شاول كريبك

تناول اثنان من أعمال كريپكي المبكرة، وهما "نظرية الاكتمال في المنطق الموجه" (1959) ^{[ 22 ]} و"اعتبارات دلالية حول المنطق الموجه" (1963)، وقد كتب الأول في فترة مراهقته، المنطق الموجه . تُبنى أشهر أنواع المنطق في عائلة المنطق الموجه من منطق ضعيف يُسمى K، نسبةً إلى كريپكي. وقد قدّم كريپكي دلالات كريپكي المعيارية الحالية (المعروفة أيضًا بالدلالات العلائقية أو دلالات الإطار) للمنطق الموجه. تُعد دلالات كريپكي دلالات رسمية لأنظمة المنطق غير الكلاسيكية. وقد صُممت في البداية للمنطق الموجه، ثم جرى تكييفها لاحقًا مع المنطق الحدسي وأنظمة غير كلاسيكية أخرى. شكّل اكتشاف دلالات كريپكي طفرةً نوعيةً في مجال المنطق غير الكلاسيكي، نظرًا لغياب نظرية النماذج لهذا النوع من المنطق قبل كريپكي.

إطار كريپكي أو الإطار النموذجي هو زوج${\displaystyle \langle W,R\rangle }$حيث W مجموعة غير فارغة، و R علاقة ثنائية على W. تُسمى عناصر W عُقدًا أو عوالم ، وتُعرف R بعلاقة الوصول . وبناءً على خصائص علاقة الوصول ( التعدي ، والانعكاس، وما إلى ذلك)، يُوصف الإطار المقابل، بالامتداد، بأنه متعدٍ، أو انعكاسي، أو غير ذلك.

نموذج كريپكي هو نموذج ثلاثي${\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }$، أين${\displaystyle \langle W,R\rangle }$هو إطار كريپكي، و${\displaystyle \Vdash }$هي علاقة بين عقد W والصيغ المشروطة، بحيث:

• ${\displaystyle w\Vdash \neg A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w\nVdash A}$،
• ${\displaystyle w\Vdash A\to B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w\nVdash A}$أو${\displaystyle w\Vdash B}$،
• ${\displaystyle w\Vdash \Box A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \forall u\,(w\;R\;u}$يشير إلى${\displaystyle u\Vdash A)}$.

نقرأ${\displaystyle w\Vdash A}$باعتبارها " w تحقق A "، أو " A تتحقق في w "، أو " w تجبر A ". العلاقة${\displaystyle \Vdash }$تُسمى هذه العلاقة علاقة الرضا ، أو التقييم ، أو الإكراه . وتُحدد علاقة الرضا بشكل فريد من خلال قيمتها على المتغيرات الافتراضية.

تكون الصيغة أ صالحة في الحالات التالية:

• نموذج${\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }$، لو${\displaystyle w\Vdash A}$لكل w  ∈ W ، 
• إطار${\displaystyle \langle W,R\rangle }$، إذا كان ذلك صحيحًا في${\displaystyle \langle W,R,\Vdash \rangle }$لجميع الخيارات الممكنة${\displaystyle \Vdash }$،
• فئة C من الإطارات أو النماذج ، إذا كانت صالحة في كل عضو من أعضاء C.

نُعرّف Thm( C ) بأنها مجموعة جميع الصيغ الصالحة في C. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت X مجموعة من الصيغ، فلنُعرّف Mod( X ) بأنها فئة جميع الإطارات التي تُثبت صحة كل صيغة من X.

تكون المنطق الموجه (أي مجموعة من الصيغ) L سليمة بالنسبة لفئة من الإطارات C ، إذا كانت L  ⊆  Thm( C ). وتكون L كاملة بالنسبة لـ C إذا كانت L  ⊇  Thm( C ).

لا يُفيد علم الدلالة في دراسة منطق ما (أي نظام اشتقاق) إلا إذا كانت علاقة الاستلزام الدلالي تعكس نظيرتها النحوية، أي علاقة النتيجة ( الاشتقاق ). ومن الضروري معرفة أيّ المنطق الموجه سليم وكامل بالنسبة لفئة معينة من أطر كريپكي، وتحديد هذه الفئة.

