جبر هيتينغ

جبر هيتينغ${\displaystyle H}$هي شبكة محدودة تحتوي على جميع الكائنات الأسية .

الشبكة${\displaystyle H}$يُعتبر فئةً حيث يلتقي،${\displaystyle \wedge }$، هو الناتج . الشرط الأسي يعني أنه لأي كائنات${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$في${\displaystyle H}$نمو أسي${\displaystyle Z^{Y}}$يوجد بشكل فريد ككائن في${\displaystyle H}$.

دلالة هيتينغ (غالباً ما تُكتب باستخدام${\displaystyle \Rightarrow }$أو${\displaystyle \multimap }$لتجنب الخلط مع استخدام${\displaystyle \to }$للإشارة إلى التشكل ) هو مجرد دالة أسية:${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$هي صيغة بديلة لـ${\displaystyle Z^{Y}}$من تعريف الدوال الأسية نستنتج أن (${\displaystyle {\Rightarrow }:H\times H\to H}$) هو المرافق الأيمن لـ (${\displaystyle \wedge :H\times H\to H}$يمكن كتابة هذا الملحق على النحو التالي :${\displaystyle (-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)}$أو بشكل أكثر تفصيلاً على النحو التالي: $${\displaystyle (-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)}$$

يمكن تقديم تعريف مكافئ لجبر هيتينغ من خلال النظر في التطبيقات التالية:

$${\displaystyle {\begin{cases}f_{a}\colon H\to H\\f_{a}(x)=a\wedge x\end{cases}}}$$

لبعض القيم الثابتة لـ a في H. تُعتبر الشبكة المحدودة H جبر هيتينغ إذا وفقط إذا كان كل تطبيق f( _a) هو المرافق السفلي لوصلة غالوا رتيبة. في هذه الحالة ، يُعطى المرافق العلوي g( _a) بالعلاقة g ( _a) ( x ) = a → x ، حيث → مُعرّف كما سبق.

وهناك تعريف آخر هو أنه شبكة متبقية تكون عملية المونويد فيها هي ∧. يجب أن تكون وحدة المونويد هي العنصر العلوي 1. وتعني خاصية التبديل في هذا المونويد أن الباقيين يتطابقان عندما a → b .

بالنظر إلى شبكة محدودة A ذات أكبر وأصغر العناصر 1 و 0، وعملية ثنائية →، فإن هذه العناصر تشكل معًا جبر هيتينغ إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية:

1. ${\displaystyle a\to a=1}$
2. ${\displaystyle a\wedge (a\to b)=a\wedge b}$
3. ${\displaystyle b\wedge (a\to b)=b}$
4. ${\displaystyle a\to (b\wedge c)=(a\to b)\wedge (a\to c)}$

حيث تمثل المعادلة 4 قانون التوزيع لـ →.

يُسهّل هذا التوصيف لجبر هيتينغ إثبات الحقائق الأساسية المتعلقة بالعلاقة بين حساب القضايا الحدسي وجبر هيتينغ. (للاطلاع على هذه الحقائق، انظر القسمين " الهويات القابلة للإثبات " و" الإنشاءات الشاملة "). ينبغي التفكير في العنصر${\displaystyle \top }$بمعنى بديهي، "صحيح بشكل قاطع". قارن ذلك بالمسلمات في المنطق الحدسي .

بفرض وجود مجموعة A تحتوي على ثلاث عمليات ثنائية →، ∧ و ∨، وعنصرين مميزين${\displaystyle \bot }$و${\displaystyle \top }$إذن، فإن A هي جبر هيتينغ لهذه العمليات (والعلاقة ≤ معرفة بالشرط التالي:${\displaystyle a\leq b}$عندما a → b =${\displaystyle \top }$) إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية لأي عناصر x و y و z من A :

1. ${\displaystyle {\mbox{If }}x\leq y{\mbox{ and }}y\leq x{\mbox{ then }}x=y,}$
2. ${\displaystyle {\mbox{If }}\top \leq y,{\mbox{ then }}y=\top ,}$
3. ${\displaystyle x\leq y\to x,}$
4. ${\displaystyle x\to (y\to z)\leq (x\to y)\to (x\to z),}$
5. ${\displaystyle x\land y\leq x,}$
6. ${\displaystyle x\land y\leq y,}$
7. ${\displaystyle x\leq y\to (x\land y),}$
8. ${\displaystyle x\leq x\lor y,}$
9. ${\displaystyle y\leq x\lor y,}$
10. ${\displaystyle x\to z\leq (y\to z)\to (x\lor y\to z),}$
11. ${\displaystyle \bot \leq x.}$

وأخيرًا، نُعرّف ¬ x على أنه x →${\displaystyle \bot }$.

