضيين مُختلفين لنفس الظاهرة. [ 10 ] وتلعب هذه الازدواجيات دورًا هامًا في الفيزياء الحديثة، ولا سيما في نظرية الأوتار. [ ب ]

بغض النظر عما إذا كانت تكثيفات كالابي-ياو لنظرية الأوتار تُقدّم وصفًا صحيحًا للطبيعة، فإن وجود ازدواجية المرآة بين نظريات الأوتار المختلفة له تبعات رياضية هامة. [ 11 ] تُعدّ مشعبات كالابي-ياو المستخدمة في نظرية الأوتار ذات أهمية في الرياضيات البحتة ، وتُمكّن تماثل المرآة علماء الرياضيات من حلّ مسائل في الهندسة الجبرية التعدادية ، وهو فرع من الرياضيات يهتم بحساب عدد حلول المسائل الهندسية. تتمثل إحدى المسائل الكلاسيكية في الهندسة التعدادية في تعداد المنحنيات النسبية على مشعب كالابي-ياو، كما هو موضح أعلاه. بتطبيق تماثل المرآة، حوّل علماء الرياضيات هذه المسألة إلى مسألة مكافئة لمشعب كالابي-ياو المرآوي، والتي تبيّن أنها أسهل في الحل. [ 12 ]

في الفيزياء، يُبرَّر التناظر المرآوي استنادًا إلى أسس فيزيائية. [ 13 ] مع ذلك، يشترط علماء الرياضيات عمومًا براهين دقيقة لا تعتمد على الحدس الفيزيائي. من وجهة نظر رياضية، لا يزال التناظر المرآوي الموصوف أعلاه مجرد تخمين، ولكن ثمة نسخة أخرى منه في سياق نظرية الأوتار الطوبولوجية ، وهي نسخة مبسطة من نظرية الأوتار قدمها إدوارد ويتن ، [ 14 ] وقد أثبتها علماء الرياضيات بدقة. [ 15 ] في سياق نظرية الأوتار الطوبولوجية، ينص التناظر المرآوي على أن نظريتين تُسميان النموذج A والنموذج B متكافئتان بمعنى وجود ازدواجية تربط بينهما. [ 16 ] يُعد التناظر المرآوي اليوم مجالًا بحثيًا نشطًا في الرياضيات، ويعمل علماء الرياضيات على تطوير فهم رياضي أكثر شمولًا له استنادًا إلى حدس الفيزيائيين. [ 17 ]

تاريخ

يمكن تتبع فكرة التناظر المرآوي إلى منتصف ثمانينيات القرن العشرين عندما لوحظ أن وترًا ينتشر على دائرة نصف قطرهاR{\displaystyle R}وهو مكافئ فيزيائيًا لوتر ينتشر على دائرة نصف قطرها1/R{\displaystyle 1/R} in appropriate units.[18] This phenomenon is now known as T-duality and is understood to be closely related to mirror symmetry.[19] In a paper from 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger, and Edward Witten showed that by compactifying string theory on a Calabi–Yau manifold, one obtains a theory roughly similar to the Standard Model of particle physics that also consistently incorporates an idea called supersymmetry.[20] Following this development, many physicists began studying Calabi–Yau compactifications, hoping to construct realistic models of particle physics based on string theory. Cumrun Vafa and others noticed that given such a physical model, it is not possible to reconstruct uniquely a corresponding Calabi–Yau manifold. Instead, there are two Calabi–Yau manifolds that give rise to the same physics.[21]

By studying the relationship between Calabi–Yau manifolds and certain conformal field theories called Gepner models, Brian Greene and Ronen Plesser found nontrivial examples of the mirror relationship.[22] Further evidence for this relationship came from the work of Philip Candelas, Monika Lynker, and Rolf Schimmrigk, who surveyed a large number of Calabi–Yau manifolds by computer and found that they came in mirror pairs.[23]

