الوظيفة الأساسية

في الرياضيات ، الدالة الأولية هي دالة لمتغير واحد ( حقيقي أو مركب ) يصادفها المبتدئون عادةً. تشمل الدوال الأولية الأساسية دوال كثيرات الحدود ، والدوال الكسرية ، والدوال المثلثية ، والدوال الأسية واللوغاريتمية ، والجذر النوني ، والدوال المثلثية العكسية ، بالإضافة إلى الدوال الناتجة عن جمع وضرب وقسمة وتركيب هذه الدوال. بعض الدوال التي يصادفها المبتدئون ليست أولية، مثل الدوال المعرفة على أجزاء . وبشكل أعم، في بعض المعالجات الحديثة، تشمل الدوال الأولية مجموعة الدوال المذكورة سابقًا، وجميع الدوال الجبرية ، وجميع الدوال الناتجة عن جذور كثيرات الحدود التي تكون معاملاتها أولية.

عرّف جوزيف ليوفيل الدوال الأولية لأول مرة عام 1833. ومن خصائصها الأساسية أن جميع الدوال الأولية لها مشتقات من أي رتبة، وهي أيضًا دوال أولية، ويمكن حسابها خوارزميًا بتطبيق قواعد التفاضل (أو قواعد التفاضل الضمني في حالة الجذور). تتقارب متسلسلة تايلور للدالة الأولية في جوار كل نقطة من مجالها. وبشكل أعم، هي دوال تحليلية شاملة ، مُعرّفة (ربما بقيم متعددة ، مثل الدالة الأولية).${\displaystyle {\sqrt {z}}}$أو${\displaystyle \log z}$) لكل وسيط معقد ، باستثناء النقاط المعزولة . في المقابل، لا يشترط أن تكون الدوال الأصلية للدوال الأولية أولية، ومن الصعب تحديد ما إذا كانت دالة أولية معينة لها دالة أصلية أولية.

تُشير نتيجة ليوفيل إلى أنه إذا كانت للدالة الأولية دالة أصلية أولية، فإن هذه الدالة الأصلية هي توليفة خطية من اللوغاريتمات، حيث تكون معاملات اللوغاريتمات ووسائطها دوالًا أولية تدخل، بشكل أو بآخر، في تعريف الدالة. ويمكن لخوارزمية ريش (1968) تحديد ما إذا كانت للدالة الأولية دالة أصلية أولية، وإذا كان الأمر كذلك، حسابها. ومع ذلك، اعتبارًا من عام 2025لا يوجد تطبيق كامل. ^{[ 1 ]}

في سياقات المتغيرات الحقيقية الأولية، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل وما قبله، غالبًا ما تُفسَّر التعبيرات التي تتضمن جذورًا ولوغاريتمات ودوال مثلثية عكسية باستخدام فروع حقيقية ثابتة على نطاقات حقيقية محددة. يختلف هذا الاصطلاح عن الاصطلاح التحليلي المستخدم في نظرية الدوال الأولية والتكامل بحدود منتهية. يقدم ريش تعريفًا دقيقًا للدوال الأولية "بمعنى التحليل" باستخدام دوال لمتغير مركب بدلًا من متغير حقيقي. في هذا السياق، تُبنى الدوال الأولية باستخدام العمليات الجبرية والدوال الأسية واللوغاريتمية، وتُمثَّل في حقول تفاضلية من الدوال الميرومورفية على مناطق من المستوى المركب أو على أسطح ريمان. ^{[ 7 ]}

معادلة جبرية مثل $${\displaystyle y^{2}=x^{2}}$$ يحتوي على الفروع التحليلية المحلية${\displaystyle y=x}$و${\displaystyle y=-x}$الهوية الحقيقية $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|}$$ يستخدم الاصطلاح الذي${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$يرمز إلى الجذر التربيعي الحقيقي غير السالب، وبالتالي ينتقل من فرع تحليلي إلى آخر عند${\displaystyle x=0}$وبالتالي فإن قيود${\displaystyle |x|}$ل${\displaystyle (0,\infty )}$و${\displaystyle (-\infty ,0)}$هي أساسية، لكن دالة القيمة المطلقة الحقيقية المعتادة على فترة تحتوي على${\displaystyle 0}$ليس فرعًا تحليليًا واحدًا.

