جبر الزمكان

في الفيزياء الرياضية ، يُعدّ جبر الزمكان ( STA ) تطبيقًا لجبر كليفورد Cl _1,3 ( R )، أو ما يُكافئه الجبر الهندسي G ( M ⁴ ) للفيزياء. يوفر جبر الزمكان "صياغة موحدة وخالية من الإحداثيات لجميع فروع الفيزياء النسبية ، بما في ذلك معادلة ديراك ، ومعادلة ماكسويل ، والنسبية العامة "، و"يُقلل الفجوة الرياضية بين الفيزياء الكلاسيكية ، والكمية ، والنسبية ". ^{[ 1 ]}

جبر الزمكان هو فضاء متجهي يسمح ليس فقط بدمج المتجهات ، بل أيضًا بدمج المتجهات الثنائية (كميات موجهة تصف الدورانات المرتبطة بالدورانات أو مستويات معينة، مثل المساحات أو الدورانات) أو الشفرات (كميات مرتبطة بأحجام فائقة معينة)، بالإضافة إلى إمكانية دمجها بعد الدوران أو الانعكاس أو تعزيز لورنتز . ^{[ 2 ]} وهو أيضًا الجبر الأصلي الطبيعي للسبينورات في النسبية الخاصة. ^{[ 3 ]} تسمح هذه الخصائص بالتعبير عن العديد من أهم المعادلات في الفيزياء بأشكال بسيطة للغاية، ويمكن أن تكون مفيدة جدًا لفهم معانيها بشكل هندسي أعمق. ^{[ 4 ]}

بالمقارنة مع الطرق ذات الصلة، فإن كلاً من جبر STA وجبر ديراك هما جبر كليفورد Cl _1,3 ( R )، لكن جبر STA يستخدم أعدادًا حقيقية قياسية بينما يستخدم جبر ديراك أعدادًا مركبة قياسية . ويُشابه تقسيم الزمكان في جبر STA نهج جبر الفضاء الفيزيائي (APS، جبر باولي) . يمثل جبر الفضاء الفيزيائي الزمكان كمتجه شبهي ، وهو فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد مُدمج مع عدد قياسي أحادي البعد. ^{[ 5 ]}

لأي زوج من متجهات STA ،${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$، يوجد ناتج هندسي${\displaystyle ab}$، ناتج قياسي (داخلي )${\displaystyle a\cdot b}$والمنتج الخارجي ('الوتدي' ، 'الخارجي')${\displaystyle a\wedge b}$. الضرب الاتجاهي هو مجموع الضرب القياسي والضرب الخارجي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b.}$

ينتج عن الضرب القياسي عدد حقيقي (قياسي)، بينما ينتج عن الضرب الخارجي متجه ثنائي. المتجهات${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$تكون المتجهات متعامدة إذا كان حاصل ضربها القياسي يساوي صفرًا ؛${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$تكون المتجهات متوازية إذا كان حاصل ضربها الخارجي يساوي صفرًا. ^{[ 7 ]}

متجهات الأساس المتعامدة هي متجه زمني${\displaystyle \gamma _{0}}$و 3متجهات فضائية${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$الحدود غير الصفرية لموتر مينكوفسكي المتري هي الحدود القطرية ،${\displaystyle {1}}$. لـ​${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$⁠ :

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

تشترك مصفوفات ديراك في هذه الخصائص، و STA مكافئ للجبر الناتج عن مصفوفات ديراك على حقل الأعداد الحقيقية؛ ^{[ 8 ]} التمثيل الصريح للمصفوفة غير ضروري لـ STA.