بدأ اهتمام علماء الرياضيات بالتناظر المرآوي حوالي عام 1990، عندما أثبت الفيزيائيون فيليب كانديلاس، وزينيا دي لا أوسا، وبول غرين، وليندا باركس، إمكانية استخدام التناظر المرآوي لحل مسائل في الهندسة العددية [ 24 ] ظلت عصية على الحل لعقود أو أكثر. [ 25 ] عُرضت هذه النتائج على علماء الرياضيات في مؤتمر عُقد في معهد أبحاث العلوم الرياضية (MSRI) في بيركلي، كاليفورنيا، في مايو 1991. خلال هذا المؤتمر، لُوحظ أن أحد الأرقام التي حسبها كانديلاس لحساب المنحنيات الكسرية يختلف عن الرقم الذي حصل عليه عالما الرياضيات النرويجيان جير إلينجزرود وستين أرلد ستروم باستخدام تقنيات بدت أكثر دقة. [ 26 ] افترض العديد من علماء الرياضيات في المؤتمر أن عمل كانديلاس يحتوي على خطأ، لأنه لم يستند إلى حجج رياضية دقيقة. ومع ذلك، بعد فحص حلهم، اكتشف إلينجزرود وستروم خطأً في كود الكمبيوتر الخاص بهم، وبعد إصلاح الكود، حصلوا على إجابة تتفق مع تلك التي حصل عليها كانديلاس وزملاؤه. [ 27 ]

في عام 1990، قدّم إدوارد ويتن نظرية الأوتار الطوبولوجية، [ 14 ] وهي نسخة مبسطة من نظرية الأوتار، وأثبت الفيزيائيون وجود شكل من أشكال التناظر المرآوي لهذه النظرية. [ 28 ] يُعتبر هذا التعريف للتناظر المرآوي في الأدبيات الرياضية بمثابة تعريف لنظرية الأوتار الطوبولوجية. [ 29 ] وفي كلمة ألقاها في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1994، قدّم عالم الرياضيات مكسيم كونتسيفيتش تخمينًا رياضيًا جديدًا قائمًا على الفكرة الفيزيائية للتناظر المرآوي في نظرية الأوتار الطوبولوجية. يُعرف هذا التخمين بالتناظر المرآوي الهومولوجي ، وهو يُضفي طابعًا رسميًا على التناظر المرآوي باعتباره تكافؤًا بين بنيتين رياضيتين: الفئة المشتقة للحزم المتماسكة على مشعب كالابي-ياو، وفئة فوكايا لمرآته. [ 30 ]

في حوالي عام 1995، حلل كونتسيفيتش نتائج كانديلاس، التي قدمت صيغة عامة لمسألة عدّ المنحنيات النسبية على فضاء ثلاثي الأبعاد من الدرجة الخامسة ، وأعاد صياغة هذه النتائج كفرضية رياضية دقيقة. [ 31 ] في عام 1996، نشر ألكسندر جيفنتال ورقة بحثية زعم فيها إثبات فرضية كونتسيفيتش هذه. [ 32 ] في البداية، وجد العديد من علماء الرياضيات صعوبة في فهم هذه الورقة، مما أثار شكوكًا حول صحتها. لاحقًا، نشر كل من بونغ ليان، وكيفنغ ليو ، وشينغ-تونغ ياو برهانًا مستقلًا في سلسلة من الأوراق البحثية. [ 33 ] على الرغم من الجدل الدائر حول من نشر البرهان الأول، تُعتبر هذه الأوراق الآن مجتمعةً بمثابة برهان رياضي للنتائج التي توصل إليها الفيزيائيون باستخدام تناظر المرآة. [ 34 ] في عام 2000، قدم كينتارو هوري وكومرون فافا برهانًا فيزيائيًا آخر لتناظر المرآة استنادًا إلى ازدواجية T. [ 13 ]

لا يزال العمل على تناظر المرآة مستمرًا حتى اليوم، مع تطورات كبيرة في سياق الأوتار على الأسطح ذات الحدود. [ 17 ] إضافةً إلى ذلك، يرتبط تناظر المرآة بالعديد من المجالات البحثية النشطة في الرياضيات، مثل تناظر مكاي ، ونظرية الحقل الكمومي الطوبولوجي ، ونظرية شروط الاستقرار . [ 35 ] في الوقت نفسه، لا تزال هناك أسئلة أساسية عالقة. على سبيل المثال، لا يزال علماء الرياضيات يفتقرون إلى فهم كيفية بناء أمثلة لأزواج كالابي-ياو المتناظرة، على الرغم من إحراز تقدم في فهم هذه المسألة. [ 36 ]

التطبيقات

الهندسة العددية

ثلاث دوائر سوداء في المستوى وثماني دوائر إضافية متداخلة مماسة لهذه الدوائر الثلاث.
دوائر أبولونيوس : ثماني دوائر ملونة تمس الدوائر السوداء الثلاث.