بالنسبة لأي فئة C من إطارات كريپكي، فإن نظرية ( C ) هي منطق نمطي طبيعي (وبالتحديد، فإن نظريات المنطق النمطي الطبيعي الأدنى، K ، صالحة في كل نموذج كريپكي). ومع ذلك، فإن العكس لا يصح عمومًا. توجد منطقيات نمطية طبيعية غير كاملة لكريپكي، وهو أمر غير إشكالي، لأن معظم الأنظمة النمطية المدروسة كاملة من فئات الإطارات الموصوفة بشروط بسيطة.

تُقابل المنطق الموجه الطبيعي L فئة من الإطارات C ، إذا كانت C = Mod( L ). بعبارة أخرى، C هي أكبر فئة من الإطارات التي تجعل L سليمًا بالنسبة إلى C. ويترتب على ذلك أن L كاملة كريپكي إذا وفقط إذا كانت كاملة بالنسبة إلى فئتها المقابلة.  

ضع في اعتبارك المخطط T  :${\displaystyle \Box A\to A}$. T صالحة في أي إطار انعكاسي${\displaystyle \langle W,R\rangle }$: لو${\displaystyle w\Vdash \Box A}$، ثم${\displaystyle w\Vdash A}$بما أن w R w . من ناحية أخرى، يجب أن يكون الإطار الذي يُثبت صحة T انعكاسيًا: لنثبت w ​​∈ W ، ونُعرّف إرضاء متغير اقتراحي p على النحو التالي:    ${\displaystyle u\Vdash p}$إذا وفقط إذا كان w R u . عندئذٍ  ${\displaystyle w\Vdash \Box p}$، هكذا${\displaystyle w\Vdash p}$بواسطة T ، مما يعني w R w باستخدام تعريف  ${\displaystyle \Vdash }$. T يتوافق مع فئة إطارات كريپكي الانعكاسية.

_{غالبًا ما يكون} من الأسهل بكثير تحديد الفئة المقابلة لـ L من إثبات اكتمالها، لذا _فإن التناظر يُعدّ دليلًا لإثباتات الاكتمال. يُستخدم التناظر أيضًا لإظهار عدم اكتمال المنطق الموجه: لنفترض أن L1 ⊆ L2 منطقان موجهان عاديان يُقابلان نفس فئة الإطارات، لكن L1 لا يُثبت جميع نظريات L2 . عندئذٍ يكون L1 غير مكتمل _{وفقًا لـ Kripke} . على سبيل المثال، المخطط  ${\displaystyle \Box (A\equiv \Box A)\to \Box A}$يُنتج منطقًا غير مكتمل، لأنه يتوافق مع نفس فئة الإطارات مثل GL (أي الإطارات المتعدية والعكسية المؤسسة جيدًا)، ولكنه لا يثبت صحة GL - التكرار المنطقي${\displaystyle \Box A\to \Box \Box A}$.

تتبع دلالات كريپكي للمنطق الحدسي نفس مبادئ دلالات المنطق الموجه، ولكنها تستخدم تعريفًا مختلفًا للرضا.

نموذج كريپكي الحدسي هو نموذج ثلاثي ${\displaystyle \langle W,\leq ,\Vdash \rangle }$، أين${\displaystyle \langle W,\leq \rangle }$هو إطار كريپكي مرتب جزئياً ، و${\displaystyle \Vdash }$يستوفي الشروط التالية:

• إذا كان p متغيرًا افتراضيًا،${\displaystyle w\leq u}$، و${\displaystyle w\Vdash p}$، ثم${\displaystyle u\Vdash p}$( شرط الاستمرارية )،
• ${\displaystyle w\Vdash A\land B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w\Vdash A}$و${\displaystyle w\Vdash B}$،
• ${\displaystyle w\Vdash A\lor B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w\Vdash A}$أو${\displaystyle w\Vdash B}$،
• ${\displaystyle w\Vdash A\to B}$إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميع${\displaystyle u\geq w}$،${\displaystyle u\Vdash A}$يشير إلى${\displaystyle u\Vdash B}$،
• لا${\displaystyle w\Vdash \bot }$.

