معادلات أويلر (ديناميكا الأجسام الصلبة)

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُعدّ معادلات دوران أويلر معادلة تفاضلية عادية شبه خطية من الدرجة الأولى تصف دوران جسم صلب ، باستخدام إطار مرجعي دوار ذي سرعة زاوية ω ومحاوره ثابتة بالنسبة للجسم. وقد سُمّيت هذه المعادلات تكريماً لليونارد أويلر .

في غياب العزوم المؤثرة ، نحصل على جسم أويلر . أما عندما تكون العزوم ناتجة عن الجاذبية ، فهناك حالات خاصة تكون فيها حركة الجسم قابلة للتكامل .

شكلها المتجهي العام هو

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

حيث M هي العزوم المطبقة و I هي مصفوفة القصور الذاتي . المتجه${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\أوميغا }}}}$يمثل التسارع الزاوي . ومرة ​​أخرى، لاحظ أن جميع الكميات معرفة في الإطار المرجعي الدوار.

في نظام إحداثيات المحاور الرئيسية المتعامدة للعطالة، تصبح المعادلات

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}}$

حيث M _k هي مكونات عزم الدوران المطبق، و I _k هي عزم القصور الذاتي الرئيسي و ω _k هي مكونات السرعة الزاوية.

في إطار مرجعي قصوري (يرمز له بـ "in")، ينص قانون أويلر الثاني على أن المشتق الزمني للزخم الزاوي L يساوي عزم الدوران المطبق :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}}$

بالنسبة للجسيمات النقطية التي تكون قواها الداخلية قوى مركزية ، يمكن اشتقاق ذلك باستخدام قانون نيوتن الثاني . أما بالنسبة للجسم الصلب، فإن العلاقة بين الزخم الزاوي وعزم القصور الذاتي I _تُعطى كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}}$

في الإطار المرجعي العطالي، لا تُفيد المعادلة التفاضلية دائمًا في حل حركة جسم صلب دوار، إذ يمكن أن يتغير كل من عزم القصور الذاتي ₍ I ) والسرعة الزاوية (ω) أثناء الحركة. يُمكن بدلًا من ذلك الانتقال إلى إطار إحداثيات ثابت في الجسم الدوار، حيث يكون موتر عزم القصور الذاتي ثابتًا. باستخدام إطار مرجعي مثل ذلك الموجود عند مركز الكتلة، يُحذف موضع الإطار من المعادلات. في أي إطار مرجعي دوار، يجب استبدال المشتقة الزمنية بحيث تصبح المعادلة

${\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }$

وهكذا ينشأ الضرب الاتجاهي، انظر إلى المشتقة الزمنية في الإطار المرجعي الدوار . ترتبط مركبات متجه العزم في الإطارين المرجعيين العطالي والدوار بالعلاقة التالية: ${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,}$ أين${\displaystyle \mathbf {Q} }$هو موتر الدوران (وليس مصفوفة الدوران )، وهو موتر متعامد مرتبط بمتجه السرعة الزاوية بواسطة ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}}$ لأي متجه u . الآن${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}$يتم استبدال المشتقات الزمنية في الإطار الدوار، مع مراعاة أن مواقع الجسيمات وموتر القصور الذاتي لا يعتمدان على الزمن. وهذا يؤدي إلى الصيغة المتجهة العامة لمعادلات أويلر، والتي تكون صالحة في مثل هذا الإطار.

${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

كما تم اشتقاق المعادلات من قوانين نيوتن في مناقشة عزم الدوران الناتج .

وبشكل أعم، وفقًا لقواعد تحويل الموتر، فإن أي موتر من الرتبة 2${\displaystyle \mathbf {T} }$له مشتق زمني${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} }$بحيث يكون لأي متجه${\displaystyle \mathbf {u} }$، لدى المرء${\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )}$وهذا يُنتج معادلات أويلر عن طريق التعويض بـ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}$

يمكن تعميم معادلات أويلر على أي جبر لي بسيط . ^{[ 1 ]} تنشأ معادلات أويلر الأصلية من تثبيت جبر لي على أن${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$، مع مولدات${\displaystyle {t_{1},t_{2},t_{3}}}$إرضاء العلاقة${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{c}}$ثم إذا${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}}$(أين${\displaystyle t}$هو إحداثي زمني، لا ينبغي الخلط بينه وبين متجهات الأساس${\displaystyle t_{a}}$) هو أن${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$دالة زمنية ذات قيم، و${\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})}$(بالنسبة لأساس جبر لي)، ثم يمكن كتابة معادلات أويلر الأصلية (غير الملتوية) ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].}$$ لتحديد${\displaystyle \mathbf {I} }$وبطريقة مستقلة عن الأساس، يجب أن تكون خريطة ذاتية الترافق على جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$فيما يتعلق بالشكل الثنائي الخطي الثابت على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. يمكن تعميم هذا التعبير بسهولة إلى جبر لي بسيط عشوائي، على سبيل المثال في التصنيف القياسي لجبر لي البسيط.

يمكن اشتقاق معادلات أويلر لديناميكا الأجسام الصلبة من معادلة أويلر-أرنولد ، وهي فئة من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تصف التدفق الجيوديسي على زمر لي لا نهائية الأبعاد مزودة بمقاييس ثابتة من اليمين . كما يمكن اشتقاق معادلات أويلر لديناميكا الموائع من معادلة أويلر-أرنولد نفسها. ^{[ 3 ]}

ويمكن أيضًا اعتبار هذا بمثابة صياغة زوجية لاكس لمعادلات أويلر المعممة، مما يشير إلى قابليتها للتكامل.

• زوايا أويلر
• تأثير دزانيبيكوف
• عزم القصور الذاتي
• إهليلج بوينسو
• دوار صلب

• سي. أ. تروسديل الثالث (1991) مدخل إلى ميكانيكا الأوساط المتصلة العقلانية. المجلد 1: المفاهيم العامة ، الطبعة الثانية، دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-701300-8. الأقسام 1.8-10.
• CA Truesdell, III و RA Toupin (1960) نظريات الحقول الكلاسيكية ، في S. Flügge (محرر) موسوعة الفيزياء. المجلد الثالث/1: مبادئ الميكانيكا الكلاسيكية ونظرية الحقول ، Springer-Verlag. الأقسام 166-168، 196-197، و294.
• لاندو إل دي وليفشيتز إي إم (1976) الميكانيكا ، الطبعة الثالثة، دار بيرغامون للنشر. رقم ISBN 0-08-021022-8(غلاف مقوى) ورقم ISBN 0-08-029141-4(غلاف ورقي).
• جولدشتاين، هـ. (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ، الطبعة الثانية، أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-02918-9
• سايمون، ك. ر. (1971). الميكانيكا ، الطبعة الثالثة، أديسون-ويسلي. رقم ISBN 0-201-07392-7