رقم إبسيلون

في الرياضيات ، تُعرف أعداد إبسيلون بأنها مجموعة من الأعداد المتسامية التي تتميز بكونها نقاطًا ثابتة لدالة أسية . وبالتالي، لا يمكن الوصول إليها من الصفر عبر سلسلة منتهية من تطبيقات الدالة الأسية المختارة أو العمليات "الأضعف" كالجمع والضرب. وقد قدم جورج كانتور أعداد إبسيلون الأصلية في سياق الحساب الترتيبي ؛ وهي الأعداد الترتيبية ε التي تحقق المعادلة$${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },}$$ حيث ω هو أصغر عدد ترتيبي لانهائي.

أصغر عدد ترتيبي من هذا النوع هو ε ₀ (يُنطق إبسيلون صفر (بشكل رئيسي في اللهجة البريطانية)، أو إبسيلون صفر (بشكل رئيسي في اللهجة الأمريكية)، أو إبسيلون زيرو )، والذي يمكن اعتباره "النهاية" التي تم الحصول عليها عن طريق التكرار المتجاوز من سلسلة من الأعداد الترتيبية الحدية الأصغر: $${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\},}$$ حيث sup هو الحد الأعلى ، وهو ما يعادل اتحاد المجموعة في حالة تمثيل فون نيومان للأعداد الترتيبية.

تُفهرس النقاط الثابتة الترتيبية الأكبر للخريطة الأسية بواسطة رموز ترتيبية سفلية، مما ينتج عنه${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$[ ^{1 ]} لا يزال العدد الترتيبي ε₀ قابلاً للعد ، وكذلك أي عدد إبسيلون يكون دليله قابلاً للعد. توجد أيضاً أعداد ترتيبية غير قابلة للعد ، إلى جانب أعداد إبسيلون غير قابلة ^للعد يكون دليلها عدداً ترتيبياً غير قابل للعد _.

يظهر أصغر عدد إبسيلون ε₀ في العديد من براهين الاستقراء _، لأنه في كثير من الأحيان لا يُشترط الاستقراء المتسامي إلا حتى ε₀ ₍ كما في برهان اتساق جنتزن وبرهان نظرية جودشتاين ). ويُظهر استخدام جنتزن له لإثبات اتساق حساب بيانو ، إلى جانب نظرية عدم الاكتمال الثانية لجودل ، أن حساب بيانو لا يستطيع إثبات صحة هذا الترتيب (فهو في الواقع أصغر عدد ترتيبي بهذه الخاصية، ولذلك يُستخدم في التحليل الترتيبي البرهاني كمقياس لقوة نظرية حساب بيانو).

يمكن تعريف العديد من أرقام إبسيلون الأكبر باستخدام دالة فيبلن .

تم تحديد فئة أكثر عمومية من أعداد إبسيلون بواسطة جون هورتون كونواي ودونالد كنوث في نظام الأعداد السريالية ، والتي تتكون من جميع الأعداد السريالية التي تمثل نقاطًا ثابتة للخريطة الأسية الأساسية ω x → ω ^x .

عرّف هيسنبرغ (1906) أعداد غاما (انظر: الترتيب غير القابل للتحليل الجمعي ) بأنها أعداد γ > 0 بحيث يكون α + γ = γ عندما يكون α < γ ، وأعداد دلتا (انظر: الترتيب غير القابل للتحليل الضربي ) بأنها أعداد δ > 1 بحيث يكون αδ = δ عندما يكون 0 < α < δ ، وأعداد إبسيلون بأنها أعداد ε > 2 بحيث يكون αε ⁼ ε عندما يكون 1 < α < ε . أعداد غاما التي عرّفها هيسنبرغ هي تلك التي تأخذ الشكل ω ^β ، وأعداد دلتا التي عرّفها هي تلك التي تأخذ الشكل ω ^{ω β} .

التعريف القياسي للأس الترتيبي ذي الأساس α هو:

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,}$متى${\displaystyle \beta }$له سلف مباشر${\displaystyle \beta -1}$.
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace }$، حينما${\displaystyle \beta }$هو عدد ترتيبي حدي .