ينص الشرط الأول على ضرورة تحديد الصيغ المتكافئة.  وينص الشرط الثاني على أن الصيغ التي يمكن إثبات صحتها مغلقة بموجب قاعدة الاستدلال . الشرطان  الثالث والرابع هما شرطان صحيحان . الشروط  الخامس والسادس والسابع هي شروط "و " . الشروط  الثامن والتاسع والعاشر هي شروط "أو ". الشرط  الحادي عشر هو شرط خاطئ .

بالطبع، إذا تم اختيار مجموعة مختلفة من البديهيات للمنطق، فيمكننا تعديل بديهياتنا وفقًا لذلك.

الترتيب${\displaystyle \leq }$يمكن استعادة جبر هيتينغ H من العملية → كما يلي: لأي عنصرين a و b من H ،${\displaystyle a\leq b}$إذا وفقط إذا كان a → b = 1.

على عكس بعض المنطق متعدد القيم ، تشترك جبريات هيتينغ في الخاصية التالية مع الجبر البولياني: إذا كان للنفي نقطة ثابتة (أي ¬ a = a لبعض a )، فإن جبر هيتينغ هو جبر هيتينغ التافه ذو العنصر الواحد.

بافتراض وجود صيغة${\displaystyle F(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})}$من حساب القضايا (باستخدام الروابط، بالإضافة إلى المتغيرات)${\displaystyle \land ,\lor ,\lnot ,\to }$، والثوابت 0 و 1)، إنها حقيقة، تم إثباتها في وقت مبكر في أي دراسة لجبر هيتينغ، أن الشرطين التاليين متكافئان:

1. الصيغة F صحيحة بشكل قابل للإثبات في حساب القضايا الحدسي.
2. الهوية${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=1}$ينطبق هذا على أي جبر هيتينغ H وأي عناصر${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H}$.

إنّ الاستلزام الضمني الذي ينص على أن الأول يستلزم الثاني، والذي سنكتبه على النحو التالي: 1 ⇒ 2 ، مفيد للغاية، وهو الطريقة العملية الرئيسية لإثبات المتطابقات في جبر هيتينغ. عمليًا، يُستخدم غالبًا مبدأ الاستنتاج في مثل هذه البراهين.

بما أنه لأي عنصرين a و b في جبر هيتينغ H لدينا${\displaystyle a\leq b}$إذا وفقط إذا كان a → b = 1، فإنه يترتب من 1 ⇒ 2 أنه كلما كانت الصيغة F → G صحيحة بشكل قابل للإثبات، فإننا نحصل على${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq G(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$لأي جبر هيتينغ H ، وأي عناصر${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H}$(يستنتج من نظرية الاستنتاج أن F → G قابلة للإثبات (بشكل مطلق) إذا وفقط إذا كانت G قابلة للإثبات من F ، أي إذا كانت G نتيجة قابلة للإثبات من F ). وبالتحديد، إذا كانت F و G متكافئتين بشكل قابل للإثبات، فإن${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=G(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$، لأن ≤ هي علاقة ترتيب.

يمكن إثبات العلاقة 1 ⇒ 2 بفحص البديهيات المنطقية لنظام البرهان والتحقق من أن قيمتها تساوي 1 في أي جبر هيتينغ، ثم التحقق من أن تطبيق قواعد الاستدلال على التعبيرات ذات القيمة 1 في جبر هيتينغ ينتج عنه تعبيرات ذات قيمة 1. على سبيل المثال، لنختر نظام البرهان الذي يعتمد على قاعدة الاستدلال الوحيدة فيه، والتي تكون بديهياتها من نمط هيلبرت كما هو موضح في قسم المنطق الحدسي#البديهيات . عندئذٍ، تتبع الحقائق المراد التحقق منها مباشرةً من تعريف جبر هيتينغ الشبيه بالبديهيات المذكور أعلاه.

1 ⇒ 2 يوفر أيضًا طريقة لإثبات أن بعض الصيغ الافتراضية، على الرغم من كونها تحصيل حاصل في المنطق الكلاسيكي، لا يمكن إثباتها في منطق القضايا الحدسي. من أجل إثبات أن صيغة ما${\displaystyle F(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})}$لا يمكن إثبات ذلك، يكفي إظهار جبر هيتينغ H وعناصره${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in H}$بحيث${\displaystyle F(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\neq 1}$.

