رباعي الأضلاع المماسي

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف الشكل الرباعي المماسي الخارجي بأنه شكل رباعي محدب تمتد فيه أضلاعه الأربعة مماسةً لدائرة خارج الشكل. ^{[ 1 ]} ويُسمى أيضًا الشكل الرباعي القابل للتمديد . ^{[ 2 ]} تُسمى الدائرة المحيطة به بالدائرة الخارجية ، ونصف قطره بالنصف القطر الخارجي ، ومركزه بالمركز الخارجي ( E في الشكل). يقع المركز الخارجي عند تقاطع ستة منصفات زوايا. هذه المنصفات هي: منصفات الزوايا الداخلية عند زاويتين متقابلتين من رؤوس الشكل، ومنصفات الزوايا الخارجية ( المنصفات المكملة ) عند الزاويتين الأخريين من رؤوس الشكل، ومنصفات الزوايا الخارجية عند الزوايا المتكونة عند تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة (انظر الشكل إلى اليمين، حيث أربعة من هذه المنصفات الستة عبارة عن قطع مستقيمة منقطة). يرتبط الشكل الرباعي المماسي الخارجي ارتباطًا وثيقًا بالشكل الرباعي المماسي (حيث تكون أضلاعه الأربعة مماسة لدائرة).

يُعرف الدائرة الخارجية أيضًا بالدائرة المحيطة، ^{[ 3 ]} ولكن هذا الاسم يُستخدم أيضًا للإشارة إلى دائرة مماسة لأحد أضلاع شكل رباعي محدب وامتدادات الضلعين المجاورين. في هذا السياق، تحتوي جميع الأشكال الرباعية المحدبة على أربع دوائر محيطة، ولكن لا يمكن أن تحتوي إلا على دائرة خارجية واحدة على الأكثر. ^{[ 4 ]}

تُعدّ الطائرات الورقية أمثلة على الأشكال الرباعية المماسية الخارجية. ويمكن اعتبار متوازيات الأضلاع (التي تشمل المربعات والمعينات والمستطيلات ) حالةً مُنحلةً من الأشكال الرباعية المماسية الخارجية ذات نصف قطر خارجي لانهائي ، لأنها تُحقق الخصائص المذكورة في القسم التالي، ولكن لا يمكن أن تكون الدائرة الخارجية مماسيةً لكلا زوجي امتدادات الأضلاع المتقابلة (لأنها متوازية). ^{[ 4 ]} أما الأشكال الرباعية المحدبة التي تُشكّل أطوال أضلاعها متتاليةً حسابيةً ، فهي دائمًا ماسية خارجية، لأنها تُحقق الخاصية المذكورة أدناه لأطوال الأضلاع المتجاورة.

يكون الشكل الرباعي المحدب مماساً خارجياً إذا وفقط إذا كان له ستة منصفات زوايا متلاقية . وهي منصفات الزوايا الداخلية عند زاويتين متقابلتين من رؤوسه، ومنصفات الزوايا الخارجية عند الزاويتين الأخريين من رؤوسه، ومنصفات الزوايا الخارجية عند الزوايا المتكونة عند تقاطع امتدادات الأضلاع المتقابلة. ^{[ 4 ]}

لأغراض الحساب، يُعدّ الوصف الأكثر فائدة هو أن الشكل الرباعي المحدب ذو الأضلاع المتتالية a، b، c، d يكون مماسًا خارجيًا إذا وفقط إذا كان مجموع ضلعين متجاورين يساوي مجموع الضلعين الآخرين. وهذا ممكن بطريقتين مختلفتين:

${\displaystyle a+b=c+d}$

أو

${\displaystyle a+d=b+c.}$

وقد أثبت ذلك جاكوب شتاينر عام 1846. ^{[ 5 ]} في الحالة الأولى، تقع الدائرة الخارجية خارج أكبر الرؤوس A أو C ، بينما في الحالة الثانية تقع خارج أكبر الرؤوس B أو D ، بشرط أن تكون أضلاع الشكل الرباعي ABCD

${\displaystyle a=|AB|,\ b=|BC|,\ c=|CD|,\ d=|DA|.}$

إحدى طرق الجمع بين هذه الخصائص المتعلقة بالأضلاع هي أن القيم المطلقة للفروق بين الأضلاع المتقابلة متساوية بالنسبة لزوجي الأضلاع المتقابلة، ^{[ 4 ]}

${\displaystyle |a-c|=|b-d|.}$

ترتبط هذه المعادلات ارتباطًا وثيقًا بنظرية بيتوت للأشكال الرباعية المماسية ، حيث تكون مجاميع الأضلاع المتقابلة متساوية بالنسبة لزوجي الأضلاع المتقابلة.

