حلول معادلات أينشتاين للمجال

حلول معادلات أينشتاين للمجال هي مقاييس للزمكان ناتجة عن حل معادلات أينشتاين للمجال (EFE) في النسبية العامة . ويؤدي حل هذه المعادلات إلى تكوين فضاء لورنتز . تُصنف الحلول عمومًا إلى حلول دقيقة وحلول غير دقيقة .

معادلات أينشتاين للمجال هي

$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\,=\kappa T_{\mu \nu },}$$

أين${\displaystyle G_{\mu \nu }}$هو موتر أينشتاين ،${\displaystyle \Lambda }$هو الثابت الكوني (يُفترض أحيانًا أنه يساوي صفرًا للتبسيط)،${\displaystyle g_{\mu \nu }}$هو موتر القياس ،${\displaystyle \kappa }$ثابت، و${\displaystyle T_{\mu \nu }}$هو موتر الإجهاد والطاقة .

تربط معادلات أينشتاين للمجال موتر أينشتاين بموتر الإجهاد والطاقة، الذي يمثل توزيع الطاقة والزخم والإجهاد في فضاء الزمكان. يتكون موتر أينشتاين من موتر القياس ومشتقاته الجزئية؛ وبالتالي، بمعرفة موتر الإجهاد والطاقة، فإن معادلات أينشتاين للمجال هي نظام من عشر معادلات تفاضلية جزئية يمكن من خلالها إيجاد قيمة موتر القياس.

من المهم إدراك أن معادلات أينشتاين للمجال وحدها لا تكفي لتحديد تطور نظام جاذبي في كثير من الحالات. فهي تعتمد على موتر الإجهاد والطاقة ، الذي يعتمد بدوره على ديناميكيات المادة والطاقة (مثل مسارات الجسيمات المتحركة)، والتي تعتمد بدورها على المجال الجاذبي. إذا كان الاهتمام منصبًا فقط على حد المجال الضعيف للنظرية، فيمكن حساب ديناميكيات المادة باستخدام طرق النسبية الخاصة و/أو قوانين نيوتن للجاذبية، ومن ثم يمكن إدخال موتر الإجهاد والطاقة الناتج في معادلات أينشتاين للمجال. أما إذا تطلب الأمر حلًا دقيقًا أو حلًا يصف المجالات القوية، فيجب حساب تطور كل من المقياس وموتر الإجهاد والطاقة معًا.

للحصول على الحلول، فإن المعادلات ذات الصلة هي معادلة الطاقة الفعالة المذكورة أعلاه (بأي شكل من الأشكال) بالإضافة إلى معادلة الاستمرارية (لتحديد تطور موتر الإجهاد والطاقة):

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}\,=0\,.}$

لا تتجاوز هذه المعادلات 14 معادلة (10 من معادلات المجال و4 من معادلة الاستمرارية)، وهي غير كافية بحد ذاتها لتحديد المجاهيل العشرين (10 مركبات مترية و10 مركبات لموتر الطاقة-الإجهاد). معادلات الحالة غير موجودة. في الحالة العامة، من السهل ملاحظة الحاجة إلى 6 معادلات إضافية على الأقل، وربما أكثر في حال وجود درجات حرية داخلية (مثل درجة الحرارة) قد تتغير عبر الزمكان.

عمليًا، يُمكن عادةً تبسيط المسألة باستبدال مجموعة معادلات الحالة الكاملة بتقريب بسيط. ومن التقريبات الشائعة ما يلي:

• مكنسة :

${\displaystyle T_{ab}\,=0}$

• سائل مثالي :

${\displaystyle T_{ab}\,=(\rho +p)u_{a}u_{b}+pg_{ab}}$أين${\displaystyle u^{a}u_{a}=-1}$

هنا${\displaystyle \rho }$هي كثافة الكتلة والطاقة المقاسة في إطار مرجعي متحرك لحظي،${\displaystyle u_{a}}$يمثل حقل متجه السرعة الرباعي للسائل، و${\displaystyle p}$هذا هو الضغط.

• الغبار غير المتفاعل (حالة خاصة من السائل المثالي):

${\displaystyle T_{ab}\,=\rho u_{a}u_{b}}$

بالنسبة للسائل المثالي، توجد معادلة حالة أخرى تربط الكثافة${\displaystyle \rho }$والضغط${\displaystyle p}$يجب إضافتها. غالبًا ما تعتمد هذه المعادلة على درجة الحرارة، لذا يلزم وجود معادلة انتقال حرارة أو افتراض إمكانية إهمال انتقال الحرارة.

