الفراكتون (جسيم ذو أبعاد فرعية)

تم بناء نموذج X-cube على شبكة مكعبة، مع وجود كيوبتات على كل حافة من حواف الشبكة.

يُعطى الهاميلتوني بواسطة

${\displaystyle H=-\sum _{c}A_{c}-\sum _{{\textrm {}}v}(B_{v,x}+B_{v,y}+B_{v,z})}$

هنا، تُجرى عمليات الجمع على خلايا الوحدة المكعبة وعلى الرؤوس. لأي خلية وحدة مكعبة${\displaystyle c}$، المشغل${\displaystyle A_{c}}$يساوي حاصل ضرب معادلات باولي${\displaystyle X}$عامل على جميع الحواف الـ 12 لمكعب الوحدة هذا. لأي رأس من رؤوس الشبكة${\displaystyle v}$، المشغل${\displaystyle B_{v,\mu }}$يساوي حاصل ضرب معادلات باولي${\displaystyle Z}$عامل على جميع الحواف الأربعة المجاورة للرأس${\displaystyle v}$ وعمودي على${\displaystyle \mu }$المحور. قد تُستخدم اصطلاحات تدوين أخرى في المراجع بشكل متبادل.${\displaystyle X}$و${\displaystyle Z}$.

بالإضافة إلى الالتزام بـ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$التناظر المحدد بواسطة مولدات التناظر العالمية${\displaystyle \prod _{\ell }X_{\ell }}$و${\displaystyle \prod _{\ell }Z_{\ell }}$حيث يمتد المنتج على جميع الحواف في الشبكة، فإن هذا الهاميلتوني يخضع لتناظرات النظام الفرعي التي تعمل على المستويات الفردية.

جميع الحدود في هذه الهاميلتونية تبادلية وتنتمي إلى جبر باولي. هذا يجعل الهاميلتونية قابلة للحل تمامًا. يمكن قطريّة جميع الحدود في الهاميلتونية في آنٍ واحد، والحالات الذاتية المتزامنة هي حالات الطاقة الذاتية للهاميلتونية. الحالة الأرضية لهذه الهاميلتونية هي حالة${\displaystyle |\mathrm {GS} \rangle }$ذلك يرضي${\displaystyle A_{c}|\mathrm {GS} \rangle =1}$و${\displaystyle B_{v,\mu }|\mathrm {GS} \rangle =1}$للجميع${\displaystyle c,v,\mu }$يمكن للمرء أن يكتب صراحةً الحالة الأرضية باستخدام عوامل الإسقاط${\displaystyle {\frac {1+A_{c}}{2}}}$و${\displaystyle {\frac {1+B_{v,\mu }}{2}}}$.

القيود التي يفرضها${\displaystyle A_{c}=1}$و${\displaystyle B_{v,\mu }=1}$لا تكون جميعها مستقلة خطيًا عندما يتم تضمين نموذج المكعب X على مشعب مضغوط. يؤدي هذا إلى انحلال كبير في الحالة الأرضية يزداد مع حجم النظام. على سطح حلقي بأبعاد${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$، يكون انحلال الحالة الأرضية بالضبط${\displaystyle 2^{2L_{x}+2L_{y}+2L_{z}-3}}$ [ ^{4 ]} مقياس انحطاط مماثل ^،${\displaystyle \log \mathrm {GSD} \propto L}$، ويُلاحظ ذلك في مشعبات أخرى وكذلك في الحد الديناميكي الحراري.

ومن الأمثلة الأخرى على نموذج الفراكتون من النوع الأول نموذج رقعة الشطرنج. ^{[ 6 ]}

يعتمد هذا النموذج أيضًا على شبكة مكعبة، ولكن مع وجود كيوبت واحد على كل رأس. أولًا، يتم تلوين خلايا الوحدة المكعبة بالألوان.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بنمط رقعة الشطرنج، أي بحيث لا يكون لأي خليتين مكعبتين متجاورتين نفس اللون. عندئذٍ يكون الهاميلتوني هو

${\displaystyle H=-\sum _{c\in A}\prod _{v\in c}X_{v}-\sum _{c\in A}\prod _{v\in c}Z_{v}}$

هذا النموذج قابل للحل تمامًا باستخدام الحدود التبادلية. يُعطى انحلال الحالة الأرضية الطوبولوجية على سطح حلقي بالعلاقة التالية:${\displaystyle \log _{2}\mathrm {GSD} =4L_{x}+4L_{y}+4L_{z}-6}$لشبكة بحجم${\displaystyle 2L_{x},2L_{y},2L_{z}}$(كقاعدة عامة، يجب أن تكون أبعاد الشبكة زوجية حتى تكون شروط الحدود الدورية منطقية).

وكما هو الحال في نموذج المكعب X، يتميز نموذج رقعة الشطرنج بالإثارات على شكل فراكتونات، وخطوط، ومستويات.

يُعرَّف رمز هاه على شبكة مكعبة تحتوي على كيوبتين في كل رأس. ويمكننا الإشارة إلى هذه الكيوبتات باستخدام مصفوفات باولي.${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{v}}$و${\displaystyle {\vec {\mu }}_{v}}$، كل منها يؤثر على كيوبت منفصل. الهاميلتوني هو

${\displaystyle H=-\sum _{c}(A_{c}+B_{c})}$.