تُصنَّف العديد من التطبيقات الرياضية الهامة للتناظر المرآوي ضمن فرع من الرياضيات يُسمى الهندسة العددية. في الهندسة العددية، يُعنى الباحث بحساب عدد حلول المسائل الهندسية، وذلك عادةً باستخدام تقنيات الهندسة الجبرية . إحدى أقدم مسائل الهندسة العددية طُرحت حوالي عام 200 قبل الميلاد على يد عالم الرياضيات اليوناني القديم أبولونيوس ، الذي تساءل عن عدد الدوائر في المستوى التي تُماس ثلاث دوائر مُعطاة. وبشكل عام، فإن حل مسألة أبولونيوس هو وجود ثماني دوائر من هذا النوع. [ 37 ]

سطح رياضي معقد في ثلاثة أبعاد.
مكعب كليبش

غالبًا ما تتناول المسائل العددية في الرياضيات فئة من الأشكال الهندسية تُسمى الأصناف الجبرية ، والتي تُعرَّف بانعدام كثيرات الحدود . على سبيل المثال، يُعرَّف مكعب كليبش (انظر الرسم التوضيحي) باستخدام كثيرة حدود معينة من الدرجة الثالثة في أربعة متغيرات. وتنص إحدى النتائج الشهيرة لعالمي الرياضيات آرثر كايلي وجورج سالمون في القرن التاسع عشر على وجود 27 خطًا مستقيمًا بالضبط تقع بالكامل على هذا السطح. [ 38 ]

بتعميم هذه المسألة، يمكن التساؤل عن عدد الخطوط التي يمكن رسمها على مشعب كالابي-ياو من الدرجة الخامسة، كما هو موضح أعلاه، والذي يُعرَّف بكثير حدود من الدرجة الخامسة. وقد حلّ هذه المسألة عالم الرياضيات الألماني هيرمان شوبرت في القرن التاسع عشر ، حيث وجد أن هناك 2875 خطًا من هذا النوع. وفي عام 1986، أثبت عالم الهندسة شيلدون كاتز أن عدد المنحنيات، كالدوائر مثلاً، التي تُعرَّف بكثيرات حدود من الدرجة الثانية وتقع بالكامل على مشعب كالابي-ياو من الدرجة الخامسة هو 609250. [ 37 ]

بحلول عام ١٩٩١، كانت معظم المسائل الكلاسيكية في الهندسة التعدادية قد حُلت، وبدأ الاهتمام بها يتضاءل. ووفقًا لعالم الرياضيات مارك غروس ، "بعد حل المسائل القديمة، عاد الباحثون للتحقق من أعداد شوبرت باستخدام التقنيات الحديثة، لكن هذه الطريقة أصبحت مملة للغاية." [ ٣٩ ] انتعش هذا المجال في مايو ١٩٩١ عندما أثبت الفيزيائيون فيليب كانديلاس، وزينيا دي لا أوسا، وبول غرين، وليندا باركس، إمكانية استخدام التناظر المرآوي لحساب عدد المنحنيات من الدرجة الثالثة على فضاء كالابي-ياو خماسي الأبعاد. ووجد كانديلاس وزملاؤه أن هذه الفضاءات السداسية الأبعاد من نوع كالابي-ياو يمكن أن تحتوي على ٣١٧,٢٠٦,٣٧٥ منحنى من الدرجة الثالثة. [ ٣٩ ]