ينتج عن ضرب متجهات الأساس أساس موتر يحتوي على كمية قياسية واحدة${\displaystyle \{1\}}$أربعة متجهات${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ستة متجهات ثنائية${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\gamma _{0}\gamma _{2},\gamma _{0}\gamma _{3},\gamma _{1}\gamma _{2},\gamma _{2}\gamma _{3},\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$، أربعة متجهات زائفة ( متجهات ثلاثية )${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$وواحد شبه قياسي${\displaystyle \{I\}}$مع​${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$[ ^{9 ]} يتبادل الكم الزائف القياسيمع جميع عناصر STA ذات الدرجة الزوجية ^، ولكنه يتبادل عكسيًا مع جميععناصر STA ^ذات الدرجة الفردية . [ ^{10 ]}

تشكل العناصر ذات التدرج الزوجي في جبر STA (الكميات القياسية، والمتجهات الثنائية، والكميات شبه القياسية) جبرًا فرعيًا متماثلًا مع جبر كليفورد Cl _3,0 ( R )، وهو مكافئ لجبر APS أو جبر باولي. ^{[ 11 ]} وتُكافئ المتجهات الثنائية في جبر STA متجهات APS والمتجهات شبه القياسية. ويصبح الجبر الفرعي لجبر STA أكثر وضوحًا بإعادة تسمية المتجهات الثنائية فيه.${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$مثل${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$والمتجهات الثنائية STA${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$مثل${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$[ ^{12 ] [ 13 ]} مصفوفات باولي ^،${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$، هي تمثيل مصفوفي لـ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$[ ^{13 ]} لأي زوج ^من${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$، أما حاصل الضرب القياسي غير الصفري فهو${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$والمنتجات الخارجية غير الصفرية هي: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}}$

يستمر تسلسل الجبر إلى الجبر الجزئي الزوجي كجبر للفضاء الفيزيائي، وجبر الكواترنيون، والأعداد المركبة، والأعداد الحقيقية. الجبر الجزئي الزوجي STA Cl ^{[ 0]} _(1,3) ( R ) للسبينورات الحقيقية في الزمكان Cl1,3 ₍ R ) متماثل مع جبر كليفورد Cl3,0 ₍ R ) للفضاء الإقليدي R³ ذي العناصر الأساسية. انظر إلى توضيح سبينورات جبر الزمكان في Cl ^[0] _(1,3) ( R ) تحت الضرب الثماني كمستوى فانو. ^{[ 15 ]}

متجه غير صفري${\displaystyle a}$يكون متجهًا صفريًا ( متجهًا عديم القوة من الدرجة الثانية ) إذا${\displaystyle a^{2}=0}$[ ¹⁶ ]مثال ^{على ذلك} هو${\displaystyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$المتجهات الصفرية مماسية لمخروط الضوء (المخروط الصفري ⁾ . ^[ 17 ^] عنصر${\displaystyle b}$يكون العنصر متطابقًا إذا كان${\displaystyle b^{2}=b}$[ ¹⁸ ]عنصران متطابقان^​​${\displaystyle b_{1}}$و​​${\displaystyle b_{2}}$تكون العناصر متعامدة ومتساوية القوة إذا${\displaystyle b_{1}b_{2}=0}$[ ^{18 ]} مثال على زوج متعامد متساويالقوة ^هو${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$و${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$مع​${\displaystyle k=1,2,3}$القواسم الصفرية الحقيقية هي عناصر غير صفرية يكون حاصل ضربها صفرًا، مثل المتجهات الصفرية أو العناصر المتعامدة متساوية القوة. ^[ 19 ^{] جبر} القسمة هو جبر يحتوي على عناصر معكوسة ضربية (مقلوبة) لكل عنصر، ولكن هذا يحدث إذا لم تكن هناك قواسم صفرية حقيقية وكان العنصر متساوي القوة الوحيد هو 1. ^{[ 18 ] [ 20 ] [ أ ]} جبر القسمة التجميعي الوحيد هو الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والرباعيات. ^{[ 21 ]} بما أن STA ليس جبر قسمة، فقد تفتقر بعض عناصر STA إلى معكوس؛ ومع ذلك، فإن القسمة على متجه غير صفري${\textstyle c}$قد يكون ذلك ممكناً عن طريق الضرب في معكوسه، المعرف على النحو التالي :${\displaystyle c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c}$[ ²² ]^​​