إذا رغب المرء في تجنب ذكر المنطق، فإنه يصبح من الضروري عمليًا إثبات صيغة من نظرية الاستنتاج صالحة لجبر هيتينغ على شكل لمة: لأي عناصر a و b و c من جبر هيتينغ H ، لدينا${\displaystyle (a\land b)\to c=a\to (b\to c)}$.

للمزيد حول الاستلزام الفوقي 2 ⇒ 1، انظر القسم " الإنشاءات الشاملة " أدناه.

تتميز جبريات هيتينغ دائمًا بخاصية التوزيع . على وجه التحديد، لدينا دائمًا المتطابقات.

1. ${\displaystyle a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)}$
2. ${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)}$

يُصاغ قانون التوزيع أحيانًا كمسلّمة، ولكنه في الواقع يترتب على وجود مكملات زائفة نسبية. والسبب هو أنه، لكونه المرافق الأدنى لوصلة غالوا ،${\displaystyle \wedge }$يحافظ على جميع القيم العليا الموجودة . أما خاصية التوزيعية فهي ببساطة الحفاظ على القيم العليا الثنائية بواسطة${\displaystyle \wedge }$.

وبحجة مماثلة، فإن قانون التوزيع اللانهائي التالي ينطبق على أي جبر هيتينغ كامل:

$${\displaystyle x\wedge \bigvee Y=\bigvee \{x\wedge y\mid y\in Y\}}$$

لأي عنصر x في H وأي مجموعة جزئية Y من H. وعلى العكس من ذلك، فإن أي شبكة كاملة تحقق قانون التوزيع اللانهائي المذكور أعلاه هي جبر هيتينغ كامل، مع $${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}}$$ باعتبارها عملية المكمل الزائف النسبية لها.

يُطلق على العنصر x في جبر هيتينغ H اسم عنصر منتظم إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية:

1. x = ¬¬ x .
2. x = ¬ y لبعض y في H .

يمكن إعادة صياغة تكافؤ هذه الشروط ببساطة على أنها الهوية ¬¬¬ x = ¬ x ، وهي صالحة لجميع x في H.

يُطلق على العنصرين x و y في جبر هايتينغ H اسم "مكملين " إذا كان x ∧ y = 0 و x ∨ y = 1. إذا وُجد عنصر y يحقق هذا الشرط، فهو وحيد ويجب أن يساوي ¬x . يُطلق على العنصر x اسم "مكمل" إذا كان له مكمل. صحيح أنه إذا كان x مكملاً، فإن ¬x مكمل أيضاً ، وبالتالي يكون x و ¬x مكملين لبعضهما. مع ذلك، قد يكون من المُربك أنه حتى لو لم يكن x مكملاً، فقد يكون لـ ¬x مكمل (لا يساوي x ). في أي جبر هايتينغ، يكون العنصران 0 و 1 مكملين لبعضهما. على سبيل المثال، من الممكن أن يكون ¬x يساوي 0 لكل x مختلف عن 0، و 1 إذا كان x = 0، وفي هذه الحالة يكون 0 و 1 هما العنصران المنتظمان الوحيدان.

أي عنصر مكمل في جبر هيتينغ يكون منتظماً، مع أن العكس ليس صحيحاً بشكل عام. وعلى وجه الخصوص، فإن 0 و1 منتظمان دائماً.

بالنسبة لأي جبر هيتينغ H ، فإن الشروط التالية متكافئة:

1. H عبارة عن جبر بولياني ؛
2. كل x في H منتظم؛ ^{[ 11 ]}
3. كل عنصر x في H مكمل. ^{[ 12 ]}

في هذه الحالة، يكون العنصر a → b مساوياً لـ ¬ a ∨ b .