إضافةً إلى عدّ المنحنيات من الدرجة الثالثة على فضاء ثلاثي الأبعاد من الدرجة الخامسة، حصل كانديلاس وزملاؤه على عدد من النتائج الأكثر عمومية لعدّ المنحنيات النسبية، والتي تجاوزت بكثير النتائج التي توصل إليها علماء الرياضيات. [ 40 ] على الرغم من أن الأساليب المستخدمة في هذا العمل كانت مبنية على الحدس الفيزيائي، فقد واصل علماء الرياضيات إثبات بعض تنبؤات التناظر المرآوي بدقة . وعلى وجه الخصوص، تم الآن إثبات التنبؤات العددية للتناظر المرآوي بدقة. [ 34 ]

الفيزياء النظرية

إضافةً إلى تطبيقاتها في الهندسة العددية، تُعدّ تناظر المرآة أداةً أساسيةً لإجراء الحسابات في نظرية الأوتار. في النموذج A لنظرية الأوتار الطوبولوجية، تُعبّر الكميات ذات الأهمية الفيزيائية بدلالة عدد لا نهائي من الأعداد يُسمى ثوابت غروموف-ويتن ، والتي يصعب حسابها للغاية. أما في النموذج B، فيمكن اختزال الحسابات إلى تكاملات كلاسيكية ، ما يجعلها أسهل بكثير. [ 41 ] بتطبيق تناظر المرآة، يستطيع علماء الفيزياء النظرية تحويل الحسابات المعقدة في النموذج A إلى حسابات مكافئة، ولكنها أسهل تقنيًا، في النموذج B. تُستخدم هذه الحسابات بعد ذلك لتحديد احتمالات العمليات الفيزيائية المختلفة في نظرية الأوتار. يمكن دمج تناظر المرآة مع ثنائيات أخرى لتحويل الحسابات في نظرية ما إلى حسابات مكافئة في نظرية أخرى. من خلال إسناد الحسابات إلى نظريات مختلفة بهذه الطريقة، يستطيع علماء الفيزياء النظرية حساب كميات يستحيل حسابها دون استخدام الثنائيات. [ 42 ]

خارج نطاق نظرية الأوتار، يُستخدم التناظر المرآوي لفهم جوانب من نظرية الحقل الكمومي ، وهي الصيغة التي يستخدمها الفيزيائيون لوصف الجسيمات الأولية . على سبيل المثال، تُعد نظريات القياس فئة من النظريات الفيزيائية عالية التناظر التي تظهر في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات وأجزاء أخرى من الفيزياء النظرية. تنشأ بعض نظريات القياس، التي لا تُعد جزءًا من النموذج القياسي، ولكنها مع ذلك مهمة لأسباب نظرية، من أوتار تنتشر على خلفية شبه منفردة. بالنسبة لهذه النظريات، يُعد التناظر المرآوي أداة حسابية مفيدة. [ 43 ] في الواقع، يمكن استخدام التناظر المرآوي لإجراء حسابات في نظرية قياس مهمة في أربعة أبعاد مكانية-زمانية، والتي درسها ناثان سيبرغ وإدوارد ويتن، وهي معروفة أيضًا في الرياضيات في سياق ثوابت دونالدسون . [ 44 ] يوجد أيضًا تعميم للتناظر المرآوي يُسمى التناظر المرآوي ثلاثي الأبعاد ، والذي يربط أزواجًا من نظريات الحقل الكمومي في ثلاثة أبعاد مكانية-زمانية. [ 45 ]

الأساليب

التناظر المرآوي المتماثل

سطحان متصلان بقطع مستقيمة متموجة.
أوتار مفتوحة متصلة بزوج من أغشية D

في نظرية الأوتار والنظريات الفيزيائية ذات الصلة، يُعدّ الغشاء جسمًا فيزيائيًا يُعمّم مفهوم الجسيم النقطي إلى أبعاد أعلى. فعلى سبيل المثال، يمكن اعتبار الجسيم النقطي غشاءً ذا بُعد صفري، بينما يمكن اعتبار الوتر غشاءً ذا بُعد واحد. ومن الممكن أيضًا دراسة الأغشية ذات الأبعاد الأعلى. كلمة "غشاء" مشتقة من كلمة "membrane" التي تشير إلى غشاء ثنائي الأبعاد. [ 46 ]