المنطق الحدسي سليم وكامل فيما يتعلق بدلالات كريپكي الخاصة به، وله خاصية النموذج المحدود.

المنطق الحدسي من الدرجة الأولى

لتكن L لغة من الدرجة الأولى . نموذج كريپكي للغة L هو ثلاثية ${\displaystyle \langle W,\leq ,\{M_{w}\}_{w\in W}\rangle }$، أين ${\displaystyle \langle W,\leq \rangle }$هو إطار كريپكي حدسي، وM _w هو بنية L (كلاسيكية) لكل عقدة w  ∈ W ، وتتحقق شروط التوافق التالية عندما يكون u ≤ v :   

• مجال M _u مُضمن في مجال M _v ،
• تتفق تجليات رموز الدوال في M _u و M _v على عناصر M _u ،
• لكل مسند من الرتبة n P والعناصر a ₁ ,..., a _n  ∈ M _u : إذا كان P ( a ₁ ,..., a _n ) صحيحًا في M _u ، فإنه صحيح في M _v . 

بفرض تقييم e للمتغيرات بواسطة عناصر M _w ، فإننا نحدد علاقة الرضا${\displaystyle w\Vdash A[e]}$:

• ${\displaystyle w\Vdash P(t_{1},\dots ,t_{n})[e]}$إذا وفقط إذا${\displaystyle P(t_{1}[e],\dots ,t_{n}[e])}$يحتفظ بـ M _w ،
• ${\displaystyle w\Vdash (A\land B)[e]}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w\Vdash A[e]}$و${\displaystyle w\Vdash B[e]}$،
• ${\displaystyle w\Vdash (A\lor B)[e]}$إذا وفقط إذا${\displaystyle w\Vdash A[e]}$أو${\displaystyle w\Vdash B[e]}$،
• ${\displaystyle w\Vdash (A\to B)[e]}$إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميع${\displaystyle u\geq w}$،${\displaystyle u\Vdash A[e]}$يشير إلى${\displaystyle u\Vdash B[e]}$،
• لا${\displaystyle w\Vdash \bot [e]}$،
• ${\displaystyle w\Vdash (\exists x\,A)[e]}$إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle a\in M_{w}}$بحيث${\displaystyle w\Vdash A[e(x\to a)]}$،
• ${\displaystyle w\Vdash (\forall x\,A)[e]}$إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle u\geq w}$وكل${\displaystyle a\in M_{u}}$،${\displaystyle u\Vdash A[e(x\to a)]}$.

هنا e ( x → a ) هو التقييم الذي يعطي x القيمة a ، ويتفق مع e فيما عدا ذلك .

تُشكّل المحاضرات الثلاث التي تُشكّل كتاب "التسمية والضرورة" نقدًا لنظرية الوصفية للأسماء . يُنسب كريپكي، من بين آخرين، أشكالًا مختلفة من هذه النظرية إلى فريجه ، وراسل ، وفتغنشتاين ، وجون سيرل . ووفقًا لهذه النظرية، فإنّ الأسماء العلمية إما أن تكون مرادفة للأوصاف، أو يُحدّد مرجعها من خلال ارتباط الاسم بوصف أو مجموعة أوصاف يُحقّقها الشيء بشكلٍ فريد. يرفض كريپكي كلا هذين النوعين من الوصفية، ويُقدّم أمثلة عديدة تُفنّد هذه النظرية في تحديد مرجعية الأسماء (على سبيل المثال، من المؤكد أن أرسطو كان من الممكن أن يموت في الثانية من عمره، وبالتالي لم يُحقّق أيًا من الأوصاف التي نربطها باسمه، ولكن من الخطأ إنكار أنه كان لا يزال أرسطو).