بعد ذلك، لاحظ أن 10 معادلات فقط من أصل 14 معادلة أصلية مستقلة، وذلك بسبب معادلة الاستمرارية.${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$يُعدّ هذا نتيجةً لمعادلات أينشتاين. ويعكس هذا حقيقة أن النظام ثابتٌ تحت تأثير القياس (بشكل عام، في غياب أي تناظر، فإن أي اختيار لشبكة إحداثيات منحنية على النظام نفسه سيُقابله حلٌ مختلفٌ عدديًا). يلزم "تثبيت القياس"، أي أننا نحتاج إلى فرض 4 قيود (اختيارية) على نظام الإحداثيات للحصول على نتائج قاطعة. تُعرف هذه القيود بشروط الإحداثيات .

يُعد مقياس "دي دوندر" خيارًا شائعًا، ويُعرف أيضًا باسم مقياس الحالة التوافقية أو المقياس التوافقي.

${\displaystyle g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }_{\mu \nu }=0\,.}$

في النسبية العددية ، يُعدّ المقياس المفضل هو ما يُسمى "تحليل 3+1"، والمبني على صيغة ADM . في هذا التحليل، يُكتب المقياس على الصورة التالية:

${\displaystyle ds^{2}\,=(-N+N^{i}N^{j}\gamma _{ij})dt^{2}+2N^{i}\gamma _{ij}dtdx^{j}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$، أين${\displaystyle i,j=1\dots 3\,.}$

${\displaystyle N}$و${\displaystyle N^{i}}$هي دوال لإحداثيات الزمكان ويمكن اختيارها بشكل تعسفي في كل نقطة. أما درجات الحرية الفيزيائية المتبقية فتوجد في${\displaystyle \gamma _{ij}}$، وهو ما يمثل المقياس الريماني على الأسطح الفائقة ثلاثية الأبعاد ذات ثابت${\displaystyle t}$على سبيل المثال، اختيار ساذج لـ${\displaystyle N=1}$،${\displaystyle N_{i}=0}$، وهذا يتوافق مع ما يسمى بنظام الإحداثيات المتزامنة : وهو نظام تتطابق فيه الإحداثية t مع الزمن الخاص لأي مراقب متحرك (جسيم يتحرك على طول مسار ثابت)${\displaystyle x^{i}}$مسار.)

بمجرد اختيار معادلات الحالة وتحديد المقياس، يمكن حل المجموعة الكاملة من المعادلات. مع ذلك، حتى في أبسط الحالات، وهي حالة مجال الجاذبية في الفراغ (انعدام موتر الإجهاد والطاقة)، ​​تظل المسألة معقدة للغاية بحيث يتعذر حلها بدقة. وللحصول على نتائج فيزيائية، يمكننا اللجوء إلى الطرق العددية ، أو محاولة إيجاد حلول دقيقة بفرض التناظرات ، أو تجربة مناهج وسطية مثل طرق الاضطراب أو التقريبات الخطية لموتر أينشتاين .

يُعدّ اكتشاف الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين للمجال مجالًا بحثيًا رئيسيًا. ويتمثل حلّ هذه المعادلات في حساب قيمة دقيقة لموتر القياس (الذي يُحدد انحناء وهندسة الزمكان) في ظل شروط فيزيائية معينة. لا يوجد تعريف رسمي لما يُشكّل هذه الحلول، لكن يتفق معظم العلماء على أنه ينبغي التعبير عنها باستخدام الدوال الأولية أو المعادلات التفاضلية الخطية . ^{[ 1 ]} ومن أبرز حلول هذه المعادلات ما يلي:

• يصف حل شوارزشيلد الزمكان المحيط بجسم ضخم غير مشحون وغير دوار ذي تناظر كروي . بالنسبة للأجسام المدمجة بدرجة كافية، يُولّد هذا الحل ثقبًا أسودًا ذا نقطة تفرد مركزية . ^{[ 2 ]} عند النقاط البعيدة عن الكتلة المركزية، تكون التسارعات التي يتنبأ بها حل شوارزشيلد مطابقة تقريبًا لتلك التي تتنبأ بها نظرية نيوتن للجاذبية. ^{[ 3 ]}
• تم اكتشاف حل رايسنر -نوردستروم ، الذي يحلل جسمًا كرويًا متناظرًا غير دوار يحمل شحنة، بشكل مستقل من قبل العديد من الباحثين المختلفين بين عامي 1916 و1921. ^{[ 4 ]} في بعض الحالات، يمكن لهذا الحل أن يتنبأ بوجود ثقوب سوداء ذات آفاق حدث مزدوجة . ^{[ 5 ]}
• يُعدّ حل كير تعميماً لحل شوارزشيلد ليشمل الأجسام الضخمة الدوارة. ونظراً لصعوبة إدخال تأثيرات الدوران في معادلات أينشتاين للمجال، لم يُكتشف هذا الحل حتى عام 1963. ^{[ 6 ]}
• حل كير -نيومان للأجسام الضخمة المشحونة والدوارة. تم اشتقاق هذا الحل في عام 1964، باستخدام نفس تقنية تحويل الإحداثيات المركبة التي استُخدمت في حل كير. ^{[ 7 ]}
• حلّ فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر الكوني ، الذي اكتشفه ألكسندر فريدمان عام 1922 ثم أكده جورج لومتر عام 1927 ، كان ثوريًا في التنبؤ بتوسع الكون ، وهو ما تأكد بعد سبع سنوات من خلال سلسلة من القياسات التي أجراها إدوين هابل . ^{[ 8 ]} بل وأظهر أن النسبية العامة لا تتوافق مع كون ثابت ، وقد أقرّ أينشتاين لاحقًا بأنه كان مخطئًا في تصميم معادلات المجال الخاصة به لتفسير كون غير متوسع. ^{[ 9 ]}

