التكامل المثلثي

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة
رسم بياني لدالة التكامل الجيبي الزائدي Shi(z) في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i
رسم بياني لدالة التكامل الجيبي الزائدي Shi( z ) في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i

تم عرض Si( x ) (باللون الأزرق) و Ci( x ) (باللون الأخضر) على نفس الرسم البياني.
التكامل الجيبي في المستوى المركب، مرسوم باستخدام نوع مختلف من تلوين المجال .
التكامل الجيبي في المستوى المركب. لاحظ القطع الفرعي على طول المحور الحقيقي السالب.

في الرياضيات ، تعتبر التكاملات المثلثية عائلة من التكاملات غير الأولية التي تتضمن الدوال المثلثية .

التكامل الجيبي

رسم بياني لـ Si( x ) لـ 0 ≤ x ≤ 8 π .
رسم بياني لدالة التكامل الجيبية Ci(z) في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i
رسم بياني لدالة التكامل الجيبية Ci( z ) في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i

التعريفات المختلفة للتكامل الجيبي هي نعم⁡(x)=-∫0xالخطيئة⁡تتدتنعم⁡(x)=-∫x∞الخطيئة⁡تتدت .\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&={\hphantom {-}}\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\\\operatorname {si} (x)&=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.\end{aligned}}}

لاحظ أن الدالة التكامليةالخطيئة⁡تت{\textstyle {\frac {\sin t}{t}}}هي دالة sinc ، وهي أيضًا دالة بيسل الكروية الصفرية . بما أنمنذ{\displaystyle \operatorname {sinc} }هي دالة زوجية تامة ( هولومورفية على كامل المستوى العقدي ) ،نعم{\displaystyle \operatorname {Si} }⁠ كاملة وفردية، ويمكن أخذ التكامل في تعريفها على طول أي مسار يربط بين نقطتي النهاية.

بحسب التعريف ،نعم⁡(x){\displaystyle \operatorname {Si} (x)}⁠ هو مضاد الاشتقاق لـ ⁠الخطيئة⁡xx{\displaystyle \textstyle {\frac {\sin x}{x}}}قيمتها تساوي صفرًا عندx=0{\displaystyle x=0}، و​نعم⁡(x){\displaystyle \operatorname {si} (x)}⁠ هي الدالة الأصلية التي تساوي قيمتها صفرًا عند ⁠x=∞{\displaystyle x=\infty }. يُعطى الفرق بينهما بواسطة تكامل ديريشليه ، نعم⁡(x)-نعم⁡(x)=∫0∞الخطيئة⁡تتدت=π2 أو نعم⁡(x)=π2+نعم⁡(x) .{\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ أو }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}

في معالجة الإشارات ، تتسبب تذبذبات التكامل الجيبي في حدوث تجاوزات وتشوهات رنين عند استخدام مرشح sinc ، ورنين في مجال التردد إذا تم استخدام مرشح sinc مقطوع كمرشح تمرير منخفض .

يرتبط بذلك ظاهرة جيبس : إذا تم اعتبار التكامل الجيبي بمثابة التفاف دالة sinc مع دالة هيفسايد ، فإن هذا يتوافق مع اقتطاع سلسلة فورييه ، وهو سبب ظاهرة جيبس.

التكامل الجيبي

قطعة من Ci( x ) لـ 0 < x ≥ 8 π

التعريفات المختلفة لتكامل جيب التمام هي سين⁡(x)≡∫0x1-كوس⁡تتدت.{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt.}

⁠سين{\displaystyle \operatorname {Cin} }هي دالة زوجية كاملة.ولهذا السبب، تُعرّف بعض النصوص ⁠سين{\displaystyle \operatorname {Cin} }باعتبارها الوظيفة الأساسية، واشتقاقCi{\displaystyle \operatorname {Ci} }من حيث​سين{\displaystyle \operatorname {Cin} }[ 1 ]​​