كبديل، وضع كريپكي نظرية سببية للإشارة ، مفادها أن الاسم يشير إلى شيء ما من خلال علاقة سببية معه، تنتقل عبر مجتمعات المتحدثين. ويشير إلى أن الأسماء العلمية، على عكس معظم الأوصاف، هي مُحدِّدات ثابتة : أي أن الاسم العلمي يشير إلى الشيء المسمى في كل عالم ممكن يوجد فيه هذا الشيء، بينما تُشير معظم الأوصاف إلى أشياء مختلفة في عوالم ممكنة مختلفة. على سبيل المثال، يشير اسم "ريتشارد نيكسون" إلى الشخص نفسه في كل عالم ممكن يوجد فيه نيكسون، بينما قد يشير اسم "الشخص الذي فاز في الانتخابات الرئاسية الأمريكية عام 1968" إلى نيكسون أو همفري أو غيرهما في عوالم ممكنة مختلفة.

أثار كريپكي أيضًا احتمالية وجود ضرورات تجريبية - حقائق صحيحة بالضرورة ، مع أنها لا تُعرف إلا من خلال البحث التجريبي. ومن الأمثلة على ذلك: " هيسبيروس هو فوسفوروس "، و" شيشرون هو تولي "، و"الماء هو H₂O _" ، وغيرها من ادعاءات التطابق حيث يشير اسمان إلى الشيء نفسه. ووفقًا لكريپكي، فإن التمييزات الكانطية بين التحليلي والتركيبي، والقبلي والبعدي ، والعرضي والضروري، لا تتطابق فيما بينها. بل إن التمييز بين التحليلي والتركيبي هو تمييز دلالي، والقبلي والبعدي هو تمييز معرفي، والعرضي والضروري هو تمييز ميتافيزيقي.

أخيرًا، قدّم كريپكي حجةً ضدّ المادية الهوياتية في فلسفة العقل ، وهي الرؤية القائلة بأنّ كلّ جزءٍ عقليّ مُطابقٌ لجزءٍ ماديّ. جادل كريپكي بأنّ السبيل الوحيد للدفاع عن هذه الهويّة هو اعتبارها هويّةً ضروريةً بعديّة ، ولكنّ مثل هذه الهويّة - على سبيل المثال، أنّ الألم هو إطلاق ألياف C - لا يمكن أن تكون ضرورية، نظرًا للإمكانية (الواضحة التصوّر) بأنّ الألم قد يكون منفصلًا عن إطلاق ألياف C، أو أنّ إطلاق ألياف C قد يكون منفصلًا عن الألم. (قدّم ديفيد تشالمرز حججًا مماثلةً منذ ذلك الحين . ^{[ 24 ]} ) على أيّ حال، فإنّ منظّر الهوية النفسية الفيزيائية، وفقًا لكريبككي، يتحمّل التزامًا جدليًا بتفسير الإمكانية المنطقية الظاهرة لهذه الظروف، لأنّها، وفقًا لهؤلاء المنظّرين، يجب أن تكون مستحيلة.

ألقى كريپكي محاضرات جون لوك في الفلسفة بجامعة أكسفورد عام ١٩٧٣. حملت المحاضرات عنوان "المرجعية والوجود" ، وكانت في كثير من جوانبها امتدادًا لكتابه "التسمية والضرورة" ، وتناولت موضوعي الأسماء الخيالية والخطأ الإدراكي. وفي عام ٢٠١٣، نشرت مطبعة جامعة أكسفورد المحاضرات في كتاب يحمل نفس العنوان " المرجعية والوجود" .