تُشكّل العناصر المنتظمة (والمُكمّلة على التوالي) لأي جبر هيتينغ H جبرًا منطقيًا H _reg (و H _comp على التوالي )، حيث تتطابق العمليات ∧ و¬ و→، بالإضافة إلى الثابتين 0 و1، مع تلك الموجودة في H. في حالة H _comp ، تكون العملية ∨ هي نفسها أيضًا، وبالتالي فإن H _comp هو جبر جزئي من H. مع ذلك، بشكل عام، لن يكون H _{reg جبرًا جزئيًا من} H ، لأن عملية الربط فيه ∨ _reg قد تختلف عن ∨. بالنسبة لـ x و y ∈ H _reg ، لدينا x ∨ _reg y = ¬(¬ x ∧ ¬ y ). انظر أدناه للشروط اللازمة والكافية لكي يتطابق ∨ _{reg مع ∨.}

يتحقق أحد قانوني دي مورغان في كل جبر هيتينغ، وهو

$${\displaystyle \forall x,y\in H:\qquad \lnot (x\vee y)=\lnot x\wedge \lnot y.}$$

لكن قانون دي مورغان الآخر لا ينطبق دائمًا. لدينا بدلًا منه قانون دي مورغان ضعيف:

$${\displaystyle \forall x,y\in H:\qquad \lnot (x\wedge y)=\lnot \lnot (\lnot x\vee \lnot y).}$$

العبارات التالية متكافئة لجميع جبر هيتينغ H :

1. H يفي بقانوني دي مورغان،
2. ${\displaystyle \lnot (x\wedge y)=\lnot x\vee \lnot y{\mbox{ for all }}x,y\in H,}$
3. ${\displaystyle \lnot (x\wedge y)=\lnot x\vee \lnot y{\mbox{ for all regular }}x,y\in H,}$
4. ${\displaystyle \lnot \lnot (x\vee y)=\lnot \lnot x\vee \lnot \lnot y{\mbox{ for all }}x,y\in H,}$
5. ${\displaystyle \lnot \lnot (x\vee y)=x\vee y{\mbox{ for all regular }}x,y\in H,}$
6. ${\displaystyle \lnot (\lnot x\wedge \lnot y)=x\vee y{\mbox{ for all regular }}x,y\in H,}$
7. ${\displaystyle \lnot x\vee \lnot \lnot x=1{\mbox{ for all }}x\in H.}$

الشرط الثاني هو قانون دي مورغان الآخر. ينص الشرط السادس على أن عملية الربط ∨ _reg على الجبر البولياني H _reg للعناصر المنتظمة في H تتطابق مع عملية الربط ∨ على H. وينص الشرط السابع على أن كل عنصر منتظم مكمل، أي H _reg = H _comp .

نُثبت التكافؤ. من الواضح أن الاستلزام الفوقي 1 ⇒ 2، و2 ⇒ 3 ، و 4 ⇒ 5 بديهية. علاوة على ذلك، ينتج 3 ⇔ 4 و 5 ⇔ 6 ببساطة من قانون دي مورغان الأول وتعريف العناصر المنتظمة. نُبين أن 6 ⇒ 7 بأخذ ¬ x و ¬¬ x بدلًا من x و y في 6 واستخدام المتطابقة a ∧ ¬ a = 0. لاحظ أن 2 ⇒ 1 يتبع من قانون دي مورغان الأول، وأن 7 ⇒ 6 ينتج من حقيقة أن عملية الربط ∨ على الجبر الجزئي H _comp هي ببساطة تقييد ∨ على H _comp ، مع الأخذ في الاعتبار الخصائص التي قدمناها للشرطين 6 و7. أما الاستلزام الفائق 5 ⇒ 2 فهو نتيجة بديهية لقانون دي مورغان الضعيف، بأخذ ¬ x و ¬ y بدلًا من x و y في 5.

ترتبط جبريات هيتينغ التي تحقق الخصائص المذكورة أعلاه بمنطق دي مورغان بنفس الطريقة التي ترتبط بها جبريات هيتينغ بشكل عام بالمنطق الحدسي.

إذا كان لدينا جبران من جبر هيتينغ H ₁ و H ₂ وتطبيق f  : H ₁ → H ₂ ، فإننا نقول أن ƒ هو تشاكل لجبر هيتينغ إذا كان لدينا، لأي عنصرين x و y في H ₁ ، ما يلي:

1. ${\displaystyle f(0)=0,}$
2. ${\displaystyle f(x\land y)=f(x)\land f(y),}$
3. ${\displaystyle f(x\lor y)=f(x)\lor f(y),}$
4. ${\displaystyle f(x\to y)=f(x)\to f(y),}$

ويترتب على أي من الشروط الثلاثة الأخيرة (2 أو 3 أو 4) أن f دالة متزايدة، أي أن f ( x ) ≤ f ( y ) كلما كان x ≤ y .