Ci⁡(x)≡ -∫x∞كوس⁡تتدت=γ+ln⁡x-∫0x1-كوس⁡تتدت=γ+ln⁡x-سين⁡(x)،{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (x)&\equiv ~-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt\\&=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\\[0.4em]&=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x),\end{aligned}}} لـ​|أرج⁡(x)|<π{\displaystyle |\operatorname {Arg} (x)|<\pi }، حيث​γ≈0.57721566490...{\displaystyle \gamma \approx 0.57721566490\dots }⁠ هو ثابت أويلر-ماسكيروني . تستخدم بعض النصوص ⁠ci{\displaystyle \اسم المشغل {ci} }بدلاً من​Ci{\displaystyle \operatorname {Ci} }يتمثل القيد المفروض على Arg(x) في تجنب عدم الاستمرارية (الموضحة بالمنطقة البرتقالية مقابل المنطقة الزرقاء في النصف الأيسر من الرسم البياني أعلاه ) والتي تنشأ بسبب قطع فرعي في دالة اللوغاريتم القياسي(ln{\displaystyle \ln }) .

⁠Ci⁡(x){\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}⁠ هو مضاد الاشتقاق لـ ⁠كوس⁡xx{\displaystyle \textstyle {\frac {\cos x}{x}}}( الذي يختفي عندماx→∞{\displaystyle x\to \infty }يرتبط التعريفان بـCi⁡(x)=γ+ln⁡x-سين⁡(x).{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x).}

التكامل الجيبي الزائدي

يُعرَّف التكامل الجيبي الزائدي على النحو التالي:شي⁡(x)=∫0xسينه⁡تتدت.{\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt.}

وهي مرتبطة بتكامل الجيب العادي من خلال نعم⁡(أناx)=أناشي⁡(x).{\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}

التكامل الجيب التمامي الزائدي

التكامل الجيب التمامي الزائدي هو

رسم بياني لدالة التكامل الجيبية الزائدية Chi(z) في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i
رسم بياني لدالة التكامل الجيبية الزائدية Chi( z ) في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i

تشي⁡(x)=γ+ln⁡x+∫0xضرب بالعصا⁡(ت)-1تدت  ل  |أرج⁡(x)|<π ،{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh(t)-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,} أينγ{\displaystyle \gamma }هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

تتضمن توسعة السلسلة تشي⁡(x)=γ+ln⁡x+x24+x496+x64320+x8322560+x1036288000+يا(x12).{\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}

الوظائف المساعدة

يمكن فهم التكاملات المثلثية من خلال ما يسمى " الدوال المساعدة ". و(x)≡∫0∞الخطيئة⁡تت+xدت=∫0∞هـ-xتت2+1دت=-Ci⁡(x)الخطيئة⁡x-نعم⁡(x)كوس⁡x=-Ci⁡(x)الخطيئة⁡x+[π2-نعم⁡(x)]كوس⁡x،ز(x)≡∫0∞كوس⁡تت+xدت=∫0∞تهـ-xتت2+1دت=-Ci⁡(x)كوس⁡x-نعم⁡(x)الخطيئة⁡x=-Ci⁡(x)كوس⁡x+[π2-نعم⁡(x)]الخطيئة⁡x.\begin{aligned}f(x)&\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t+x}}\,dt\quad =\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt\\[.3em]&={\hphantom {-}}\operatorname {Ci} (x)\sin x-\operatorname {si} (x)\cos x\\&={\hphantom {-}}\operatorname {Ci} (x)\sin x+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos x\,,\\[0.5em]g(x)&\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac \begin{aligned} ... باستخدام هذه الدوال، يمكن إعادة صياغة التكاملات المثلثية على النحو التالي [ 2 ]نعم⁡(x)=π2-و(x)كوس⁡x+ز(x)الخطيئة⁡x،Ci⁡(x)=π2-و(x)الخطيئة⁡x-ز(x)كوس⁡x.\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos x+g(x)\sin x\,,\\\operatorname {Ci} (x)&={\hphantom {{\frac {\pi }{2}}-\mathop {} }}f(x)\sin xg(x)\cos x\,.\end{aligned}}}

لولب نيلسن

لولب نيلسن.