يظهر التمييز نفسه في التحليل المركب. ويشير ويتاكر وواتسون إلى أنه على الرغم من${\displaystyle x-iy}$و${\displaystyle |z|}$، أين${\displaystyle z=x+iy}$، هي وظائف${\displaystyle z}$بشكل عام، لا تُعدّ هذه الدوال دوالًا أولية من النوع التحليلي قيد الدراسة. ^{[ 8 ]} في الحساب الرمزي، يمكن معالجة دوال مثل القيمة المطلقة، والإشارة، والدوال المُعرَّفة على أجزاء، عن طريق إضافة خطوة أو عملية شرطية، مما يُشكّل فئة منفصلة من حلقات الدوال المُعرَّفة على أجزاء. ^{[ 9 ]}

يستنتج مباشرةً من التعريف أن مجموعة الدوال الأولية مغلقة تحت العمليات الحسابية، واستخراج الجذور (الجبرية)، والتركيب. الدوال الأولية مغلقة تحت التفاضل ، لكنها ليست مغلقة تحت النهايات والمجاميع اللانهائية . ومن المهم الإشارة إلى أن الدوال الأولية ليست مغلقة تحت التكامل ، كما هو موضح في نظرية ليوفيل (انظر التكامل غير الأولي ). تُعرَّف دوال ليوفيل بأنها الدوال الأولية، وبشكل تكراري، تكاملات دوال ليوفيل.

في التحليل الرياضي في أواخر القرن التاسع عشر، كانت الدوال الأولية تُصنَّف غالبًا إلى أنواع متتالية وفقًا لعدد عمليات التكامل المستقلة اللازمة لتعريفها. كانت الدوال التي يمكن التعبير عنها دون أي تكامل - أي تلك المُشتقة من الدوال الكسرية بواسطة عمليات جبرية بالإضافة إلى الأسس واللوغاريتمات والدوال المثلثية الدائرية أو الزائدية - تُسمى دوالًا أولية من النوع الأول (بمعنى ليوفيل). أما الدوال المُعرَّفة بتكامل واحد لدالة جبرية، مثل دالة الخطأ والتكاملات الإهليلجية، فكانت تُسمى دوالًا أولية من النوع الثاني؛ واعتُبرت معكوساتها، أي الدوال الإهليلجية، من نفس الرتبة. أما "الأنواع" الأعلى (الثالث والرابع، إلخ) فكانت تُقابل تكاملات متعددة للدوال الجبرية، مما يُؤدي إلى ظهور الدوال الإهليلجية الفائقة والدوال الأبيلية الأكثر عمومية. ^{[ 10 ]}

كانت النقطة الأساسية للتصنيف هي أن تكون فئة الدوال الأولية من أي نوع معين مغلقة تحت العمليات الأولية - الجمع والضرب والتركيب والتفاضل - بحيث لا يؤدي التفاضل أبدًا إلى خارج نفس الفئة، بينما قد يصعد التكامل إلى النوع الأعلى التالي.

في الآونة الأخيرة، اقترح البعض توسيع مجموعة الدوال الأولية بإضافة دوال متسامية معينة ، لتشمل، على سبيل المثال، دالة لامبرت W ^{[ 11 ]} أو الدوال الإهليلجية ^{[ 12 ]} ، وجميعها دوال تحليلية. السمة الأساسية، من منظور نظرية ليوفيل، هي أنها، كفئة، مغلقة تحت الاشتقاق. على سبيل المثال، دالة لامبرت${\displaystyle w=W(z)}$، والذي يتم تعريفه ضمنيًا بواسطة المعادلة ⁠${\displaystyle we^{w}=z}$، له مشتقة يمكن الحصول عليها عن طريق التفاضل الضمني :

${\displaystyle W'(z)={\frac {e^{-W(z)}}{1+W(z)}},}$

وهو أمر "بسيط" مرة أخرى، بشرط أن${\displaystyle W(z)}$يكون.

يُصاغ التعريف الرياضي للدالة الأولية في الجبر التفاضلي . الحقل التفاضلي هو حقلٌ يتضمن عملية اشتقاق إضافية (الصيغة الجبرية للتفاضل). باستخدام عملية الاشتقاق، يمكن كتابة معادلات جديدة واستخدام حلولها في توسيعات الجبر. بالبدء بحقل الدوال الكسرية ، يمكن إضافة نوعين خاصين من الامتدادات المتسامية (اللوغاريتمية والأسية) إلى الحقل، مما يُشكل سلسلةً تحتوي على الدوال الأولية.

حقل تفاضلي​${\displaystyle F}$⁠ هو حقل مع اشتقاق ⁠${\displaystyle u\mapsto \partial u}$تلك الخرائط​${\displaystyle F}$إلى نفسها. الاشتقاق يعمم المشتقة ، كونها خطية (أي ،${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$) وتحقيق قاعدة لايبنتز للضرب (أي، ⁠${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v}$) لكل عنصرين${\displaystyle u}$و​​${\displaystyle v}$في​​${\displaystyle F}$الدوال الكسريةعلى​​${\displaystyle \mathbb {Q} }$من​​${\displaystyle \mathbb {C} }$تشكل أمثلة أساسية للحقول التفاضلية، عند تزويدها بالمشتقة المعتادة.