مرتبط بالأساس المتعامد${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$هي مجموعة الأساس المتبادل${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$تحقيق هذه المعادلات: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

تختلف متجهات الإطار المتبادل هذه فقط في الإشارة، مع${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$لكن​​${\displaystyle \gamma ^{1}=-\gamma _{1}}$،​​${\displaystyle \gamma ^{2}=-\gamma _{2}}$،​​${\displaystyle \gamma ^{3}=-\gamma _{3}}$⁠ .

متجه​${\displaystyle a}$يمكن تمثيلها باستخدام متجهات الأساس أو متجهات الأساس المتبادلة.${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$مع الجمع على${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$وفقًا لترميز أينشتاين ، فإن الضرب القياسي للمتجه ومتجهات الأساس أو متجهات الأساس المتبادلة يُنتج مكونات المتجه.

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

تؤدي عمليات التلاعب بالمقاييس والمؤشرات إلى رفع أو خفض المؤشرات:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

يتم تعريف تدرج الزمكان، مثل التدرج في الفضاء الإقليدي، بحيث يتم استيفاء علاقة المشتقة الاتجاهية : ^{[ 24 ]}

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

يتطلب هذا تعريف التدرج ليكون

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

مكتوب بشكل صريح مع${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$هذه الأجزاء هي

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}.}$

انقسام الزمكان – أمثلة:

${\displaystyle x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x} }$

${\displaystyle p\gamma _{0}=E+\mathbf {p} }$[ 25 ]

${\displaystyle v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )}$[ 25 ]

أين${\displaystyle \gamma }$هو عامل لورنتز

${\displaystyle \nabla \gamma _{0}=\partial _{t}-{\vec {\nabla }}}$[ 26 ]

في تحليل STA، يُعدّ تقسيم الزمكان إسقاطًا من فضاء رباعي الأبعاد إلى فضاء (3+1) الأبعاد في إطار مرجعي مختار عن طريق العمليتين التاليتين:

• انهيار محور الزمن المختار، مما ينتج عنه فضاء ثلاثي الأبعاد يمتد بواسطة متجهات ثنائية، وهو ما يعادل متجهات الأساس ثلاثية الأبعاد القياسية في جبر الفضاء الفيزيائي و
• إسقاط الفضاء رباعي الأبعاد على محور الزمن المختار، مما ينتج عنه فضاء أحادي البعد من الكميات القياسية، يمثل الزمن القياسي. ^{[ 27 ]}

ويتحقق ذلك عن طريق الضرب من اليسار أو الضرب من اليمين بواسطة متجه أساس زمني .${\displaystyle \gamma _{0}}$، والتي تعمل على تقسيم متجه رباعي إلى مكون قياسي زمني ومكون ثنائي المتجهات مكاني، في الإطار المرجعي المتحرك مع${\displaystyle \gamma _{0}}$مع​​${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$لدينا​

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

يُعدّ فصل الزمكان طريقةً لتمثيل متجه الزمكان ذي التدرج الزوجي كمتجه في جبر باولي، وهو جبر يكون فيه الزمن كميةً قياسيةً منفصلةً عن المتجهات التي تظهر في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تستبدل هذه الطريقة متجهات الزمكان هذه ( ⁠${\displaystyle \gamma }$) ^{[ 28 ]}​

كما هو الحال مع هذه المتجهات الثنائية${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$مربع إلى​${\displaystyle 1}$تُستخدم هذه المصفوفات كأساس مكاني. وباستخدام ترميز مصفوفة باولي ، تُكتب على النحو التالي :${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$. تُشار إلى المتجهات المكانية في STA بخط غامق؛ ثم مع ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$و​​${\displaystyle x^{0}=ct}$، الـ​${\displaystyle \gamma _{0}}$-انقسام الزمكان​${\displaystyle x\gamma _{0}}$، وعكسه​${\displaystyle \gamma _{0}x}$هي :

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

مع ذلك، فإن الصيغ المذكورة أعلاه لا تعمل إلا في مقياس مينكوفسكي ذي الإشارة (+ − − −) . أما بالنسبة لأشكال انقسام الزمكان التي تعمل في أي من الإشارتين، فتوجد تعريفات بديلة يكون فيها${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$و​​${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$يجب استخدامه.

