معضلة إقليدس

في الجبر ونظرية الأعداد ، تعتبر ليمّة إقليدس ليمّة تلتقط خاصية أساسية للأعداد الأولية : ^{[ ملاحظة 1 ]}

مبرهنة إقليدس - إذا قسم عدد أولي $p حاصل$ $ضرب$ عددين صحيحين $a$ و $b$ ، فإن $p$ يجب أن يقسم على الأقل أحد هذين العددين الصحيحين $a$ أو $b$ .

على سبيل المثال، إذا كان $p = 19$ ، $و a = 133$ ، $و b = 143$ ، فإن $ab = 133 \times 143 = 19019$ ، وبما أن هذا العدد يقبل القسمة على 19، فإن اللمة تشير إلى أن أحد العددين 133 أو 143 أو كليهما يقبل القسمة على 19 أيضًا. في الواقع، $133 = 19 \times 7$ .

ظهرت اللمة لأول مرة في كتاب العناصر لإقليدس ، وهي نتيجة أساسية في نظرية الأعداد الأولية.

إذا لم تتحقق مقدمة اللمة، أي إذا كان $p$ عددًا غير أولي ، فقد تكون نتيجتها صحيحة أو خاطئة. على سبيل المثال، في حالة $p = 10$ ، $و a = 4$ ، $و b = 15$ ، فإن العدد غير الأولي 10 يقسم $ab = 4 \times 15 = 60$ ، لكن 10 لا يقسم 4 ولا 15.

تُعدّ هذه الخاصية أساسية في برهان النظرية الأساسية في الحساب . ^{[ ملاحظة ٢ ]} تُستخدم هذه الخاصية لتعريف العناصر الأولية ، وهي تعميم للأعداد الأولية على أي حلقة تبديلية . تُبيّن ليمّة إقليدس أن العناصر غير القابلة للاختزال في مجموعة الأعداد الصحيحة هي أيضًا عناصر أولية. يعتمد البرهان على الاستقراء الرياضي، لذا فهو لا ينطبق على جميع المجالات التكاملية .

التركيبات

تُستخدم مبرهنة إقليدس عادةً بالشكل المكافئ التالي:

نظرية — إذا $p$ هو عدد أولي يقسم الناتج $ab$ ولا يقسم $a,$ ثم ينقسم $b.$

يمكن تعميم مبرهنة إقليدس على النحو التالي من الأعداد الأولية إلى أي أعداد صحيحة.

نظرية — إذا كان عدد صحيح $n$ يقسم حاصل ضرب عددين صحيحين $ab$ ، وكان أوليًا نسبيًا مع $a$ ، فإن $n$ يقسم $b$ .

هذا تعميم لأن العدد الأولي $p$ يكون أوليًا نسبيًا مع عدد صحيح $a$ إذا وفقط إذا كان $p$ لا يقسم $a$ .

تاريخ

تظهر اللمة لأول مرة كقضية رقم 30 في الكتاب السابع من كتاب الأصول لإقليدس . وهي مدرجة في كل كتاب تقريبًا يتناول نظرية الأعداد الأولية. ^[⁴^]^[⁵^]^[⁶^]^[⁷^]^[⁸^]

تعميم ليما على الأعداد الصحيحة ظهر في كتاب جان بريستيت Nouveaux Elémens de Mathématiques في عام 1689. ^{[ 9 ]}

في كتاب كارل فريدريش غاوس "Disquisitiones Arithmeticae" ، وردت عبارة اللمة في القضية الإقليدية رقم 14 (القسم 2)، والتي استخدمها لإثبات تفرد حاصل ضرب العوامل الأولية لعدد صحيح (النظرية 16)، مُقرًا بوجوده كأمرٍ "بديهي". ومن هذا الوجود والتفرد، استنتج تعميم اللمة من الأعداد الأولية إلى الأعداد الصحيحة. ^{[ 10 ]} لهذا السبب، يُشار أحيانًا إلى تعميم لمة إقليدس باسم لمة غاوس، لكن يعتقد البعض أن هذا الاستخدام غير صحيح ^{[ 11 ]} نظرًا للخلط بينه وبين لمة غاوس المتعلقة بالبواقي التربيعية .

البراهين

القسمان الفرعيان الأولان هما برهان على النسخة المعممة من ليمّة إقليدس، وهي: إذا كان $n$ يقسم $ab$ وكان أوليًا نسبيًا مع $a$ فإنه يقسم $b$ .