من هذا التعريف، يترتب على ذلك أنه لأي عدد ترتيبي ثابت α > 1 ، فإن التطبيق${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$ هي دالة طبيعية ، لذا فإن لها نقاطًا ثابتة كبيرة بشكل تعسفي وفقًا لنظرية النقطة الثابتة للدوال الطبيعية . عندما${\displaystyle \alpha =\omega }$، هذه النقاط الثابتة هي بالضبط أعداد إبسيلون الترتيبية.

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace \,,}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,}$متى${\displaystyle \beta }$له سلف مباشر${\displaystyle \beta -1}$.
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace }$، حينما${\displaystyle \beta }$هو عدد ترتيبي حدي.

لأن

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,}$

تسلسل مختلف بنفس القيمة العليا،${\displaystyle \varepsilon _{1}}$، ويتم الحصول عليها بالبدء من 0 والرفع إلى الأس ذي الأساس ε ₀ بدلاً من ذلك:

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.}$

بشكل عام، رقم إبسيلون${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$مفهرسة بأي ترتيب له سلف مباشر${\displaystyle \beta -1}$يمكن بناؤها بشكل مماثل.

${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.}$

وعلى وجه الخصوص، سواء كان المؤشر β ترتيبياً حدياً أم لا،${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$هي نقطة ثابتة ليس فقط لعملية الأسس ذات الأساس ω ولكن أيضًا لعملية الأسس ذات الأساس δ لجميع الأعداد الترتيبية${\displaystyle 1<\delta <\varepsilon _{\beta }}$.

بما أن أعداد إبسيلون هي فئة فرعية غير محدودة من الأعداد الترتيبية، فإنها تُعدّ باستخدام الأعداد الترتيبية نفسها. لأي عدد ترتيبي${\displaystyle \beta }$،${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$هو أصغر عدد إبسيلون (نقطة ثابتة للدالة الأسية) غير موجود بالفعل في المجموعة${\displaystyle \{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}}$قد يبدو أن هذا هو المكافئ غير البنائي للتعريف البنائي باستخدام الأس المتكرر؛ لكن التعريفين غير بنائيين بنفس القدر عند الخطوات المفهرسة بواسطة الأعداد الترتيبية الحدية، والتي تمثل تكرارًا متجاوزًا من رتبة أعلى من أخذ القيمة العليا لسلسلة أسية.

الحقائق التالية المتعلقة بأعداد إبسيلون يسهل إثباتها:

• على الرغم من أنه عدد كبير جداً،${\displaystyle \varepsilon _{0}}$لا يزال قابلاً للعد ، كونه اتحادًا قابلاً للعد من أعداد ترتيبية قابلة للعد؛ في الواقع،${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$تكون قابلة للعد إذا وفقط إذا${\displaystyle \beta }$هو قابل للعد.
• اتحاد (أو أعلى) أي مجموعة غير فارغة من أعداد إبسيلون هو عدد إبسيلون؛ على سبيل المثال$${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$$هو عدد إبسيلون. وبالتالي، فإن التعيين${\displaystyle \beta \mapsto \varepsilon _{\beta }}$هي دالة طبيعية.
• العدد الترتيبي الأول لأي عدد أصلي غير معدود هو عدد إبسيلون.$${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$$

أي عدد إبسيلون ε له شكل كانتور الطبيعي${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$وهذا يعني أن الصيغة المعيارية لكانتور ليست مفيدة جدًا لأعداد إبسيلون. مع ذلك، يمكن وصف الأعداد الترتيبية الأقل من _ε₀ بشكل مفيد باستخدام صيغها المعيارية لكانتور _، مما يؤدي إلى تمثيل ε₀ كمجموعة مرتبة لجميع الأشجار الجذرية المنتهية ، كما يلي: أي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$لديه الشكل الطبيعي لكانتور${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$حيث k عدد طبيعي و${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ هي أعداد ترتيبية مع${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$، يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle \alpha }$كل من الأعداد الترتيبية${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ولها بدورها شكل كانتور طبيعي مماثل. نحصل على الشجرة الجذرية المحدودة التي تمثل α عن طريق ضم جذور الأشجار التي تمثل${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$إلى جذر جديد. (يترتب على ذلك أن العدد 0 يُمثَّل بجذر واحد بينما العدد${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$(يُمثَّل بشجرة تحتوي على جذر وورقة واحدة). يُعرَّف ترتيب مجموعة الأشجار الجذرية المحدودة بشكل تكراري: نرتب أولًا الأشجار الفرعية المتصلة بالجذر ترتيبًا تنازليًا، ثم نستخدم الترتيب المعجمي على هذه التسلسلات المرتبة من الأشجار الفرعية. وبهذه الطريقة، تصبح مجموعة جميع الأشجار الجذرية المحدودة مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا، وهي متماثلة الترتيب مع ε ₀ .