لتدوير متجه${\displaystyle v}$في الجبر الهندسي، يتم استخدام الصيغة التالية: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}}$،

أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية التي يتم الدوران بها، و${\displaystyle \beta }$يمثل المتجه الثنائي مستوى الدوران، وقد تم تطبيعه بحيث${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$⁠ .

بالنسبة لمتجه ثنائي فضائي معين ،${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$لذا تنطبق صيغة أويلر ، ^{[ 30 ]} مما يعطي الدوران

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

بالنسبة لمتجه ثنائي زمني معين ،${\displaystyle \beta ^{2}=1}$لذا فإن "الدوران عبر الزمن" يستخدم المعادلة المماثلة للأعداد المركبة المنقسمة :

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

بتفسير هذه المعادلة، فإن هذه الدورانات على طول اتجاه الزمن هي ببساطة دورانات زائدية . وهي تعادل تعزيزات لورنتز في النسبية الخاصة.

يُعرف هذان التحويلان بتحويلات لورنتز ، وتُسمى المجموعة المُجمعة لهما جميعًا بمجموعة لورنتز . لتحويل كائن في STA من أي أساس (يُقابل إطارًا مرجعيًا) إلى آخر، يجب استخدام واحد أو أكثر من هذه التحويلات. ^{[ 31 ]}

طرق للتعبير عن صيغ تحويل لورنتز بدلالة الكواترنيونات المعقدة

من السهل صياغة صيغ تحويلات لورنتز هذه بدلالة الكواترنيونات المركبة أو الكواترنيونات الثنائية من خلال إجراء بعض عمليات التحديد البسيطة. وتُعبّر تحويلات لورنتز الكواترنيونية بشكل طبيعي أكثر بدلالة ما يُعادلها.${\displaystyle X\equiv x\,\gamma _{0}=x^{0}+\gamma _{1}\,\gamma _{0}\,x^{1}+\gamma _{2}\,\gamma _{0}\,x^{2}+\gamma _{3}\,\gamma _{0}\,x^{3}=x^{0}+\sigma _{1}\,x^{1}+\sigma _{2}\,x^{2}+\sigma _{3}\,x^{3}}$ حدد الكمية الزائفة${\displaystyle \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$كما​${\displaystyle i}$، الجذر التربيعي لـ${\displaystyle -1}$مربع الكمية الزائفة${\displaystyle \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\,}$قيمتها -1 وتتبادل مع الكميات العددية والمتجهات الثنائية، وهذا ما${\displaystyle X}$وما هي عوامل التحويل.

يُعرِّف${\displaystyle {\textbf {I}},\,{\textbf {J}},\,{\textbf {K}}}$أن تكون الرباعيات الأساسية بحيث${\displaystyle {\textbf {I}}\,{\textbf {I}}={\textbf {J}}\,{\textbf {J}}={\textbf {K}}\,{\textbf {K}}={\textbf {I}}\,{\textbf {J}}\,{\textbf {K}}=-1\;}$في هذه المناقشة${\displaystyle {\textbf {I}}}$هو رباعي أساسي. حدد${\displaystyle -i\sigma _{1}\rightarrow {\textbf {I}}\quad -i\sigma _{2}\rightarrow {\textbf {J}}\quad -i\sigma _{3}\rightarrow {\textbf {K}}\quad }$.