اللولب المتشكل من خلال الرسم البياني البارامتري لـنعم{\displaystyle \operatorname {si} }،​​ci{\displaystyle \اسم المشغل {ci} }يُعرف باسم حلزون نيلسن. x(ت)=أ×ci⁡(ت)y(ت)=أ×نعم⁡(ت){\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a\times \operatorname {ci} (t)\\y(t)&=a\times \operatorname {si} (t)\end{aligned}}}

يرتبط الحلزون ارتباطًا وثيقًا بتكاملات فرينل وحلزون أويلر . [ 3 ] ولحلزون نيلسن تطبيقات في معالجة الصور، وبناء الطرق والسكك الحديدية، وغيرها من المجالات.

توسع

يمكن استخدام صيغ مختلفة لتقييم التكاملات المثلثية، وذلك اعتمادًا على نطاق الوسيط.

المتسلسلات التقاربية (للمتغيرات الكبيرة)

نعم⁡(x)∼π2-كوس⁡xx(1-2!x2+4!x4-6!x6+⋯)-الخطيئة⁡xx(1x-3!x3+5!x5-7!x7+⋯)،Ci⁡(x)∼π2-الخطيئة⁡xx(1-2!x2+4!x4-6!x6+⋯)-كوس⁡xx(1x-3!x3+5!x5-7!x7+⋯).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}+\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}+\cdots \right)\,,\\\operatorname {Ci} (x)&\sim {\hphantom {{\frac {\pi }{2}}-\mathop {} }}{\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}+\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}+\cdots \right)\,.\end{aligned}}}

هذه المتسلسلات تقاربية ومتباعدة، على الرغم من إمكانية استخدامها للتقديرات وحتى التقييم الدقيق عند ⁠ℜ(x)≫1{\displaystyle \Re (x)\gg 1}⁠ .

المتسلسلات المتقاربة

نعم⁡(x)=∑ن=0∞(-1)نx2ن+1(2ن+1)(2ن+1)!=x-x33!⋅3+x55!⋅5-x77!⋅7±⋯{\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }Ci⁡(x)=γ+ln⁡x+∑ن=1∞(-1)نx2ن2ن(2ن)!=γ+ln⁡x-x22!⋅2+x44!⋅4∓⋯{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }

تتقارب هذه المتسلسلات عند أي عدد مركب .x{\displaystyle x}، على الرغم من أن|x|≫1{\displaystyle |x|\gg 1}، ستتقارب السلسلة ببطء في البداية، مما يتطلب العديد من الحدود للحصول على دقة عالية.

اشتقاق متسلسلة تايلور

من متسلسلة ماكلورين لتوسيع دالة الجيب: الخطيئة⁡x=x-x33!+x55!-x77!+x99!-x1111!+⋯الخطيئة⁡xx=1-x23!+x45!-x67!+x89!-x1011!+⋯∴∫الخطيئة⁡xxدx=x-x33!⋅3+x55!⋅5-x77!⋅7+x99!⋅9-x1111!⋅11+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots \\&{\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots \\&\therefore \int {\frac {\sin x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots \end{aligned}}}

العلاقة مع التكامل الأسي للوسيط التخيلي

الوظيفة هـ1⁡(z)=∫1∞خبرة⁡(-zت)تدت  ل  ℜ(z)≥0{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0} يُطلق عليه اسم التكامل الأسي . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بـ Si و Ci . هـ1⁡(أناx)=أنا(-π2+نعم⁡(x))-Ci⁡(x)=أنانعم⁡(x)-Ci⁡(x)  ل  x>0 .{\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {Ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}

بما أن كل دالة على حدة تحليلية باستثناء القطع عند القيم السالبة للمتغير، فيجب توسيع نطاق صلاحية العلاقة إلى (خارج هذا النطاق، تظهر حدود إضافية هي عوامل صحيحة لـ π في التعبير).