مقارنة مع شكل رباعي مماس

تتشابه بعض الخصائص المترية للأشكال الرباعية المماسية (العمود الأيسر في الجدول) إلى حد كبير مع نظائرها للأشكال الرباعية الخارجية المماسية (العمودان الأوسط والأيمن في الجدول)، كما هو موضح في الجدول أدناه. ^{[ 4 ]} وبالتالي، فإن الشكل الرباعي المحدب له دائرة داخلية أو خارجية خارج الرأس المناسب (بحسب العمود) إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط الخمسة الضرورية والكافية المذكورة أدناه.

دائرة داخلية	ضع دائرة خارجية خارج A أو C	دائرة خارجية خارج B أو D
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3}}$
${\displaystyle agh+cef=beh+dfg}$	${\displaystyle agh+beh=cef+dfg}$	${\displaystyle agh+dfg=beh+cef}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{2}}}={\frac {1}{h_{3}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{4}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{3}}}}$
${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {w}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {z}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}\tan {\frac {w}{2}}}$
${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$	${\displaystyle R_{a}R_{b}=R_{c}R_{d}}$	${\displaystyle R_{a}R_{d}=R_{b}R_{c}}$

الرموز في هذا الجدول هي كما يلي: في الشكل الرباعي المحدب ABCD ، تتقاطع الأقطار عند النقطة P.

• R ₁ و R ₂ و R ₃ و R ₄ هي أنصاف الأقطار المحيطة في المثلثات △ ABP و △ BCP و △ CDP و △ DAP ؛
• h ₁ و h ₂ و h ₃ و h ₄ هي الارتفاعات من P إلى الأضلاع a = | AB | و b = | BC | و c = | CD | و d = | DA | على التوالي في نفس المثلثات الأربعة؛
• e و f و g و h هي المسافات من الرؤوس A و B و C و D على التوالي إلى P ؛
• x و y و z و w هي الزوايا ∠ ABD و ∠ ADB و ∠ BDC و ∠ DBC على التوالي؛
• و R _a و R _b و R _c و R _d هي أنصاف الأقطار في الدوائر المماسية خارجيًا للأضلاع a و b و c و d على التوالي وامتدادات الضلعين المجاورين لكل ضلع.

مساحة الشكل الرباعي المماسي ABCD ذي الأضلاع a و b و c و d

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

لاحظ أن هذه هي نفس الصيغة المستخدمة لحساب مساحة الشكل الرباعي المماسي ، وهي مشتقة أيضًا من صيغة بريتشنايدر بنفس الطريقة.

يُعطى نصف القطر الخارجي لشكل رباعي الأضلاع خارجي ذي أضلاع متتالية a و b و c و d بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle r={\frac {K}{|a-c|}}={\frac {K}{|b-d|}}}$

حيث K هي مساحة الشكل الرباعي. بالنسبة للشكل الرباعي المماسي الخارجي ذي الأضلاع المعطاة، يكون نصف قطر الامتداد الخارجي أكبر ما يمكن عندما يكون الشكل الرباعي دائريًا أيضًا (وبالتالي يكون شكلًا رباعيًا ثنائي المركز خارجيًا). تفسر هذه الصيغ سبب امتلاك جميع متوازيات الأضلاع نصف قطر امتداد خارجي لانهائي.

إذا كان للشكل الرباعي المماسي الخارجي دائرة محيطة به ، فإنه يُسمى شكلاً رباعياً ثنائي المركز خارجياً . ^{[ 1 ]} وبما أن له زاويتين متكاملتين متقابلتين ، فإن مساحته تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

وهو نفس الحال بالنسبة للشكل الرباعي ثنائي المركز .

إذا كانت x هي المسافة بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الخارجية، فإن ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

حيث R و r هما نصف قطر الدائرة المحيطة ونصف قطر الدائرة الخارجية على التوالي. هذه هي نفس معادلة نظرية فوس للرباعي ثنائي المركز. ولكن عند حل المعادلة لإيجاد قيمة x ، يجب اختيار الجذر الآخر للمعادلة التربيعية للرباعي ثنائي المركز الخارجي مقارنةً بالرباعي ثنائي المركز. وبالتالي، بالنسبة للرباعي ثنائي المركز الخارجي، لدينا ^{[ 1 ]}

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

ويترتب على هذه الصيغة ما يلي:

${\displaystyle \displaystyle x>R+r,}$

وهذا يعني أن الدائرة المحيطة والدائرة الخارجية لا يمكن أن تتقاطعا أبداً.

• مربع كامل
• رباعي الأضلاع دوري