في نظرية الأوتار، قد يكون الوتر مفتوحًا (مكونًا قطعة مستقيمة بنقطتي نهاية) أو مغلقًا (مكونًا حلقة مغلقة). تُعدّ أغشية دي فئة مهمة من الأغشية التي تظهر عند دراسة الأوتار المفتوحة. عندما ينتشر وتر مفتوح عبر الزمكان، يجب أن تقع نقطتا نهايته على غشاء دي. يشير الحرف "D" في غشاء دي إلى شرط يحققه، وهو شرط حدود ديريشليه . [ 47 ]

رياضيًا، يمكن وصف الأغشية باستخدام مفهوم الفئة . [ 48 ] وهي بنية رياضية تتكون من كائنات ، ولكل زوج من الكائنات، مجموعة من التشاكلات بينهما. في معظم الأمثلة، تكون الكائنات بنى رياضية (مثل المجموعات ، أو الفضاءات المتجهة ، أو الفضاءات الطوبولوجية )، والتشاكلات دوال بين هذه البنى. [ 49 ] يمكن أيضًا النظر في فئات تكون فيها الكائنات أغشية-D، والتشاكلات بين غشائينα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }هي حالات الأوتار المفتوحة الممتدة بينα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }[ 50 ]​

في النموذج B لنظرية الأوتار الطوبولوجية، تُعدّ الأغشية D فضاءات فرعية معقدة من فضاء كالابي-ياو، بالإضافة إلى بيانات إضافية تنشأ فيزيائيًا من وجود شحنات عند نهايات الأوتار. [ 50 ] يمكن تصور الفضاء الفرعي، بشكل بديهي، كسطح مُضمّن داخل فضاء كالابي-ياو، مع العلم أن الفضاءات الفرعية قد توجد أيضًا في أبعاد مختلفة عن البعدين. [ 25 ] في اللغة الرياضية، تُعرف الفئة التي تضم هذه الأغشية كعناصر لها بالفئة المشتقة للحزم المتماسكة على فضاء كالابي-ياو. [ 51 ] في النموذج A، يمكن النظر إلى الأغشية D مرة أخرى كفضاءات فرعية من فضاء كالابي-ياو. وبشكل عام، هي ما يُطلق عليه علماء الرياضيات اسم الفضاءات الفرعية اللاغرانجية الخاصة . [ 51 ] وهذا يعني، من بين أمور أخرى، أن لها نصف بُعد الفضاء الذي تقع فيه، وأنها تُقلّل الطول أو المساحة أو الحجم. [ 52 ] تُسمى الفئة التي تحتوي على هذه الأغشية كعناصر لها فئة فوكايا. [ 51 ]

تُبنى فئة الحزم المتماسكة المشتقة باستخدام أدوات من الهندسة المركبة ، وهي فرع من الرياضيات يصف المنحنيات الهندسية بمصطلحات جبرية ويحل المسائل الهندسية باستخدام المعادلات الجبرية . [ 53 ] من ناحية أخرى، تُبنى فئة فوكايا باستخدام الهندسة التبادلية ، وهي فرع من الرياضيات نشأ من دراسات الفيزياء الكلاسيكية . تدرس الهندسة التبادلية الفضاءات المزودة بصيغة تبادلية ، وهي أداة رياضية يمكن استخدامها لحساب المساحة في أمثلة ثنائية الأبعاد. [ 16 ]

تنص فرضية التناظر المرآوي الهومولوجي لماكسيم كونتسيفيتش على أن الفئة المشتقة للحزم المتماسكة على مشعب كالابي-ياو واحد تُكافئ، بمعنى ما، فئة فوكايا لمرآته. [ 54 ] يوفر هذا التكافؤ صياغة رياضية دقيقة للتناظر المرآوي في نظرية الأوتار الطوبولوجية. إضافةً إلى ذلك، فإنه يُشكل جسراً غير متوقع بين فرعين من الهندسة، وهما الهندسة المركبة والهندسة التبادلية. [ 55 ]

حدسية سترومينجر – ياو – زاسلو

شكل دونات مرسوم عليه دائرتان، إحداهما تحيط بالثقب والأخرى تمر من خلاله.
يمكن اعتبار الشكل الحلقي اتحادًا لعدد لا نهائي من الدوائر، مثل الدائرة الحمراء في الصورة. توجد دائرة واحدة من هذا النوع لكل نقطة على الدائرة الوردية.