لنفترض أن _H1 و H2 بنيتان تحتويان على العمليات →، ∧، ∨ (وربما ¬ ₎ والثوابت 0 و1، وأن _f دالة شاملة من H1 إلى H2 ذات الخصائص من 1 إلى 4 المذكورة أعلاه. عندئذٍ، إذا _{كانت H1} جبر هيتينغ، فإن H2 كذلك _. وينتج هذا من توصيف جبر هيتينغ على أنه شبكات محدودة (تُعتبر بنى جبرية وليست مجموعات مرتبة جزئيًا) مع عملية → تحقق متطابقات معينة.

إنّ دالة التطابق f ( x ) = x من أيّ جبر هيتينغ إلى نفسه هي تشاكل، والمركب g ∘ f لأيّ تشاكلين f و g هو تشاكل. ومن ثمّ، تشكّل جبر هيتينغ فئةً .

بالنظر إلى جبر هيتينغ H وأي جبر فرعي H ₁ ، فإن تطبيق التضمين i  : H ₁ → H هو تشاكل.

لأي جبر هيتينغ H ، يُعرّف التطبيق x ↦ ¬¬ x تشاكلاً من H إلى الجبر البولياني لعناصره المنتظمة H _reg . وهذا ليس تشاكلاً من H إلى نفسه بشكل عام، لأن عملية الربط في H _reg قد تختلف عن تلك الخاصة بـ H.

يتم إثبات الاستلزام الميتافيزيقي 2 ⇒ 1 في قسم " الهويات القابلة للإثبات " من خلال إظهار أن نتيجة البناء التالي هي نفسها جبر هيتينغ:

1. لنفترض المجموعة L من الصيغ الافتراضية في المتغيرات A ₁ ، A ₂ ، ... ، A _n .
2. قم بتزويد L بترتيب جزئي ≼ عن طريق تعريف F ≼ G إذا كانت G نتيجة منطقية (حدسية) لـ F ، أي إذا كان من الممكن إثبات G من F. من الواضح أن ≼ هو ترتيب جزئي.
3. لنفترض علاقة التكافؤ F ~ G المستحثة من الترتيب الجزئي F≼G. (تُعرَّف هذه العلاقة بـ F ~ G إذا وفقط إذا كان F ≼ G و G ≼ F. في الواقع، ~ هي علاقة التكافؤ المنطقي (الحدسي).)
4. ليكن H ₀ مجموعة القسمة L /~. ستكون هذه هي جبر هيتينغ المطلوب.
5. نرمز بـ [ F ] إلى فئة التكافؤ للصيغة F. تُعرَّف العمليات →، ∧، ∨، و¬ بشكلٍ واضح على L. تحقق من أنه عند وجود صيغتين F و G ، فإن فئات التكافؤ [ F → G ]، [ F ∧ G ]، [ F ∨ G ]، و[¬ F ] تعتمد فقط على [ F ] و[ G ]. هذا يُعرِّف العمليات →، ∧، ∨، و¬ على مجموعة القسمة H₀ ₌ L /~. عرّف أيضًا 1 على أنها فئة العبارات الصحيحة القابلة للإثبات، واجعل 0 = [⊥].
6. تحقق من أن H₀ _{، مع هذه العمليات ،} تُشكّل جبر هيتينغ. نستخدم في ذلك تعريف جبر هيتينغ الذي يُشبه تعريف البديهيات. يُحقق H₀ الشروط من THEN-1 إلى FALSE لأن جميع الصيغ ذات الأشكال المُعطاة هي بديهيات للمنطق الحدسي. ينتج شرط MODUS-PONENS من حقيقة أنه إذا كانت الصيغة ⊤→ F صحيحة بشكل قابل للإثبات، حيث ⊤ صحيحة بشكل قابل للإثبات، فإن F صحيحة بشكل قابل للإثبات (بتطبيق قاعدة الاستدلال modus ponens). أخيرًا، ينتج شرط EQUIV من حقيقة أنه إذا كانت كل من F → G و G → F صحيحة بشكل قابل للإثبات، فإن F و G يُمكن إثباتهما من بعضهما البعض (بتطبيق قاعدة الاستدلال modus ponens)، وبالتالي [ F ] = [ G ].

_{كما هو الحال دائمًا في تعريف جبر هيتينغ الذي يشبه البديهيات ،} نُعرّف ≤ على H₀ بالشرط أن x ≤ y إذا وفقط إذا كان x → y = 1. وبما أنه، وفقًا لنظرية الاستنتاج ، فإن الصيغة F → G تكون صحيحة بشكل قابل للإثبات إذا وفقط إذا كان من الممكن إثبات G من F ، فإنه يترتب على ذلك أن [ F ] ≤ [ G ] إذا وفقط إذا كان F ≼ G. بعبارة أخرى، ≤ هي علاقة الترتيب على L /~ المستحثة من الترتيب الجزئي ≼ على L.