هنا، لأي مكعب وحدة${\displaystyle c}$رؤوسها الثمانية مُصنّفة كالتالي:${\displaystyle p}$،${\displaystyle q_{1}=p+(1,0,0)}$،${\displaystyle q_{2}=p+(0,1,0)}$،${\displaystyle q_{3}=p+(0,0,1)}$،${\displaystyle r_{1}=p+(0,1,1)}$،${\displaystyle r_{2}=p+(1,0,1)}$،${\displaystyle r_{3}=p+(1,1,0)}$، و${\displaystyle s=p+(1,1,1)}$المشغلين${\displaystyle A_{c}}$و${\displaystyle B_{c}}$تُعرَّف بأنها

${\displaystyle A_{c}=\sigma _{s}^{z}\mu _{s}^{z}\prod _{j=1}^{3}\mu _{q_{j}}^{z}\sigma _{r_{j}}^{z}}$

${\displaystyle B_{c}=\sigma _{p}^{x}\mu _{p}^{x}\prod _{j=1}^{3}\mu _{q_{j}}^{x}\sigma _{r_{j}}^{x}}$

هذا أيضًا نموذج قابل للحل تمامًا، حيث أن جميع حدود الهاميلتوني تتبادل مع بعضها البعض.

انحلال الحالة الأرضية لـ${\displaystyle L\times L\times L}$يُعطى التورس بواسطة

${\displaystyle \log _{2}\mathrm {GSD} =4\deg(\gcd(1+(1+x)^{L},1+(1+\omega x)^{L},1+(1+\omega ^{2}x)^{L})_{\mathbb {F} _{4}})-2.}$^{[ 8 ] [ 9 ]}

هنا، يرمز gcd إلى القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود الثلاث الموضحة، وتشير deg إلى درجة هذا القاسم المشترك. تنتمي معاملات كثيرات الحدود إلى الحقل المنتهي${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$، تتكون من العناصر الأربعة${\displaystyle \lbrace 0,1,\omega ,\omega ^{2}\rbrace }$الخاصية 2 (أي${\displaystyle 1+1=0}$).${\displaystyle \omega }$هو الجذر التكعيبي للعدد 1 والذي يختلف عنه. يمكن تعريف القاسم المشترك الأكبر باستخدام خوارزمية إقليدس. يتذبذب هذا الانحلال بشكل كبير كدالة لـ${\displaystyle L}$. لو${\displaystyle L}$إذا كان قوة للعدد 2، فإن كثيرات الحدود الثلاث، وفقًا لنظرية لوكاس، تأخذ الأشكال البسيطة${\displaystyle x^{L},(\omega x)^{L},(\omega ^{2}x)^{L}}$مما يشير إلى انحلال الحالة الأرضية لـ ${\displaystyle 2^{4L-2}}$وبشكل أعم، إذا${\displaystyle 2^{m}}$هو أكبر قوة للعدد 2 تقسم${\displaystyle L}$إذاً، فإن انحلال الحالة الأرضية يكون على الأقل${\displaystyle 2^{2^{m+2}-2}}$وعلى الأكثر${\displaystyle 2^{4L-2}}$.

وبالتالي، يُظهر نموذج هاه للكسر، من بعض النواحي، خاصية أن لوغاريتم انحلال الحالة الأرضية يميل إلى التناسب طرديًا مع البُعد الخطي للنظام. ويبدو أن هذه خاصية عامة لنماذج الكسر ذات الفجوة. وكما هو الحال في نماذج النوع الأول والأنظمة المرتبة طوبولوجيًا، لا يمكن التمييز بين الحالات الأرضية المختلفة لرمز هاه باستخدام المؤثرات المحلية.

يتضمن كود هاه أيضًا إثارات أولية غير متحركة تسمى الفراكتونات. ويُقال إن الحالة الكمومية تحتوي على فراكتون يقع في مكعب${\displaystyle c}$إذا كانت القيمة الذاتية لـ${\displaystyle A_{c}}$يكون${\displaystyle -1}$بالنسبة لهذه الحالة الكمومية (إثارة لـ${\displaystyle B_{c}}$المؤثر هو أيضًا جزء كسري. هذا الجزء الكسري مكافئ فيزيائيًا لإثارة${\displaystyle A_{c}}$لأن هناك خريطة موحدة للتبادل${\displaystyle A_{c}}$و${\displaystyle B_{c}}$لذا يكفي النظر في إثارات${\displaystyle A_{c}}$(لهذه المناقشة فقط).

لو${\displaystyle |\mathrm {GS} \rangle }$إذا كانت حالة أساسية للهاميلتوني، فإنه لأي رأس${\displaystyle v}$الدولة${\displaystyle \mu _{v}^{x}|\mathrm {GS} \rangle }$يتميز بأربعة أجزاء متفرعة في ترتيب رباعي الأوجه، تشغل أربعة من المكعبات الثمانية المجاورة للرأس${\displaystyle v}$وينطبق الشيء نفسه على الدولة${\displaystyle \sigma _{v}^{x}|\mathrm {GS} \rangle }$(على الرغم من أن الشكل الدقيق للهرم الرباعي مختلف).