تتبع ليمّة إقليدس الأصلية مباشرة، لأنه إذا كان $n$ عددًا أوليًا فإنه يقسم $a$ أو لا يقسم $a$ وفي هذه الحالة يكون أوليًا نسبيًا مع $a،$ لذلك وفقًا للنسخة المعممة فإنه يقسم $b$ .

استخدام هوية بيزو

في الرياضيات الحديثة، يتضمن أحد البراهين الشائعة متطابقة بيزو ، التي كانت مجهولة في زمن إقليدس. ^{[ 12 ]} تنص متطابقة بيزو على أنه إذا كان x $و$ y $عددين$ صحيحين أوليين فيما بينهما (أي لا يشتركان في أي قواسم مشتركة سوى 1 و -1)، فإنه يوجد عددان صحيحان $r$ و $s$ بحيث

rx+sy=1.

ليكن $a$ و $n$ عددين أوليين فيما بينهما، ولنفترض أن $n يقسم ab$ ^{[ ملاحظة 3 ]} . بحسب متطابقة بيزو، يوجد $r$ و $s$ بحيث

rn+sa=1.

اضرب كلا الطرفين في $b$ :

rnb+sab=b.

الحد الأول على اليسار يقبل القسمة على $n$ ، والحد الثاني يقبل القسمة على $ab$ ، وهو بدوره يقبل القسمة على $n$ بحسب الفرضية . لذلك، فإن مجموعهما، $b$ ، يقبل القسمة على $n$ أيضاً .

بالحث

إن البرهان التالي مستوحى من نسخة إقليدس من خوارزمية إقليدس ، والتي تعتمد على عمليات الطرح فقط.

لنفترض أن $n\mid ab$ وبما أن $n$ و $a$ عددان أوليان فيما بينهما (أي أن قاسمهما المشترك الأكبر هو $1$ )، يجب إثبات أن $n$ يقسم $b$ . $n\mid ab,$ يوجد عدد صحيح $q$ بحيث

$nq=ab.$

دون فقدان للعمومية، يمكن للمرء أن يفترض أن $n$ و $q$ و $a$ و $b$ موجبة، لأن علاقة قابلية القسمة مستقلة عن إشارات الأعداد الصحيحة المعنية.

لإثبات النظرية بالاستقراء القوي ، نفترض أنها قد ثبتت لجميع القيم الأصغر لـ $ab$ . وهناك ثلاث حالات:

إذا كان $n = a$ ، فإن خاصية الأعداد الأولية المشتركة تعني أن $n = 1$ ، و $n$ يقسم $b$ بشكل تافه.
إذا كان $n < a$ ، فإن الطرح $nb$ من كلا الجانبين أعطي $n(qb)=(an)b.$ وبالتالي، يقسم $n العدد$ $(a - n) b$ . وبما أننا افترضنا أن $n$ و $a$ عددان أوليان فيما بينهما، فإن $a - n$ و $n$ يجب أن يكونا أوليين فيما بينهما. (وإلا، فإن قاسمهما المشترك الأكبر $d$ سيقسم مجموعهما $a$ كما يقسم $n$ ، مما يناقض افتراضنا). ومن ثم، فإن النتيجة تتبع بالاستقراء، لأن $0 < (a - n) b < ab$ .
إذا كان $n > a،$ فقم بالطرح $aq$ من كلا الجانبين أعطي $(na)q=a(bq).$ وبالتالي، $فإن n - a$ يقسم $a (b - q)$ . وبما أن $n - a$ و $a$ عددان أوليان فيما بينهما (كما في الحالة السابقة)، وبما أن $0 < b - q < b$ ، فإن فرضية الاستقراء تقتضي أن $n - a$ يقسم $b - q$ ؛ أي، $bq=r(na)$ لبعض الأعداد الصحيحة $r$ . إذن، $(na)q=ar(na),$ وبقسمة الناتج على $n - a$ ، نحصل على $q=ar.$ لذلك، $ab=nq=anr,$ وبقسمة الناتج على $a$ ، نحصل على $b=nr,$ النتيجة المرجوة.

إثبات العناصر

تم إثبات ليمّة إقليدس في القضية رقم 30 من الكتاب السابع من كتاب أصول إقليدس . يصعب فهم البرهان الأصلي بصيغته الحالية، لذا نقتبس التعليق من إقليدس (1956 ، الصفحات 319-332) .