في الواقع، يمكن تنفيذ البناء السابق لأي مجموعة من المتغيرات { Aᵢ : i ∈ I } (قد تكون غير منتهية). وبهذه الطريقة _،  نحصل على جبر هيتينغ الحر على المتغيرات { Aᵢ _} ، والذي سنرمز إليه مجددًا بـ H₀ _. وهو حر بمعنى أنه لأي جبر هيتينغ H معطى مع عائلة من عناصره ⟨aᵢ _: i ∈ I⟩ ، يوجد تشاكل وحيد f : H₀ → H يحقق f ( _[ Aᵢ ] ₎ = _aᵢ . إن تفرد f ليس من الصعب رؤيته، ووجوده ينتج أساسًا عن الاستلزام الفوقي 1 ⇒ 2 من القسم " الهويات القابلة للإثبات " أعلاه، في شكل نتيجته التي أنه كلما كانت F و G صيغتين متكافئتين بشكل قابل للإثبات، فإن F (⟨ a _i ⟩)= G (⟨ a _i ⟩) لأي عائلة من العناصر ⟨ a _i ⟩ في H.

بفرض وجود مجموعة من الصيغ T في المتغيرات { A _i }، باعتبارها بديهيات، يمكن إجراء نفس البناء بالنسبة للعلاقة F ≼ G المعرفة على L، والتي تعني أن G هي نتيجة قابلة للإثبات من F ومجموعة البديهيات T. لنرمز بـ H _T إلى جبر هيتينغ الناتج. عندئذٍ، يحقق H _T نفس الخاصية العامة التي يحققها H ₀ أعلاه، ولكن بالنسبة لجبر هيتينغ H وعائلات العناصر ⟨ a _i ⟩ التي تحقق الخاصية J (⟨ a _i ⟩)=1 لأي ​​بديهية J (⟨ A _i ⟩) في T. (دعونا نلاحظ أن H _T ، مع عائلة عناصرها ⟨[ A _i ⟩، تحقق هذه الخاصية بنفسها.) يتم إثبات وجود وتفرد التشكل بنفس الطريقة كما هو الحال بالنسبة لـ H ₀ ، باستثناء أنه يجب تعديل الاستلزام الفوقي 1 ⇒ 2 في " الهويات القابلة للإثبات " بحيث يصبح 1 "صحيح بشكل قابل للإثبات من T "، ويصبح 2 "أي عناصر a ₁ ، a ₂ ، ... ، a _n في H تحقق صيغ T ".

يمكن اعتبار جبر هيتينغ H _T الذي قمنا بتعريفه للتو بمثابة قسمة لجبر هيتينغ الحر H ₀ على نفس مجموعة المتغيرات، من خلال تطبيق الخاصية العالمية لـ H ₀ بالنسبة إلى H _T ، وعائلة عناصره ⟨[ A _i ]⟩.

كل جبر هيتينغ متماثل مع أحد الجبر من الشكل H _T. لإثبات ذلك، ليكن H أي جبر هيتينغ، ولتكن ⟨ a _i : i ∈ I ⟩ عائلة من العناصر المولدة لـ H (على سبيل المثال، أي عائلة شاملة). الآن، لننظر إلى المجموعة T من الصيغ J (⟨ A _i ⟩) في المتغيرات ⟨ A _i : i ∈ I ⟩ بحيث J (⟨ a _i ⟩)=1. عندئذٍ نحصل على تشاكل f : H _T → H بالخاصية العامة لـ H _T ، وهو تشاكل شامل بوضوح. ليس من الصعب إثبات أن f أحادي.

تؤدي البنى التي قدمناها للتو دورًا مماثلًا تمامًا فيما يتعلق بجبر هيتينغ لدور جبر ليندنبوم فيما يتعلق بالجبر البولياني . في الواقع، جبر ليندنبوم B_{_T} في المتغيرات { A_{_i} } بالنسبة للبديهيات T هو ببساطة H _{_T ∪ T₁} ، حيث T _₁ هي مجموعة جميع الصيغ من الشكل ¬¬F → F ، نظرًا لأن البديهيات الإضافية لـ T_₁ هي الوحيدة التي يجب إضافتها لجعل جميع التكرارات الكلاسيكية قابلة للإثبات.