عنصر​${\displaystyle h}$من​​${\displaystyle F}$يكون ثابتًا إذا${\displaystyle \partial h=0}$ثوابت​​${\displaystyle F}$⁠ تشكيل حقل تفاضلي ذي مشتقة صفرية. يجب الانتباه إلى أن امتداد الحقل التفاضلي لحقل تفاضلي قد يؤدي إلى توسيع حقل الثوابت.

دالة​${\displaystyle u}$امتداد تفاضلي​${\displaystyle G}$حقل تفاضلي​${\displaystyle F}$هي دالة أولية على​${\displaystyle F}$إذا كان ينتمي إلى سلسلة منتهية (للاحتواء) من الحقول الفرعية التفاضلية لـ${\displaystyle G}$ذلك يبدأ من${\displaystyle F}$ويكون ذلك بحيث يتم توليد كل منها على سابقتها بواسطة دالة إما

• جبري على الحقل السابق، أو
• دالة أسية ، أي${\displaystyle \partial u=u\partial a}$بالنسبة للبعض ، ينتمي إلى مجال فرعي سابق، أو
• اللوغاريتم ، أي​${\displaystyle \partial u=\partial a/a}$بالنسبة لبعض الانتماء إلى حقل فرعي سابق، (انظر نظرية ليوفيل )

وفقًا لهذا التعريف، فإن الدوال الأولية المعتادة هي تحديدًا الدوال الأولية على حقل الدوال الكسرية . يسمح هذا التعريف المعمم باعتبار كل دالة متسامية دالة أولية لتطبيق نظرية ليوفيل.

• الدالة الجبرية
• الصيغة المغلقة – صيغة رياضية تتضمن مجموعة معينة من العمليات 
• نظرية غالوا التفاضلية
• الحساب الوظيفي الأساسي – نظام الحساب في نظرية البرهان 
• نظرية ليوفيل (الجبر التفاضلي) – معيار التكامل بدلالة الدوال الأولية 
• نظرية ريتشاردسون : عدم قابلية حسم متباينات الأعداد الحقيقية المُشكَّلة من فئة من الدوال الأولية
• مشكلة تارسكي في الجبر في المدرسة الثانوية
• الدالة المتسامية – دالة تحليلية لا تحقق معادلة متعددة الحدود 

• فورسيث، أندرو (1893). نظرية الدوال لمتغير مركب . كامبريدج. JFM 25.0652.01 . 
• ليوفيل، جوزيف (1833 أ). "الذاكرة الأولى حول تحديد التكاملات دون القيمة الجبرية" . مجلة مدرسة البوليتكنيك . المجلد الرابع عشر: 124 – 148.
• ليوفيل، جوزيف (1833ب). "المذكرة الثانية حول تحديد التكاملات دون القيمة الجبرية" . مجلة مدرسة البوليتكنيك . المجلد الرابع عشر: 149 – 193.
• ليوفيل، جوزيف (1833ج). "ملاحظة حول تحديد التكاملات دون أن تكون القيمة جبرية" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347 – 359.
• فون مورينشيلدت، مارتن (1998)، "صيغة طبيعية لحلقات الدوال المتعددة الأجزاء"، مجلة الحساب الرمزي ، 26 (5): 607-619 ، doi : 10.1006/jsco.1998.0229.
• ريش، آر إتش (1969)، "مشكلة التكامل في الحدود المحدودة"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 139 ، الجمعية الرياضية الأمريكية: 167-189 ، doi : 10.2307/1995313 ، JSTOR 1995313 .
• ريت، جوزيف (1950). الجبر التفاضلي . الجمعية الأمريكية للرياضيات .
• روزنليخت، ماكسويل (1972). "التكامل في الحدود المحدودة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 79 (9): 963-972 . doi : 10.2307/2318066 . JSTOR 2318066 . 
• ويتاكر، إدموند تايلور ؛ واتسون، جورج نيفيل (2 يناير 1927). دورة في التحليل الحديث: مقدمة في النظرية العامة للعمليات اللانهائية والدوال التحليلية؛ مع شرح للدوال المتسامية الرئيسية (  الطبعة الرابعة). كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة الجامعة .

• دافنبورت، جيمس هـ. (2007). "ماذا قد يعني "فهم دالة"؟". نحو مساعدين رياضيين آليين . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  4573. الصفحات 55-65 . doi : 10.1007/978-3-540-73086-6_5 . ISBN  978-3-540-73083-5. S2CID 8049737 . 

• الدوال الأساسية في موسوعة الرياضيات
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة الأولية" . عالم الرياضيات .