اقترح أندرو سترومينجر وشينغ تونغ ياو وإريك زاسلو في عام 1996 نهجًا آخر لفهم التناظر المرآوي. [ 19 ] وفقًا لتخمينهم، المعروف الآن باسم تخمين SYZ، يمكن فهم التناظر المرآوي عن طريق تقسيم مشعب كالابي-ياو إلى أجزاء أبسط ثم تحويلها للحصول على مشعب كالابي-ياو المرآوي. [ 56 ]

أبسط مثال على متعدد شعب كالابي-ياو هو شكل طارة أو حلقة ثنائية الأبعاد . [ 57 ] لنفترض وجود دائرة على هذا السطح تمر مرة واحدة عبر فتحة الحلقة. مثال على ذلك الدائرة الحمراء في الشكل. يوجد عدد لا نهائي من الدوائر المشابهة لها على الطارة؛ في الواقع، السطح بأكمله عبارة عن اتحاد لهذه الدوائر. [ 58 ]

يمكن للمرء اختيار دائرة مساعدةب{\displaystyle B}(الدائرة الوردية في الشكل) بحيث تمر كل دائرة من الدوائر اللانهائية التي تحلل الطارة بنقطة منب{\displaystyle B}يُقال إن هذه الدائرة المساعدة تُحدد معلمات دوائر التفكيك، مما يعني وجود تطابق بينها وبين نقاطب{\displaystyle B}الدائرةب{\displaystyle B}إلا أن الأمر يتجاوز مجرد قائمة، لأنه يحدد أيضاً كيفية ترتيب هذه الدوائر على السطح الحلقي. ويلعب هذا الفضاء المساعد دوراً هاماً في تخمين SYZ. [ 52 ]

يمكن تعميم فكرة تقسيم الطارة إلى أجزاء مُعَلمة بواسطة فضاء مساعد. بزيادة البُعد من بُعدين إلى أربعة أبعاد حقيقية، يصبح سطح كالابي-ياو سطحًا من نوع K3 . وكما تم تقسيم الطارة إلى دوائر، يمكن تقسيم سطح K3 رباعي الأبعاد إلى طارات ثنائية الأبعاد. في هذه الحالة، يكون الفضاءب{\displaystyle B}هي كرة عادية . كل نقطة على الكرة تتوافق مع واحدة من الحلقات ثنائية الأبعاد، باستثناء أربع وعشرين نقطة "سيئة" تتوافق مع الحلقات "المضغوطة" أو المفردة . [ 52 ]

تتميز متعددات كالابي-ياو، ذات الأهمية الأساسية في نظرية الأوتار، بستة أبعاد. ويمكن تقسيم هذه المتعددات إلى 3-طورات (أجسام ثلاثية الأبعاد تعمم مفهوم الطارة) يتم تحديدها بواسطة كرة ثلاثية الأبعاد .ب{\displaystyle B}(تعميم ثلاثي الأبعاد للكرة). كل نقطة منب{\displaystyle B}يتوافق مع شكل ثلاثي الأبعاد، باستثناء عدد لا نهائي من النقاط "السيئة" التي تشكل نمطًا شبكيًا من القطع على كالابي-ياو وتتوافق مع الأشكال الحلقية المفردة. [ 59 ]