حالات الوسيط التخيلي للدالة التكاملية الأسية المعممة هي ∫1∞كوس⁡(أx)ln⁡xxدx=-π224+γ(γ2+ln⁡أ)+ln2⁡أ2+∑ن≥1(-أ2)ن(2ن)!(2ن)2 ،{\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,} وهو الجزء الحقيقي من ∫1∞هـأناأxln⁡xxدx=-π224+γ(γ2+ln⁡أ)+ln2⁡أ2-π2أنا(γ+ln⁡أ)+∑ن≥1(أناأ)نن!ن2 .{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}

بصورة مماثلة ∫1∞هـأناأxln⁡xx2دx=1+أناأ[-π224+γ(γ2+ln⁡أ-1)+ln2⁡أ2-ln⁡أ+1]+πأ2(γ+ln⁡أ-1)+∑ن≥1(أناأ)ن+1(ن+1)!ن2 .{\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}

التقييم الفعال

توفر تقريبات باديه لمتسلسلة تايلور المتقاربة طريقة فعالة لتقييم الدوال عند القيم الصغيرة للمتغيرات. الصيغ التالية دقيقة بنسبة أفضل من1 × 10 −16 لـ​0≤x≤4{\displaystyle 0\leq x\leq 4}⁠ : [ 4 ]نعم⁡(x)≈⁡x⋅(1-4.54393409816329991⋅10-2⋅x2+1.15457225751016682⋅10-3⋅x4-1.41018536821330254⋅10-5⋅x6+9.43280809438713025⋅10-8⋅x8-3.53201978997168357⋅10-10⋅x10+7.08240282274875911⋅10-13⋅x12-6.05338212010422477⋅10-16⋅x141+1.01162145739225565⋅10-2⋅x2+4.99175116169755106⋅10-5⋅x4+1.55654986308745614⋅10-7⋅x6+3.28067571055789734⋅10-10⋅x8+4.5049097575386581⋅10-13⋅x10+3.21107051193712168⋅10-16⋅x12)Ci⁡(x)≈⁡γ+ln⁡(x)+x2⋅(-0.25+7.51851524438898291⋅10-3⋅x2-1.27528342240267686⋅10-4⋅x4+1.05297363846239184⋅10-6⋅x6-4.68889508144848019⋅10-9⋅x8+1.06480802891189243⋅10-11⋅x10-9.93728488857585407⋅10-15⋅x121+1.1592605689110735⋅10-2⋅x2+6.72126800814254432⋅10-5⋅x4+2.55533277086129636⋅10-7⋅x6+6.97071295760958946⋅10-10⋅x8+1.38536352772778619⋅10-12⋅x10+1.89106054713059759⋅10-15⋅x12+1.39759616731376855⋅10-18⋅x14){\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)\approx &\mathop {} x\cdot \left({\begin{smallmatrix}1&-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}&+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}&-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\&+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}&-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}&+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\&-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\\\hline 1&+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}&+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x⁴ + 1.55654986308745614 × 10⁻⁷ × x⁶ + 3.28067571055789734 × 10⁻¹⁰ × x⁸ + 4.5049097575386581 × 10⁻¹³ × x¹⁰ + 3.21107051193712168 × 10⁻¹⁶ × x¹² \left({\begin{smallmatrix}-0.25&+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}&-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}&+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\&-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}&+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}&-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\hline 1&+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}&+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}&+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\&+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}&+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}&+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\&+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\end{smallmatrix}}\right)\end{aligned}}}

يمكن حساب التكاملات بشكل غير مباشر عبر الدوال المساعدة .و(x){\displaystyle f(x)}و​​ز(x){\displaystyle g(x)}⁠ مُعرّفة على النحو التالي: نعم⁡(x)=π2-و(x)كوس⁡x-ز(x)الخطيئة⁡x،Ci⁡(x)=π2-و(x)الخطيئة⁡x-ز(x)كوس⁡x؛\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos xg(x)\sin x\,,\\\operatorname {Ci} (x)&={\hphantom {{\frac {\pi }{2}}-\mathop {} }}f(x)\sin xg(x)\cos x\,;\end{aligned}}} أو ما يعادل ذلك: و(x)≡[π2-نعم⁡(x)]كوس⁡x+Ci⁡(x)الخطيئة⁡x،ز(x)≡[π2-نعم⁡(x)]الخطيئة⁡x-Ci⁡(x)كوس⁡x.\begin{aligned}f(x)&\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos x+\operatorname {Ci} (x)\sin x\,,\\g(x)&\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin x-\operatorname {Ci} (x)\cos x\,.\end{aligned}}}

