نظرية القياس والجاذبية

نظرية الجاذبية القياسية ( GTG ) هي نظرية للجاذبية تُصاغ بلغة الجبر الهندسي . بالنسبة لمن هم على دراية بالنظرية النسبية العامة ، فهي تُذكّرهم إلى حد كبير بصيغة الرباعيات، على الرغم من وجود اختلافات مفاهيمية جوهرية. أبرزها أن الخلفية في نظرية الجاذبية القياسية مسطحة، وهي فضاء مينكوفسكي . لا يُفترض مبدأ التكافؤ ، بل ينبع من حقيقة أن مشتقة القياس المتغيرة مقترنة بشكل أدنى . وكما هو الحال في النظرية النسبية العامة، يمكن اشتقاق معادلات متطابقة بنيويًا مع معادلات أينشتاين للمجال من مبدأ التباين . كما يمكن دعم موتر اللف المغزلي بطريقة مشابهة لنظرية أينشتاين-كارتان-سياما-كيبل . تم اقتراح نظرية الجاذبية القياسية لأول مرة من قبل لاسينبي ودوران وجول في عام 1998 ^{[ 1 ]} كتحقيق لنتائج جزئية تم تقديمها في عام 1993. ^{[ 2 ]} لم يتم اعتماد النظرية على نطاق واسع من قبل بقية مجتمع الفيزياء، الذين اختاروا في الغالب مناهج الهندسة التفاضلية مثل نظرية الجاذبية القياسية ذات الصلة .

يرتكز نموذج GTG على مبدأين أساسيين. أولًا، يضمن مبدأ ثبات الموضع بالنسبة للمقياس ألا تؤثر الإزاحات الموضعية العشوائية للحقول على المحتوى الفيزيائي لمعادلات الحقل. ثانيًا، يضمن مبدأ ثبات الدوران بالنسبة للمقياس ألا تؤثر الدورانات الموضعية العشوائية للحقول على المحتوى الفيزيائي لمعادلات الحقل. يؤدي هذان المبدآن إلى استحداث زوج جديد من الدوال الخطية، وهما حقل الموضع بالنسبة للمقياس وحقل الدوران بالنسبة للمقياس. إزاحة بواسطة دالة عشوائية f

${\displaystyle x\mapsto x'=f(x)}$

يؤدي ذلك إلى ظهور حقل الموضع-المقياس المحدد بواسطة التعيين على مرافقه،

${\displaystyle {\bar {\mathsf {h}}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}({\bar {\mathsf {f}}}^{-1}(a),f(x)),}$

وهو خطي في وسيطه الأول، و a متجه ثابت. وبالمثل، فإن الدوران بواسطة دوار عشوائي R يُنشئ حقل قياس الدوران.

${\displaystyle {\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)R^{\dagger }-2a\cdot \nabla RR^{\dagger }.}$

يمكننا تعريف نوعين مختلفين من المشتقات الاتجاهية المتغيرة.

${\displaystyle a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))}$

${\displaystyle a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))\times }$

أو مع تحديد نظام إحداثيات

${\displaystyle D_{\mu }=\جزئي _{\mu}+{\tfrac {1}{2}}\أوميغا _{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}} _ {\mu }=\جزئي _ {\mu }+\Omega _{\mu }\times ,}$

حيث يرمز × إلى حاصل ضرب المبدل.

يُعدّ المشتق الأول من هذه المشتقات أنسب للتعامل المباشر مع السبينورات ، بينما يُعدّ الثاني أنسب للكميات القابلة للرصد . ويُبنى نظير موتر ريمان في نظرية GTG من قواعد التبادل لهذه المشتقات.

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R}}_{\mu \nu }\psi }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R}}({\mathsf {h}}(a\wedge b))}$

تُشتق معادلات المجال بافتراض أن فعل أينشتاين-هيلبرت يحكم تطور حقول القياس، أي

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.}$

يؤدي تقليل تباين الفعل بالنسبة لحقلي القياس إلى معادلات المجال

${\displaystyle {\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(a),}$

أين${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هو موتر الطاقة-الزخم المتغير و${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هو موتر الدوران المتغير . ومن المهم أن نلاحظ أن هذه المعادلات لا تعطي انحناءً متطورًا للزمكان، بل تعطي فقط تطور حقول القياس داخل الزمكان المسطح.

بالنسبة لمن هم أكثر دراية بالنظرية النسبية العامة، من الممكن تعريف موتر متري من حقل الموضع-المقياس بطريقة مشابهة للرباعيات. في صيغة الرباعيات، مجموعة من أربعة متجهات${\displaystyle \{{e_{(a)}}^{\mu }\}}$يتم إدخال هذه المؤشرات. يُرفع أو يُخفض المؤشر اليوناني μ بضربه وتقليصه مع موتر قياس الزمكان. أما المؤشر اللاتيني (a) الموجود بين قوسين فهو بمثابة تسمية لكل من الرباعيات الأربعة، ويُرفع ويُخفض كما لو كان مضروبًا ومُقلصًا مع موتر قياس مينكوفسكي منفصل. وبشكل تقريبي، تعكس نظرية GTG أدوار هذه المؤشرات. يُفترض ضمنيًا أن القياس هو مينكوفسكي عند اختيار جبر الزمكان . وتُدمج المعلومات الواردة في المجموعة الأخرى من المؤشرات ضمن سلوك حقول القياس.

يمكننا إقامة الروابط

${\displaystyle g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })}$

${\displaystyle g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })}$

بالنسبة لمتجه متغاير ومتجه متغاير عكسيًا في فضاء-زمن منحني، حيث متجهات الوحدة الآن${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$هي أساس الإحداثيات المختار. ويمكن لهذه الأساسات تحديد المقياس باستخدام القاعدة.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.}$

باتباع هذا الإجراء، يمكن إثبات أن تنبؤات نظرية غولستراند-بينليفيه (GTG) القابلة للملاحظة تتفق في معظمها مع نظرية أينشتاين-كارتان-سياما-كيبل في حالة اللف المغزلي غير الصفري، وتؤول إلى النسبية العامة في حالة اللف المغزلي الصفري. مع ذلك، تقدم نظرية غولستراند-بينليفيه تنبؤات مختلفة حول الحلول الكلية. على سبيل المثال، في دراسة كتلة نقطية، يؤدي اختيار "مقياس نيوتني" إلى حل مشابه لمقياس شوارزشيلد في إحداثيات غولستراند-بينليفيه . تسمح النسبية العامة بامتداد يُعرف بإحداثيات كروسكال-سيكيريس ، بينما تمنع نظرية غولستراند -بينليفيه أي امتداد من هذا القبيل.

يورغن ستروكماير، يوهانس مونش، ديفيد فاساك، يوهانس كيرش، ماتياس هاناوسكي، هورست ستوكر، "مسار التحول القانوني إلى نظريات قياس الجاذبية"، فيز. القس د 95، 124048 (2017)، دوى: 10.1103/PhysRevD.95.124048، أرخايف:1704.07246

• ديفيد هيستينز: حساب الزمكان لنظرية الجاذبية - عرض للصيغة الرياضية الموجهة صراحةً إلى نظرية الجاذبية