الاقتراح رقم 19: إذا كانت أربعة أعداد متناسبة، فإن ناتج ضرب العدد الأول في العدد الرابع يساوي ناتج ضرب العدد الثاني في العدد الثالث؛ وإذا كان ناتج ضرب العدد الأول في العدد الرابع يساوي ناتج ضرب العدد الثاني في العدد الثالث، فإن الأعداد الأربعة متناسبة. ^{[ ملاحظة 4 ]}
الاقتراح رقم 20: أقل عدد من العناصر التي لها نفس النسبة يقيس عدد العناصر التي لها نفس النسبة بنفس عدد المرات - كلما زاد العدد زاد، وكلما قل العدد قل. ^{[ ملاحظة 5 ]}
الاقتراح رقم 21: الأعداد الأولية فيما بينها هي أصغر الأعداد التي لها نفس النسبة معها. ^{[ ملاحظة 6 ]}
الاقتراح رقم 29: أي عدد أولي يكون أوليًا بالنسبة لأي عدد لا يقيسه. ^{[ ملاحظة 7 ]}
الاقتراح رقم 30: إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي نفس العدد، وكان أي عدد أولي يقيس ناتج الضرب، فإنه يقيس أيضًا أحد العددين الأصليين. ^{[ ملاحظة 8 ]}
إثبات 30: إذا كان c عددًا أوليًا، فإنه يقيس إما a أو b . لنفترض أن c لا يقيس a . إذن ، c و a عددان أوليان. [ VII. 29 ] لنفترض أن ab = mc . إذن، c : a = b : m . [ VII. 19 ] ومن ثم [ VII. 20 ، 21 ] b = nc ، حيث n عدد صحيح. إذن، c يقيس b . وبالمثل ، إذا كان c لا يقيس b ، فإن c يقيس a . إذن ، c يقيس أحد العددين a أو b . وهو المطلوب إثباته ^[¹⁸^].

انظر أيضاً

الحواشي

ملحوظات

↑ يُطلق عليها أيضًا اسم نظرية إقليدس الأولى ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} على الرغم من أن هذا الاسم ينتمي بشكل أدق إلى شرط الضلع-الزاوية-الضلع لإثباتتطابق المثلثات .^[³^]
↑ بشكل عام، لإثبات أن المجال هو مجال تحليل فريد ، يكفي إثبات ليمّة إقليدس وشرط السلسلة الصاعدة على المُثُل الرئيسية .
↑ تعني الصيغة $n | ab$ أن n يقسم ab .
↑ إذا كان a : b = c : d ، فإن ad = bc ؛ والعكس صحيح.^{[ 13 ]}
↑ إذا كانتالنسبة بين a و b تساوي النسبة بين c و d ،وكان a و b أصغر عددين بين الأعداد التي لها نفس النسبة، فإن c = na و d = nb ، حيث n عدد صحيح.^{[ 14 ]}
↑ إذا كانتبين a و b تساوي النسبة بين c و d ،وكان a و b عددين أوليين، فإن a و b هما أصغر عددين بين الأعداد التي لهما نفس النسبة.^{[ 15 ]}
↑ إذا كان a عددًا أوليًا ولا يقيس b ، فإن a و b عددان أوليان بالنسبة لبعضهما البعض.^{[ 16 ]}
↑ إذا كان c عددًا أوليًا، فإن القياس ab ، فإن c يقيس إما a أو b .^{[ 17 ]}

الاقتباسات

^ بجنوك 2013 ، النظرية 14.5
^ جوينر وكريمينسكي وتوريسكو 2004 ، الاقتراح 1.5.8، ص. 25
↑ مارتن 2012 ، ص 125
↑ جاوس 2001 ، ص 14
↑ هاردي، رايت وويلز 2008 ، النظرية 3
↑ أيرلندا وروزن 2010 ، الاقتراح 1.1.1
↑ لاندو 1999 ، النظرية 15
↑ ريزل 1994 ، النظرية A2.1
↑ إقليدس 1994 ، ص 338-339
↑ جاوس 2001 ، المادة 19
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "معضلة إقليدس" . عالم الرياضيات .
↑ هاردي، رايت وويلز 2008 ، §2.10
↑ إقليدس 1956 ، ص 319
↑ إقليدس 1956 ، ص 321
↑ إقليدس 1956 ، ص 323
↑ إقليدس 1956 ، ص 331
↑ إقليدس 1956 ، ص 332
↑ إقليدس 1956 ، ص 331-332

