مكافئات بديهية الاختيار

كتاب "مكافئات بديهية الاختيار" هو كتاب في الرياضيات، يجمع عبارات رياضية تكون صحيحة فقط إذا تحققت بديهية الاختيار . ألّفه هيرمان روبين وجين إي. روبين ، ونُشر عام 1963 من قِبل دار نشر نورث هولاند كمجلد 34 من سلسلة "دراسات في المنطق وأسس الرياضيات".وصدرت طبعة مُحدّثة منه بعنوان " مكافئات بديهية الاختيار، الجزء الثاني " كمجلد 116 من السلسلة نفسها عام 1985.

عند نشر الكتاب لأول مرة، لم يكن معروفًا ما إذا كانت بديهية الاختيار مستنتجة من بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) الأخرى، أم أنها مستقلة عنها، على الرغم من أنه كان معروفًا أنها متسقة معها من خلال أعمال كورت غودل . وقد وضع هذا الكتاب أسس مشروع تصنيف نظريات الرياضيات وفقًا لما إذا كانت بديهية الاختيار ضرورية في براهينها، أو ما إذا كان من الممكن إثباتها بدونها. وفي نفس وقت نشر الكتاب تقريبًا، أثبت بول كوهين أن نفي بديهية الاختيار متسق أيضًا، مما يعني أن بديهية الاختيار، وجميع عباراتها المكافئة في هذا الكتاب، مستقلة بالفعل عن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات. ^{[ 1 ]}

تتضمن الطبعة الأولى من الكتاب أكثر من 150 عبارة رياضية مكافئة لمبدأ الاختيار، بما في ذلك بعض العبارات الجديدة في الكتاب. ^{[ 1 ] [ 2 ]} تنقسم هذه الطبعة إلى جزأين، يتناول الأول مفاهيم مُعبر عنها باستخدام المجموعات ، بينما يتناول الثاني الأصناف بدلًا من المجموعات. في الجزء الأول، جُمعت المواضيع في عبارات تتعلق بمبدأ الترتيب الجيد ، ومبدأ الاختيار نفسه، والتقسيم الثلاثي (القدرة على مقارنة الأعداد الأصلية )، ومبرهنة زورن ومبادئ التعددية القصوى ذات الصلة . يتضمن هذا القسم أيضًا ثلاثة فصول إضافية، حول عبارات في الجبر المجرد ، وعبارات للأعداد الأصلية ، ومجموعة أخيرة من العبارات المتنوعة. أما القسم الثاني فيتألف من أربعة فصول، تتناول مواضيع موازية لأربعة من فصول القسم الأول. ^{[ 3 ]}

يتضمن الكتاب تاريخ كل عبارة، والعديد من البراهين على تكافؤها. ^{[ 3 ]} وبدلاً من ZF، يستخدم نظرية مجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل لبراهينه، وخاصة في شكل يسمى NBG ⁰ يسمح بالعناصر الأولية (على عكس بديهية التمديد ) ولا يتضمن بديهية الانتظام .

يُضيف الإصدار الثاني العديد من العبارات المتكافئة الإضافية، أكثر من ضعف عددها في الإصدار الأول، مع قائمة إضافية تضم أكثر من 80 عبارة مرتبطة ببديهية الاختيار ولكن لم يُعرف أنها متكافئة معها. ^{[ 2 ]} ويتضمن قسمين إضافيين، أحدهما عن العبارات المتكافئة التي تحتاج إلى بديهيتي التمديد والانتظام في براهين تكافؤها، والآخر عن العبارات في الطوبولوجيا والتحليل الرياضي والمنطق الرياضي . ^{[ 4 ]} كما يتضمن تطورات أحدث حول استقلالية بديهية الاختيار، وسردًا مُحسَّنًا لتاريخ لِمَّة زورن. ^{[ 2 ]}

كُتب هذا الكتاب كمرجعٍ للرياضيين المحترفين، ولا سيما العاملين في نظرية المجموعات . ^{[ 2 ]} كتب المراجع تشن تشونغ تشانغ أنه "سيكون مفيدًا لكلٍّ من المتخصص في هذا المجال والرياضي العامل عمومًا"، وأن عرضه للنتائج "واضحٌ وجليّ". ^{[ 3 ]} وبحلول وقت صدور الطبعة الثانية، وصفه كلٌّ من المراجعين جيه إم بلوتكين وديفيد بينكوس بأنه "المرجع القياسي" في هذا المجال. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• مكافئات بديهية الاختيار، الجزء الثاني في أرشيف الإنترنت