بمجرد تحليل فضاء كالابي-ياو إلى أجزاء أبسط، يُمكن فهم التناظر المرآوي بطريقة هندسية بديهية. على سبيل المثال، لننظر إلى الطارة الموصوفة أعلاه. تخيل أن هذه الطارة تُمثل "الزمكان" لنظرية فيزيائية . ستكون العناصر الأساسية لهذه النظرية هي الأوتار التي تنتشر عبر الزمكان وفقًا لقواعد ميكانيكا الكم . إحدى الثنائيات الأساسية في نظرية الأوتار هي ثنائية T، التي تنص على أن الوتر الذي ينتشر حول دائرة نصف قطرهاR{\displaystyle R}وهو ما يعادل خيطًا ينتشر حول دائرة نصف قطرها1/R{\displaystyle 1/R}بمعنى أن جميع الكميات القابلة للملاحظة في وصفٍ ما تُطابق الكميات في الوصف المقابل. [ 60 ] على سبيل المثال، يمتلك الخيط زخمًا أثناء دورانه حول دائرة، ويمكنه أيضًا أن يلتف حول الدائرة مرة واحدة أو أكثر. يُسمى عدد مرات التفاف الخيط حول الدائرة برقم الالتفاف . إذا كان للخيط زخمص{\displaystyle p}ورقم اللفن{\displaystyle n}باختصار، سيكون له زخمن{\displaystyle n}ورقم اللفص{\displaystyle p}في الوصف الثنائي. [ 60 ] بتطبيق ازدواجية T في آنٍ واحد على جميع الدوائر التي تُفكك الطارة، تنعكس أنصاف أقطار هذه الدوائر، ويتبقى لدينا طارة جديدة "أكثر سُمكًا" أو "أقل سُمكًا" من الطارة الأصلية. هذه الطارة هي انعكاس لطارة كالابي-ياو الأصلية. [ 61 ]

يمكن تعميم ازدواجية T من الدوائر إلى الأسطح ثنائية الأبعاد التي تظهر في تحليل سطح K3، أو إلى الأسطح ثلاثية الأبعاد التي تظهر في تحليل مشعب كالابي-ياو سداسي الأبعاد. وبشكل عام، تنص فرضية SYZ على أن التناظر المرآوي يكافئ تطبيق ازدواجية T على هذه الأسطح في آن واحد. في كلتا الحالتين، يكون الفضاءب{\displaystyle B}[ 62 ] يقدم نوعاً من المخطط الذي يصف كيفية تجميع هذه الحلقات في مشعب كالابي-ياو.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُوصف شكل مشعب كالابي-ياو رياضيًا باستخدام مصفوفة من الأرقام تُسمى أرقام هودج . وتختلف المصفوفات المقابلة لمشعبات كالابي-ياو المتناظرة بشكل عام، مما يعكس الأشكال المختلفة للمشعبات، ولكنها مرتبطة بتناظر معين. [ 8 ]
  2. ↑ ومن بين الثنائيات الأخرى التي تظهر في نظرية الأوتار ثنائية S ، وثنائية T ، وتطابق AdS/CFT .
  1. ↑ للحصول على مقدمة سهلة الفهم لنظرية الأوتار، انظر Greene 2000 .
  2. ↑ Wald 1984 ، ص 4 . 
  3. ↑ Zwiebach 2009 ، ص 8 . 
  4. 1 2 ياو وناديس 2010 ، الفصل. 6 .
  5. ↑ تم استخدام هذا التشبيه على سبيل المثال في Greene 2000 ، ص 186 . 
  6. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. تاسعا . 
  7. ^ ديكسون 1988 ؛ ليرش، فافا ووارنر 1989 .
  8. ^ لمزيد من المعلومات، راجع Yau & Nadis 2010 ، الصفحات من 160 إلى 163.
  9. ↑ Aspinwall et al. 2009 ، ص. 13 . 
  10. ^ هوري وآخرون. 2003 ، ص. السادس عشر . 
  11. ↑ زاسلو 2008 ، ص 523 . 
  12. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 168 . 
  13. 1 2 هوري وفافا 2000 .
  14. 1 2 ويتن 1990 .
  15. ^ جيفينتال 1996 , 1998 ; ليان، ليو وياو 1997 ، 1999أ ، 1999 ب ، 2000 .  
  16. 1 2 Zaslow 2008 ، ص 531 . 
  17. 1 2 هوري وآخرون. 2003 ، ص. التاسع عشر . 
  18. ↑ وقد لوحظ هذا لأول مرة في دراسة كيكاوا وياماساكي عام 1984 ودراسة ساكاي وسيندا عام 1986 .
  19. 1 2 سترومينجر، ياو وزاسلو 1996 .
  20. ↑ كانديلاس وآخرون 1985 .
  21. ↑ وقد لوحظ هذا في ديكسون 1988 وليرش ، فافا ووارنر 1989 .
  22. ^ جرين وبليسر 1990 ؛ ياو وناديس 2010 ، ص. 158 . 
  23. ^ كانديلاس ولينكر وشيمريجك 1990 ؛ ياو وناديس 2010 ، ص. 163 . 
  24. ↑ كانديلاس وآخرون 1991 .
  25. 1 2 ياو وناديس 2010 ، ص. 165 . 
  26. ^ ياو وناديس 2010 ، ص 169-170 . 
  27. ↑ ياو وناديس 2010 ، ص 170 
  28. ↑ فافا 1992 ؛ ويتن 1992 .
  29. ^ هوري وآخرون. 2003 ، ص. الثامن عشر . 
  30. ↑ كونتسيفيتش 1995ب .
  31. ↑ كونتسيفيتش 1995أ .
  32. ↑ جيفنتال 1996 ، 1998 
  33. ^ ليان، ليو وياو 1997 ، 1999 أ ، 1999 ب ، 2000 . 
  34. 1 2 ياو وناديس 2010 ، ص. 172 . 
  35. ↑ Aspinwall et al. 2009 , p. vii . 
  36. ↑ زاسلو 2008 ، ص 537 . 
  37. 1 2 ياو وناديس 2010 ، ص. 166 . 
  38. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 167 . 
  39. 1 2 ياو وناديس 2010 ، ص. 169 . 
  40. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 171 . 
  41. ↑ زاسلو 2008 ، ص 533-534 . 
  42. ↑ زاسلو 2008 ، القسم 10 .
  43. ^ هوري وآخرون. 2003 ، ص. 677 . 
  44. ^ هوري وآخرون. 2003 ، ص. 679 . 
  45. ↑ إنتريليجاتور وسيبرغ 1996 .
  46. ↑ مور 2005 ، ص 214 . 
  47. ↑ مور 2005 ، ص 215 . 
  48. ↑ أسبينوال وآخرون 2009 ، ص . 
  49. ↑ يُعد كتاب ماك لين 1998 مرجعًا أساسيًا في نظرية الفئات.
  50. 1 2 Zaslow 2008 ، ص. 536 . 
  51. 1 2 3 Aspinwall et al. 2009 ، ص. 575 . 
  52. 1 2 3 ياو وناديس 2010 ، ص. 175 . 
  53. ^ ياو وناديس 2010 ، ص 180–181 . 
  54. ↑ Aspinwall et al. 2009 ، ص. 616 . 
  55. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 181 . 
  56. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 174 . 
  57. ↑ زاسلو 2008 ، ص 533 . 
  58. ^ ياو وناديس 2010 ، ص 175–176 . 
  59. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 175-177 . 
  60. 1 2 Zaslow 2008 ، ص 532 . 
  61. ^ ياو وناديس 2010 ، ص. 178 . 
  62. ^ ياو وناديس 2010 ، ص 178–179 . 