مراجع

باينوك، بيلا (2013)، مدخل إلى الرياضيات المجردة ، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 978-1-4614-6636-9.
إقليدس (1956)، الكتب الثلاثة عشر للأصول ، المجلد 2 (الكتب من الثالث إلى التاسع)، ترجمة توماس ليتل هيث ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-60089-5{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) - المجلد 2
إقليدس (1994)، Les Éléments، traduction، commentaires et Notes (بالفرنسية)، المجلد. 2، ترجمة فيتراك، برنارد، ص 338 – 339، ISBN 2-13-045568-9
غاوس، كارل فريدريش (2001)، Disquisitiones Arithmeticae ، ترجمة كلارك، آرثر أ. ( الطبعة الثانية المصححة)، نيو هيفن، كونيتيكت: مطبعة جامعة ييل، ISBN 978-0-300-09473-2
غاوس، كارل فريدريش (1981)، Unter suchungen uber hohere Arithmetik [ التحقيقات في الحساب العالي ] ، ترجمة Maser، H. ( الطبعة الثانية)، نيويورك: تشيلسي، ISBN 978-0-8284-0191-3
هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم ؛ وايلز، إيه جيه (15-09-2008)، مقدمة في نظرية الأعداد (الطبعة السادسة )، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-921986-5
أيرلندا، كينيث؛ روزن، مايكل (2010)، مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة ( الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر ، ISBN 978-1-4419-3094-1
جوينر، ديفيد؛ كريمينسكي، ريتشارد؛ توريسكو، جوان (2004)، الجبر المجرد التطبيقي ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، رقم ISBN 978-0-8018-7822-0.
لاندو، إدموند (1999)، نظرية الأعداد الأولية ، ترجمة جودمان، جيه إي (الطبعة الثانية )، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-821-82004-9
مارتن، جي إي (2012)، أسس الهندسة والمستوى غير الإقليدي ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4612-5725-7.
ريزل، هانز (1994)، الأعداد الأولية وطرق الحاسوب للتحليل إلى عوامل ( الطبعة الثانية)، بوسطن: بيركهاوزر، ISBN 978-0-8176-3743-9.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "معضلة إقليدس" . عالم الرياضيات .

[4] يُطلق عليها أيضًا اسم نظرية إقليدس الأولى ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} على الرغم من أن هذا الاسم ينتمي بشكل أدق إلى شرط الضلع-الزاوية-الضلع لإثباتتطابق المثلثات .^[³^]

[5] بشكل عام، لإثبات أن المجال هو مجال تحليل فريد ، يكفي إثبات ليمّة إقليدس وشرط السلسلة الصاعدة على المُثُل الرئيسية .

[define_divide_operator-15] تعني الصيغة $n | ab$ أن n يقسم ab .

[17] إذا كان a : b = c : d ، فإن ad = bc ؛ والعكس صحيح.^{[ 13 ]}

[19] إذا كانتالنسبة بين a و b تساوي النسبة بين c و d ،وكان a و b أصغر عددين بين الأعداد التي لها نفس النسبة، فإن c = na و d = nb ، حيث n عدد صحيح.^{[ 14 ]}

[21] إذا كانتبين a و b تساوي النسبة بين c و d ،وكان a و b عددين أوليين، فإن a و b هما أصغر عددين بين الأعداد التي لهما نفس النسبة.^{[ 15 ]}

[23] إذا كان a عددًا أوليًا ولا يقيس b ، فإن a و b عددان أوليان بالنسبة لبعضهما البعض.^{[ 16 ]}

[25] إذا كان c عددًا أوليًا، فإن القياس ab ، فإن c يقيس إما a أو b .^{[ 17 ]}

[1] بجنوك 2013 ، النظرية 14.5

[2] جوينر وكريمينسكي وتوريسكو 2004 ، الاقتراح 1.5.8، ص. 25

[3] مارتن 2012 ، ص 125

[DA1-6] جاوس 2001 ، ص 14

[7] هاردي، رايت وويلز 2008 ، النظرية 3

[8] أيرلندا وروزن 2010 ، الاقتراح 1.1.1

[9] لاندو 1999 ، النظرية 15

[10] ريزل 1994 ، النظرية A2.1

[11] إقليدس 1994 ، ص 338-339

[DA2-12] جاوس 2001 ، المادة 19

[13] وايسشتاين، إريك دبليو. "معضلة إقليدس" . عالم الرياضيات .

[14] هاردي، رايت وويلز 2008 ، §2.10

[16] إقليدس 1956 ، ص 319

[18] إقليدس 1956 ، ص 321

[20] إقليدس 1956 ، ص 323

[22] إقليدس 1956 ، ص 331

[24] إقليدس 1956 ، ص 332

[26] إقليدس 1956 ، ص 331-332

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة ٢ ]

[

[

[

[

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ ملاحظة 3 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ ملاحظة 5 ]

[ ملاحظة 6 ]

[ ملاحظة 7 ]

[ ملاحظة 8 ]

[

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