لx≥4{\displaystyle x\geq 4}الدوال الكسرية لباديه الموضحة أدناه تقريبيةو(x){\displaystyle f(x)}وز(x){\displaystyle g(x)}مع خطأ أقل من1 × 10 −16 : [ 4 ]

و(x)≈⁡1x⋅(1+7.44437068161936700618⋅102⋅x-2+1.96396372895146869801⋅105⋅x-4+2.37750310125431834034⋅107⋅x-6+1.43073403821274636888⋅109⋅x-8+4.33736238870432522765⋅1010⋅x-10+6.40533830574022022911⋅1011⋅x-12+4.20968180571076940208⋅1012⋅x-14+1.00795182980368574617⋅1013⋅x-16+4.94816688199951963482⋅1012⋅x-18-4.94701168645415959931⋅1011⋅x-201+7.46437068161927678031⋅102⋅x-2+1.97865247031583951450⋅105⋅x-4+2.41535670165126845144⋅107⋅x-6+1.47478952192985464958⋅109⋅x-8+4.58595115847765779830⋅1010⋅x-10+7.08501308149515401563⋅1011⋅x-12+5.06084464593475076774⋅1012⋅x-14+1.43468549171581016479⋅1013⋅x-16+1.11535493509914254097⋅1013⋅x-18)ز(x)≈⁡1x2⋅(1+8.1359520115168615⋅102⋅x-2+2.35239181626478200⋅105⋅x-4+3.12557570795778731⋅107⋅x-6+2.06297595146763354⋅109⋅x-8+6.83052205423625007⋅1010⋅x-10+1.09049528450362786⋅1012⋅x-12+7.57664583257834349⋅1012⋅x-14+1.81004487464664575⋅1013⋅x-16+6.43291613143049485⋅1012⋅x-18-1.36517137670871689⋅1012⋅x-201+8.19595201151451564⋅102⋅x-2+2.40036752835578777⋅105⋅x-4+3.26026661647090822⋅107⋅x-6+2.23355543278099360⋅109⋅x-8+7.87465017341829930⋅1010⋅x-10+1.39866710696414565⋅1012⋅x-12+1.17164723371736605⋅1013⋅x-14+4.01839087307656620⋅1013⋅x-16+3.99653257887490811⋅1013⋅x-18){\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\approx &\mathop {} {\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\begin{smallmatrix}1&+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\&+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}&+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\&-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\\\hline 1&+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\&+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}&+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{smallmatrix}}\right)\\[1em]g(x)\approx &\mathop {} {\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\begin{smallmatrix}1&+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\&+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}&+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\&-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\\\hline 1&+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\&+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}&+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{smallmatrix}}\right)\end{aligned}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أبراموفيتز وستيجون (1983) ، ص 231، ملاحظة 6. خطأ في sfnp: لا يوجد هدف: CITEREFAbramowitzStegun1983 ( مساعدة )
  2. ^ أبراموفيتز وستيغون (1983) ، ص. 232 ، مكافئ. 5.2.8 و5.2.9. خطأ sfnp: لا يوجد هدف: CITEREFAbramowitzStegun1983 ( مساعدة ) 
  3. ↑ غراي، ألفريد (1993). الهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح . دراسات في الرياضيات المتقدمة. بوكا راتون ، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ص 119. ISBN  0-8493-7872-9.
  4. 1 2 رو، بارنابي؛ وآخرون (2015). "GALSIM: مجموعة أدوات محاكاة صور المجرات المعيارية". علم الفلك والحوسبة . 10 : 121. arXiv : 1407.7676 . Bibcode : 2015A & C....10..121R . doi : 10.1016/j.ascom.2015.02.002 . S2CID 62709903 .  

للمزيد من القراءة