مسطح (هندسة)

يمكن وصف سطح مستوٍ بنظام من المعادلات الخطية . على سبيل المثال، يمكن وصف خط في فضاء ثنائي الأبعاد بمعادلة خطية واحدة تتضمن x و y :

${\displaystyle 3x+5y=8.}$

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تُعرّف معادلة خطية واحدة تتضمن x و y و z مستوىً، بينما يُمكن استخدام زوج من المعادلات الخطية لوصف خط مستقيم. عمومًا، تصف معادلة خطية في n متغيرًا مستوىً فائقًا، ويصف نظام من المعادلات الخطية تقاطع هذه المستويات الفائقة. بافتراض أن المعادلات متسقة ومستقلة خطيًا ، فإن نظامًا من k معادلة يصف مستوىً ذا بُعد n − k .

يمكن وصف السطح المستوي أيضاً بنظام من المعادلات الخطية البارامترية . ويمكن وصف الخط بمعادلات تتضمن بارامتراً واحداً .

${\displaystyle x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t}$

بينما يتطلب وصف الطائرة معيارين:

${\displaystyle x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!}$

بشكل عام، يتطلب تحديد معلمات سطح مستو ذي بُعد k عدد k من المعلمات، على سبيل المثال t ₁ ، ...، t _k .

تقاطع الأدراج إما أن يكون درجًا مستويًا أو مجموعة فارغة .

إذا كان كل خط من سطح مستوٍ موازياً لخط من سطح مستوٍ آخر، فإن هذين السطحين متوازيان . السطحان المتوازيان ذوا البعد نفسه إما أن يتطابقا أو لا يتقاطعا؛ ويمكن وصفهما بنظامين من المعادلات الخطية يختلفان فقط في طرفيهما الأيمنين.

إذا لم تتقاطع الأسطح المستوية، ولم يكن أي خط من السطح المستوي الأول موازياً لخط من السطح المستوي الثاني، فإنها تُسمى أسطحاً مستوية مائلة . ويكون ذلك ممكناً فقط إذا كان مجموع أبعادها أقل من بُعد الفضاء المحيط.

لكل سطحين مستويين بأبعاد k1 و k2 _، يوجد سطح مستوٍ أصغر يحتويهما، بأبعاد لا تتجاوز k1 + k2 + 1. إذا _تقاطع سطحان _{مستويان ،} فإن بُعد السطح المحتوي يساوي k1 ₊ k2 ناقص بُعد التقاطع _.

تُحوّل هاتان العمليتان (المعروفتان باسم الالتقاء والوصل ) مجموعة جميع الأسطح المستوية في الفضاء الإقليدي ذي البعد n إلى شبكة ، ويمكنهما بناء إحداثيات منهجية للأسطح المستوية في أي بُعد، مما يؤدي إلى إحداثيات غراسمان أو إحداثيات غراسمان المزدوجة. على سبيل المثال، يُحدد الخط في الفضاء ثلاثي الأبعاد بنقطتين مختلفتين أو بمستويين مختلفين.

_{مع ذلك، فإن} شبكة جميع المستويات ليست شبكة توزيعية . إذا تقاطع خطان ℓ1 _وℓ2 ، فإن ℓ1 ∩ ℓ2 يُمثل نقطة. إذا كانت p نقطة لا تقع على نفس المستوى، فإن (ℓ1 _∩ ℓ2 ₎ + p = (ℓ1 ₊ p ) ∩ (ℓ2 ₊ p ) ، _{وكلاهما} يُمثل خطًا. لكن عندما _يكون ℓ1 وℓ2 متوازيين _{، فإن} خاصية التوزيع هذه لا تتحقق، مما يجعل p على الجانب الأيسر وخطًا ثالثًا موازيًا على الجانب الأيمن.