لا تزال هناك العديد من الحالات المهمة التي لم تُحل فيها معادلات أينشتاين للمجال. ومن أبرزها مسألة الجسمين ، التي تتعلق بهندسة الزمكان حول جسمين ضخمين يتفاعلان، مثل الشمس والأرض، أو نجمين في نظام نجمي ثنائي . وتزداد المسألة تعقيدًا عند النظر في تفاعلات ثلاثة أجسام ضخمة أو أكثر ( مسألة الأجسام المتعددة ). ومع ذلك، لا يزال من الممكن إيجاد حل تقريبي لمعادلات المجال في مسألة الأجسام المتعددة باستخدام تقنية التوسع ما بعد النيوتوني . ^{[ 10 ]} وبشكل عام، فإن اللاخطية الشديدة لمعادلات أينشتاين للمجال تجعل حلها صعبًا في جميع الحالات باستثناء الحالات الأكثر تحديدًا. ^{[ 11 ]}

تُسمى الحلول غير الدقيقة بالحلول غير الدقيقة . وتنشأ هذه الحلول أساسًا لصعوبة حل معادلة الطاقة الكامنة بصيغة مغلقة، وغالبًا ما تتخذ شكل تقريبات للنظام المثالي. في معظم السيناريوهات الفيزيائية، يستحيل إيجاد حل دقيق، لذا تُجرى تقريبات. في مثل هذه الحالات، يمكن استخدام الحلول غير الدقيقة لنمذجة الأنظمة الكونية الواقعية. إضافةً إلى ذلك، قد تخلو العديد من الحلول غير الدقيقة من أي محتوى فيزيائي، لكنها تُعدّ أمثلة مضادة مفيدة للفرضيات النظرية.

غالبًا ما تُكتشف الحلول غير الدقيقة باستخدام الطرق العددية أو نظرية الاضطراب . تشمل الطرق الاضطرابية الشائعة استخدام توسيع ما بعد نيوتن ، الذي يبدأ بخط أساس نيوتني ويُضاف إليه تصحيحات لمراعاة التأثيرات النسبية. ^{[ 12 ]} تشمل الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية المقترنة الطرق الطيفية التي تُوسّع فيها الدوال في مجموعات من كثيرات الحدود أو الدوال المتعامدة، وطرق الفروق المحدودة، وطرق العناصر المحدودة. ^{[ 13 ]} تُستخدم المحاكاة الحاسوبية أيضًا بشكل متكرر لإيجاد حلول غير دقيقة، لا سيما في سيناريوهات المجالات القوية مثل النجوم الضخمة أو الثقوب السوداء ، ويمكن أن تساعد في اكتشاف السلوكيات الحرجة والظواهر غير المتوقعة. ^{[ 14 ]} يُطلق على استخدام المحاكاة الحاسوبية لإيجاد هذه الحلول اسم النسبية العددية .

هناك أسباب عملية ونظرية لدراسة حلول معادلات أينشتاين للمجال.

من وجهة نظر رياضية بحتة، من المهم معرفة مجموعة حلول معادلات أينشتاين للمجال. بعض هذه الحلول مُعَلم بمعامل واحد أو أكثر. أما من وجهة نظر فيزيائية، فإن معرفة حلول معادلات أينشتاين للمجال تُتيح نمذجة دقيقة للغاية للظواهر الفيزيائية الفلكية، بما في ذلك الثقوب السوداء والنجوم النيوترونية والأنظمة النجمية. ويمكن وضع تنبؤات تحليلية حول النظام المدروس؛ وتشمل هذه التنبؤات ترنح حضيض عطارد ، ووجود منطقة دوران متزامنة داخل الثقوب السوداء الدوارة ، ومدارات الأجسام حول الأجرام الضخمة.

• حساب ريتشي
• ألبرت أينشتاين

• ويلر، جيه إيه؛ ميسنر، سي؛ ثورن، كيه إس (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.
• ويلر، جيه إيه؛ سيوفوليني، آي. (1995). الجاذبية والقصور الذاتي . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-03323-5.
• لامبورن، آر جيه إيه (2010). النسبية والجاذبية وعلم الكونيات . الجامعة المفتوحة ، مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-13138-4.