في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩٩٥، جادل الفيلسوف كوينتين سميث بأن المفاهيم الأساسية في نظرية كريپكي الجديدة للمرجعية تعود أصولها إلى أعمال روث باركان ماركوس قبل أكثر من عقد من الزمن. ^{[ ٢٥ ]} حدد سميث ستة أفكار مهمة في النظرية الجديدة، زعم أن ماركوس هي من طورتها: (١) أن الأسماء العلمية هي إشارات مباشرة لا تتضمن تعريفات ضمنية؛ (٢) أنه على الرغم من إمكانية تحديد شيء واحد بوصف، فإن هذا الوصف لا يُعادل اسمًا علميًا لهذا الشيء؛ (٣) الحجة المشروطة التي تُفيد بأن الأسماء العلمية تُشير مباشرةً إلى الشيء، وليست أوصافًا مُقنّعة؛ (٤) برهان منطقي مشروط رسمي على ضرورة التطابق ؛ (٥) مفهوم المُحدِّد الجامد ، على الرغم من أن كريپكي هو من صاغ هذا المصطلح؛ و(٦) التطابق بعدي . جادل سميث بأن كريپكي لم يفهم نظرية ماركوس في ذلك الوقت، ولكنه تبنى لاحقًا العديد من موضوعاتها المفاهيمية الرئيسية في نظريته الجديدة للمرجعية.

وقدّم باحثون آخرون لاحقاً ردوداً مفصلة تؤكد عدم وقوع أي سرقة أدبية. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

يناقش كتاب كريپكي " فيتغنشتاين حول القواعد واللغة الخاصة" ، الذي نُشر لأول مرة عام ١٩٨٢، أن الحجة المركزية في كتاب فيتغنشتاين " تحقيقات فلسفية" تتمحور حول مفارقة اتباع القواعد المدمرة ، والتي تقوض إمكانية التزامنا الدائم بالقواعد في استخدامنا للغة. يكتب كريپكي أن هذه المفارقة هي "أكثر المشكلات الشكية جذرية وأصالة التي شهدتها الفلسفة حتى الآن"، وأن فيتغنشتاين لا يرفض الحجة التي تؤدي إلى مفارقة اتباع القواعد، بل يقبلها ويقدم "حلاً شكياً" للتخفيف من آثارها المدمرة.

يُقرّ معظم المعلقين بأنّ كتاب "تحقيقات فلسفية" يتضمن مفارقة اتباع القواعد كما يعرضها كريپكي، لكنّ قلةً منهم وافقت على نسبته حلاً شكياً إلى فيتغنشتاين. ويُبدي كريپكي نفسه شكوكاً في كتابه "فيتغنشتاين حول القواعد واللغة الخاصة" حول ما إذا كان فيتغنشتاين سيؤيد تفسيره لكتاب " تحقيقات فلسفية". ويقول إنّ هذا العمل لا ينبغي قراءته كمحاولة لتقديم بيان دقيق لآراء فيتغنشتاين، بل كعرض لحجة فيتغنشتاين "كما بدت لكريبكي، وكما مثّلت مشكلةً بالنسبة له".

صِيغَ مصطلح "كريبكنشتاين" لوصف تفسير كريپكي لكتابه " تحقيقات فلسفية ". تكمن أهمية كريپكنشتاين الرئيسية في طرحه الواضح لنوع جديد من الشك، يُعرف باسم "شك المعنى": وهو فكرة مفادها أنه بالنسبة للأفراد المنعزلين، لا يوجد أساس منطقي يجعلهم يقصدون شيئًا دون آخر بمجرد استخدامهم لكلمة ما. ويتمثل "حل كريپكي الشكّي" لشك المعنى في ربط المعنى بسلوك الجماعة.

