كائن أسي

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الفئات ، يُعدّ الكائن الأسي أو كائن التطبيق تعميمًا فئويًا لفضاء الدوال في نظرية المجموعات . تُسمى الفئات التي تحتوي على جميع المنتجات المنتهية والكائنات الأسية بالفئات المغلقة الديكارتية . قد تمتلك الفئات (مثل الفئات الفرعية من فئة Top ) التي لا تحتوي على منتجات مترافقة قانونًا أسيًا . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يترك${\displaystyle \mathbf {C} }$لنفترض أن تكون فئة،${\displaystyle Z}$و${\displaystyle Y}$أن تكون موضوعات${\displaystyle \mathbf {C} }$ودع${\displaystyle \mathbf {C} }$جميع المنتجات الثنائية مع${\displaystyle Y}$. شيء${\textstyle Z^{Y}}$بالإضافة إلى التشكل${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$يكون كائنًا أسيًا إذا كان لأي كائن${\displaystyle X}$والتشكل${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$يوجد شكل فريد${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$( يسمى منقولة${\displaystyle g}$) بحيث يكون المخطط التالي تبادليًا :

هذه المهمة الفريدة${\displaystyle \lambda g}$لكل${\displaystyle g}$يُثبت تماثلًا ( تقابلًا ) بين مجموعات التماثل ،${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

لو${\textstyle Z^{Y}}$موجود لجميع الكائنات${\displaystyle Z,Y}$في${\displaystyle \mathbf {C} }$ثم الدالة${\displaystyle (-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$تعريف على الكائن بواسطة${\displaystyle Z\mapsto Z^{Y}}$وعلى الأسهم بواسطة${\displaystyle (f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})}$، هو المرافق الأيمن لدالة الضرب${\displaystyle -\times Y}$ولهذا السبب، فإن التشكلات${\displaystyle \lambda g}$و${\displaystyle g}$تُسمى أحيانًا بالدوال المرافقة الأسية لبعضها البعض. ^{[ 3 ]}

في فئة المجموعات ، كائن أسي${\displaystyle Z^{Y}}$هي مجموعة جميع الدوال${\displaystyle Y\to Z}$[ ^{4 ]} الخريطة^​${\displaystyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$هي مجرد خريطة التقييم ، التي ترسل الزوج${\displaystyle (f,y)}$ل${\displaystyle f(y)}$لأي خريطة${\displaystyle g\colon X\times Y\to Z}$الخريطة${\displaystyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$هو الشكل المطبوخ بالكاري من${\displaystyle g}$:

${\displaystyle \lambda g(x)=y\mapsto g(x,y).\,}$

جبر هيتينغ${\displaystyle H}$هي مجرد شبكة محدودة تحتوي على جميع الكائنات الأسية. دلالة هيتينغ،${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$، هو رمز بديل لـ${\displaystyle Z^{Y}}$تؤدي نتائج الإضافة المذكورة أعلاه إلى الاستلزام (${\displaystyle \Rightarrow :H\times H\to H}$) كونه مجاورًا يمينًا للقاء (${\displaystyle \wedge :H\times H\to H}$يمكن كتابة هذا الملحق على النحو التالي:${\displaystyle (-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)}$أو بشكل أكثر تفصيلاً على النحو التالي: $${\displaystyle (-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)}$$

في فئة الفضاءات الطوبولوجية ، الكائن الأسي${\displaystyle Z^{Y}}$يوجد بشرط أن${\displaystyle Y}$هو فضاء هاوسدورف مضغوط محليًا . في هذه الحالة، الفضاء${\displaystyle Z^{Y}}$هي مجموعة جميع الدوال المتصلة من${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle Z}$بالإضافة إلى الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة . خريطة التقييم هي نفسها كما في فئة المجموعات؛ وهي متصلة بالطوبولوجيا المذكورة أعلاه. ^{[ 5 ]} إذا${\displaystyle Y}$إذا لم يكن فضاء هاوسدورف متراصًا محليًا، فقد لا يوجد الكائن الأسي (الفضاء).${\displaystyle Z^{Y}}$لا يزال موجودًا، لكنه قد لا يكون كائنًا أُسّيًا لأن دالة التقييم ليست بالضرورة متصلة. لهذا السبب، لا تكون فئة الفضاءات الطوبولوجية مغلقة ديكارتيًا . ومع ذلك، فإن فئة الفضاءات الطوبولوجية المدمجة محليًا ليست مغلقة ديكارتيًا أيضًا، لأن${\displaystyle Z^{Y}}$لا يشترط أن تكون المساحات صغيرة الحجم محليًا.${\displaystyle Z}$و${\displaystyle Y}$على سبيل المثال، يتم إعطاء فئة مغلقة ديكارتية من الفضاءات بواسطة الفئة الفرعية الكاملة التي تمتد بواسطة فضاءات هاوسدورف المولدة بشكل مضغوط .

في لغات البرمجة الوظيفية ، التشكل${\displaystyle \operatorname {eval} }$يُطلق عليه غالبًا اسم${\displaystyle \operatorname {apply} }$والتركيب النحوي${\displaystyle \lambda g}$غالباً ما يُكتب${\displaystyle \operatorname {curry} (g)}$التشوه${\displaystyle \operatorname {eval} }$لا ينبغي الخلط بينها وبين evalالدالة الموجودة في بعض لغات البرمجة ، والتي تقوم بتقييم التعبيرات المقتبسة.

• فئة أحادية مغلقة

• أداميك، جيري؛ هورست هيرليش ؛ جورج ستريكر (2006) [1990]. الفئات المجردة والخرسانية (متعة القطط) . جون وايلي وأولاده.
• أوودي، ستيف (2010). "الفصل 6: الدوال الأسية". نظرية الفئات . أكسفورد، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0199237180.
• ماك لين، سوندرز (1998). "الفصل 4: المرافقات". التصنيفات للرياضي العامل . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0387984032.

• صفحة ويب تفاعلية تُنشئ أمثلة على الكائنات الأسية وغيرها من البنى التصنيفية. من تأليف جوسلين باين .