يرتبط هذا التمثيل بإثبات نظرية الهيدرا ، التي تمثل التسلسلات المتناقصة للأعداد الترتيبية كلعبة نظرية الرسم البياني .

النقاط الثابتة لـ "رسم خرائط إبسيلون"${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$تُشكّل دالة طبيعية، تُشكّل نقاطها الثابتة دالة طبيعية أخرى؛ ويُعرف هذا باسم التسلسل الهرمي لفبلن (دوال فيبلن ذات الأساس φ₀ ₍ α ) = ωα ⁾ . في تدوين التسلسل الهرمي لفبلن، يُرمز إلى دالة إبسيلون بالرمز φ₁ _، وتُرقم نقاطها الثابتة بالرمز _φ₂ ( انظر دالة التجميع الترتيبية ).

استكمالاً لهذا النهج، يمكن تعريف دوال φ _α لأعداد ترتيبية α متزايدة الحجم (بما في ذلك، من خلال هذا الشكل المُخفف من الاستدعاء التكراري المتسامي، الأعداد الترتيبية الحدية)، مع نقاط ثابتة صغرى متزايدة الحجم φ _{α + 1} (0) . أصغر عدد ترتيبي لا يمكن الوصول إليه من 0 بهذه الطريقة - أي أصغر عدد ترتيبي α الذي عنده φ _α (0) = α ، أو ما يُكافئ ذلك، أول نقطة ثابتة للدالة${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$— هو الترتيب الترتيبي لـ Feferman–Schütte ، Γ _0. في نظرية المجموعات التي يمكن فيها إثبات وجود مثل هذا الترتيب الترتيبي، يكون لدينا تطبيق Γ يُحصي النقاط الثابتة Γ ₀ ، Γ ₁ ، Γ ₂ ، ... من${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$; هذه كلها لا تزال أعداد إبسيلون، لأنها تقع في صورة φ _β لكل β ≤ Γ ₀ ، بما في ذلك الخريطة φ ₁ التي تعد أعداد إبسيلون.

في كتابه "عن الأعداد والألعاب" ، وهو عرض كلاسيكي للأعداد السريالية ، قدم جون هورتون كونواي عددًا من الأمثلة على المفاهيم التي تمتد بشكل طبيعي من الأعداد الترتيبية إلى الأعداد السريالية. إحدى هذه الدوال هي...${\displaystyle \omega }$-رسم خريطة${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$; هذا التطبيق يعمم بشكل طبيعي ليشمل جميع الأعداد السريالية في نطاقه ، مما يوفر بدوره تعميمًا طبيعيًا للشكل الطبيعي لكانتور للأعداد السريالية. ^{[ 2 ]}

من الطبيعي اعتبار أي نقطة ثابتة في هذه الخريطة الموسعة عددًا إبسيلونيًا، سواء أكان عددًا ترتيبيًا بالمعنى الدقيق للكلمة أم لا. ومن أمثلة الأعداد الإبسيلونية غير الترتيبية ما يلي:

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}}$

و

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.}$

هناك طريقة طبيعية للتعريف${\displaystyle \varepsilon _{n}}$لكل عدد سريالي n ، وتبقى الخريطة محافظة على الترتيب . ويستمر كونواي في تعريف فئة أوسع من الأعداد السريالية "غير القابلة للاختزال" والتي تشمل أعداد إبسيلون كفئة فرعية مثيرة للاهتمام بشكل خاص.

• الحساب الترتيبي
• عدد ترتيبي كبير قابل للعد