أثار كتاب كريپكي كمًّا هائلًا من الدراسات الثانوية، انقسمت بين من يجدون إشكاليته الشكّية مثيرة للاهتمام وذات بصيرة، وآخرين، مثل غوردون بيكر وبيتر هاكر وكولين ماكجين ، الذين يجادلون بأن شكه في المعنى ما هو إلا إشكال زائف نابع من قراءة مشوّشة وانتقائية لفيتغنشتاين. وقد دافع الفيلسوف مارتن كوش من جامعة كامبريدج عن موقف كريپكي ضد هذه الانتقادات وغيرها ، ويعتبر الباحث في فيتغنشتاين، ديفيد ج. ستيرن، كتاب كريپكي "العمل الأكثر تأثيرًا وانتشارًا" حول فيتغنشتاين منذ ثمانينيات القرن العشرين. ^{[ 29 ]}

في مقالته "موجز نظرية الحقيقة" عام ١٩٧٥، بيّن كريپكي أن اللغة يمكن أن تحتوي باستمرار على مسند الحقيقة الخاص بها ، وهو أمر اعتبره ألفريد تارسكي ، رائد النظريات الصورية للحقيقة، مستحيلاً. تعتمد هذه الطريقة على جعل الحقيقة خاصية مُعرَّفة جزئيًا على مجموعة الجمل السليمة نحويًا في اللغة. أوضح كريپكي كيفية القيام بذلك بشكل تكراري، بدءًا من مجموعة التعبيرات في اللغة التي لا تحتوي على مسند الحقيقة، ثم تعريف مسند الحقيقة على هذا الجزء فقط: يُضيف هذا الإجراء جملًا جديدة إلى اللغة، وبالتالي تُعرَّف الحقيقة لجميعها. على عكس طريقة تارسكي، فإن طريقة كريپكي تجعل "الحقيقة" هي اتحاد جميع مراحل التعريف هذه؛ فبعد عدد لا نهائي من الخطوات، تصل اللغة إلى "نقطة ثابتة" بحيث لا يُؤدي استخدام طريقة كريپكي لتوسيع مسند الحقيقة إلى تغيير اللغة أكثر من ذلك. يمكن اعتبار هذه النقطة الثابتة بمثابة الشكل الأساسي للغة طبيعية تحتوي على مسند الصدق الخاص بها. لكن هذا المسند غير مُعرَّف لأي جملة لا تنتهي، إن صح التعبير، إلى جمل أبسط لا تحتوي على مسند صدق. أي أن جملة "الثلج أبيض صحيح" مُعرَّفة جيدًا، وكذلك جملة "الثلج أبيض صحيح" صحيحة، وهكذا، لكن لا جملة "هذه الجملة صحيحة" ولا جملة "هذه الجملة غير صحيحة" تخضعان لشروط صدق؛ فهما، بتعبير كريپكي، "غير مُؤَسَّسَتين".

تُبرهن نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل على استحالة تجنب الإشارة الذاتية ببساطة، إذ يمكن أن تحمل القضايا المتعلقة بأشياء تبدو غير مترابطة (مثل الأعداد الصحيحة) معنىً غير رسمي يشير إلى الذات، وهذه الفكرة - التي تتجلى في لِمّة القطر - هي أساس نظرية تارسكي التي تنص على استحالة تعريف الحقيقة تعريفًا متسقًا. لكن محمول الحقيقة لكريبكه لا يُعطي قيمة صدق (صحيح/خطأ) لقضايا مثل تلك المُستخدمة في برهان تارسكي، لأنه يُمكن إثبات عدم تعريفها في المرحلة الأولى بالاستقراء .${\displaystyle n}$لكل عدد محدود${\displaystyle n}$.

يُعدّ اقتراح كريپكي إشكاليًا من حيث أنه بينما تحتوي اللغة على محمول "حقيقي" خاص بها (على الأقل جزئيًا)، فإن بعض جملها - مثل جملة الكاذب ("هذه الجملة خاطئة") - لها قيمة حقيقة غير مُحددة، لكن اللغة لا تحتوي على محمول "غير مُحدد" خاص بها. في الواقع، لا يمكنها ذلك، لأن هذا من شأنه أن يُنشئ نسخة جديدة من مفارقة الكاذب ، وهي مفارقة الكاذب المُعززة ("هذه الجملة خاطئة أو غير مُحددة"). وبالتالي، بينما جملة الكاذب غير مُحددة في اللغة، لا تستطيع اللغة التعبير عن كونها غير مُحددة. ^{[ 30 ]}