مراجع

للمزيد من القراءة

التبسيطات

  • ياو، شينغ تونغ؛ ناديس، ستيف (2010). شكل الفضاء الداخلي: نظرية الأوتار وهندسة الأبعاد الخفية للكون . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-0-465-02023-2.
  • زاسلو، إريك (2005). "الفيزياء". arXiv : physics/0506153 .
  • زاسلو، إريك (2008). "التناظر المرآوي". في: جاورز، تيموثي (محرر). دليل برينستون للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-11880-2.

الكتب الدراسية

  • أسبينوال، بول؛ بريدجلاند، توم؛ كراو، ألاستير؛ دوغلاس، مايكل؛ غروس، مارك؛ كابوستين، أنطون؛ مور، غريغوري؛ سيغال، غرايم؛ سزندروي، بالاز؛ ويلسون، بي إم إتش، محرران. (2009). أغشية ديريشليه والتناظر المرآوي . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-3848-8.
  • كوكس، ديفيد؛ كاتز، شيلدون (1999). التناظر المرآوي والهندسة الجبرية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-2127-5.
  • هوري، كينتارو؛ كاتز، شيلدون. كليم، ألبريشت؛ بانداريباند، راهول؛ توماس، ريتشارد. فافا، كومرون؛ فاكيل، رافي؛ زاسلو، إريك، محرران. (2003). تماثل المرآة (PDF) . جمعية الرياضيات الأمريكية. رقم ISBN 0-8218-2955-6تمت أرشفة النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 19-09-2006.