في محاولة لعزل أحد هذه الأجزاء الأربعة فقط، يمكن للمرء أن يحاول تطبيق إضافات${\displaystyle \mu _{v'}^{x}|\mathrm {GS} \rangle }$تدور الفراكتونات عند رؤوس مختلفة قريبة في محاولة لإبادة الفراكتونات الثلاثة الأخرى. وينتج عن ذلك ببساطة ظهور ثلاثة فراكتونات جديدة في مكان أبعد. وانطلاقًا من هذه العملية، يمكن تحديد مجموعة${\displaystyle S}$من الرؤوس في الفضاء التي تشكل معًا تكرارًا عشوائيًا لكسرية سيربينسكي ثلاثية الأبعاد . ثم الحالة

${\displaystyle \psi =\prod _{v\in S}\mu _{v}^{z}|\mathrm {GS} \rangle }$

يحتوي على أربعة فراكتونات، واحد في كل مكعب مجاور لرأس ركن من رؤوس رباعي الأوجه سيربينسكي. وهكذا نرى أن مُؤثرًا ذا شكل فراكتالي لانهائي الحجم مطلوب لتوليد فراكتون معزول من الحالة الأرضية في نموذج كود هاه. ويؤدي المُؤثر ذو الشكل الفراكتالي في كود هاه دورًا مشابهًا لدور مُؤثرات الغشاء في نموذج مكعب X.

بخلاف نماذج النوع الأول، لا توجد حالات ارتباط مستقرة لعدد محدود من الفراكتونات المتحركة. حالات الارتباط المتحركة الوحيدة هي تلك الحالات، مثل حالات الفراكتونات الأربعة المتحركة تمامًا.${\displaystyle \mu _{v}^{x}|\mathrm {GS} \rangle }$التي تكون غير مستقرة (أي يمكن أن تتحول إلى الحالة الأرضية بفعل عامل محلي).

بحسب التعريف، فإن عدد قطاعات الاختيار الفائق في نموذج الفراكتون لانهائي (أي يتناسب طرديًا مع حجم النظام). على سبيل المثال، ينتمي كل فراكتون فردي إلى قطاع اختيار فائق خاص به، إذ لا يوجد عامل محلي يمكنه تحويله إلى أي فراكتون آخر في موضع مختلف.

مع ذلك، فإن توسيع مفهوم قطاع الانتقاء الفائق، المعروف بقطاع الانتقاء الفائق للقسمة، يتجاهل فعليًا الجسيمات ثنائية الأبعاد (مثل حالات الارتباط المستوية) التي يُفترض أنها تنشأ من طبقات التوريق ثنائية الأبعاد. ^{[ 5 ]} وبالتالي، تميل نماذج الفراكتون المورق إلى امتلاك قائمة محدودة من قطاعات الانتقاء الفائق للقسمة التي تصف أنواع الإثارات الكسرية الموجودة في النموذج. وهذا يُشابه كيفية امتلاك الترتيبات الطوبولوجية لقائمة محدودة من قطاعات الانتقاء الفائق العادية.

بشكل عام، بالنسبة لنماذج الفراكتون في الحالة الأرضية، عند النظر في إنتروبيا التشابك لمنطقة فرعية من الفضاء ذات حجم خطي كبير${\displaystyle R}$، مساهمة الرتبة الأولى في الإنتروبيا تتناسب مع${\displaystyle R^{2}}$كما هو متوقع لنظام ثلاثي الأبعاد ذي فجوة طاقة يخضع لقانون المساحة. ومع ذلك، فإن إنتروبيا التشابك لها أيضًا حدود ثانوية كدالة لـ${\displaystyle R}$والتي تعكس مساهمات غير محلية خفية. على سبيل المثال،${\displaystyle \propto R}$يمثل التصحيح الفرعي مساهمة من إنتروبيا التشابك الطوبولوجي الثابتة لكل طبقة من الطبقات ثنائية الأبعاد المرتبة طوبولوجيًا الموجودة في بنية التوريق للنظام.

بما أن ترتيب الفراكتون المتورق ثابت حتى عند فك تشابك هذه الطبقات ثنائية الأبعاد ذات الفجوات، فإن توقيع التشابك لترتيب الفراكتون المتورق يجب أن يكون قادراً على تجاهل مساهمات الإنتروبيا من التفاصيل المحلية ومن الطبقات ثنائية الأبعاد المرتبة طوبولوجياً.

من الممكن استخدام حساب المعلومات المتبادلة لاستخلاص مساهمة فريدة في إنتروبيا التشابك خاصة بترتيب الفراكتون المورق. ويتم ذلك فعليًا عن طريق جمع وطرح إنتروبيات التشابك لمناطق مختلفة بطريقة تتخلص من المساهمات المحلية، بالإضافة إلى مساهمات الطبقات ثنائية الأبعاد ذات الفجوات. ^{[ 13 ] [ 12 ]}