بالنسبة للمتجه الثنائي${\displaystyle \beta }$وجود محور زمني ، مثل${\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{0},}$${\displaystyle e^{\beta \,{\frac {\alpha }{2}}}\,\gamma _{0}=\gamma _{0}\,e^{-\beta \,{\frac {\alpha }{2}}}}$هنا ،${\displaystyle \alpha }$⁠ هو مُعامل عددي حقيقي.

بالنسبة للمتجه الثنائي${\displaystyle \beta }$وجود محورين مكانيين ، مثل${\displaystyle \gamma _{2}\,\gamma _{3},}$${\displaystyle e^{\beta \,{\frac {\theta }{2}}}\,\gamma _{0}=\gamma _{0}\,e^{\beta \,{\frac {\theta }{2}}}}$هنا ،${\displaystyle \theta }$⁠ هو مُعامل عددي حقيقي.

للدوران المكاني ^{[ 32 ]} حول المحور السيني${\displaystyle \beta =\gamma _{2}\,\gamma _{3}=-(\gamma _{0}\,\gamma _{1}\,\gamma _{2}\,\gamma _{3})\,\gamma _{1}\,\gamma _{0}\rightarrow -i\,\sigma _{1}\rightarrow {\textbf {I}}}$، إعطاء${\displaystyle {\textbf {X}}'\,=\,e^{-{\frac {\theta }{2}}\,{\textbf {I}}}\,{\textbf {X}}\,e^{{\frac {\theta }{2}}\,{\textbf {I}}}\quad }$ هنا ،${\displaystyle \theta }$هي زاوية الدوران و${\displaystyle {\textbf {X}}=x^{0}+i\,x^{1}{\textbf {I}}+i\,x^{2}{\textbf {J}}+i\,x^{3}{\textbf {K}}}$هذا هو الشكل الذي استخدمه بام ديراك. ^{[ 33 ]}

لزيادة السرعة ^{[ 34 ] [ 35 ]} في الاتجاه السيني، المتجه الثنائي${\displaystyle \beta =\gamma _{1}\,\gamma _{0}\rightarrow \sigma _{1}\rightarrow i\,{\textbf {I}}}$، إعطاء${\displaystyle {\textbf {X}}'\,=\,e^{-{\frac {\alpha }{2}}\,i\,{\textbf {I}}}\,{\textbf {X}}\,e^{-{\frac {\alpha }{2}}\,i\,{\textbf {I}}}\quad }$هنا​${\displaystyle \cosh \alpha =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}}$، حيث​${\displaystyle v}$⁠ هي السرعة.

أي عنصر من عناصر الزمكان${\displaystyle A}$يتم تحويلها عن طريق الضرب بالكمية الزائفة لتشكيل ثنائي هودج الخاص بها .${\displaystyle AI}$[ ³⁶ ] دوران الازدواجية يحول ^{عنصر الزمكان}${\displaystyle A}$إلى عنصر​${\displaystyle A^{\prime }}$من خلال الزاوية${\displaystyle \phi }$مع شبه قياسي${\displaystyle I}$هو : ^{[ 37 ]}

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A.}$

يحدث دوران الازدواجية فقط في جبر كليفورد غير المنفرد ، أي غير المنفرد، أي جبر كليفورد الذي يحتوي على كميات زائفة قياسية ذات مربع غير صفري. ^{[ 37 ]}

يُحوّل الانعكاس الطبقي (الانعكاس الرئيسي، الانعكاس) كل${\displaystyle r}$-vector​​${\displaystyle A_{r}}$إلى​​${\displaystyle A_{r}^{\ast }}$⁠ : ^{[ 37 ] [ 38 ]}

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}.}$

يحدث تحويل الانعكاس عن طريق تحليل أي عنصر من عناصر الزمكان إلى مجموع نواتج ضرب متجهات، ثم عكس ترتيب كل ناتج ضرب. ^{[ 37 ] [ 39 ]} بالنسبة للمتجهات المتعددة ${\textstyle A}$ناشئ عن حاصل ضرب متجهات،${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$العودة إلى الوضع السابق هي${\textstyle A^{\dagger }}$:

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}.}$

اقتران كليفورد لعنصر الزمكان ⁠${\displaystyle A}$يجمع بين تحولات الانعكاس وتحولات انعكاس الدرجة، المشار إليها بـ${\displaystyle {\tilde {A}}}$⁠ : ^{[ 40 ]}

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }}$

إن تحويلات الانعكاس والانعكاس والاقتران من نوع كليفورد هي تحويلات انعكاس . ^{[ 41 ]}

تسمح تقنية التحليل الطيفي الثابت (STA) بوصف جسيم باولي باستخدام نظرية حقيقية بدلاً من نظرية المصفوفات. وصف جسيم باولي باستخدام نظرية المصفوفات هو: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

أين​${\displaystyle \Psi }$هو سبينور،​​${\displaystyle i}$⁠ هي الوحدة التخيلية التي لا تحمل أي تفسير هندسي، ⁠${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$هي مصفوفات باولي (مع استخدام رمز "القبعة" للإشارة إلى أن${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$( هو عامل مصفوفة وليس عنصرًا في الجبر الهندسي)، و${\displaystyle H_{S}}$هو هاميلتونيان شرودنغر.

يقوم نهج STA بتحويل تمثيل المصفوفة الدورانية ⁠${\displaystyle \vert \psi \rangle }$إلى تمثيل STA${\displaystyle \psi }$باستخدام العناصر،${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$، من الجبر الفرعي للزمكان ذي التدرج الزوجي والكمية شبه القياسية ⁠${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$⁠ : ^{[ 13 ] [ 55 ]}

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{bmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}} }$

يتم وصف جسيم باولي بواسطة معادلة باولي-شرودنغر الحقيقية: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

أين الآن${\displaystyle \psi }$⁠ هو متجه متعدد زوجي للجبر الهندسي، وهاملتونيان شرودنغر هو ⁠${\displaystyle H_{S}}$يشير هيستينز إلى هذا باسم نظرية باولي-شرودنغر الحقيقية للتأكيد على أن هذه النظرية تختزل إلى نظرية شرودنغر إذا تم حذف الحد الذي يتضمن المجال المغناطيسي. ^{[ 56 ]} المتجه${\displaystyle \sigma _{3}}$هو متجه ثابت تم اختياره بشكل عشوائي؛ يمكن لدوران ثابت أن يولد أي متجه ثابت بديل تم اختياره .${\displaystyle \sigma _{3}^{\prime }}$[ ⁵⁷ ]^​​

تُمكّن تقنية التحليل الطيفي الثابت (STA) من وصف جسيم ديراك باستخدام نظرية حقيقية بدلاً من نظرية المصفوفات. وصف جسيم ديراك باستخدام نظرية المصفوفات هو: ^{[ 58 ]}

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

أين​${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$⁠ هي مصفوفات ديراك و ⁠${\displaystyle i}$⁠ هي الوحدة التخيلية التي ليس لها تفسير هندسي.

باستخدام نفس النهج المتبع في معادلة باولي، يقوم نهج STA بتحويل المصفوفة ذات الدوران العلوي ⁠${\displaystyle \vert \psi _{U}\rangle }$والمصفوفة السفلية للنخاع الشوكي${\displaystyle \vert \psi _{L}\rangle }$من مصفوفة ديراك سبينور${\displaystyle \vert \psi \rangle }$إلى تمثيلات السبينور في الجبر الهندسي المقابلة${\displaystyle \psi _{U}}$و​​${\displaystyle \psi _{L}}$ثم يتم دمج هذه العناصر لتمثيل جبر ديراك الكامل .${\displaystyle \psi }$[ ⁵⁹ ]^​​

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}} }$

وبناءً على اشتقاق هيستينز، يتم وصف جسيم ديراك بالمعادلة: ^{[ 58 ] [ 60 ]}

هنا ،${\displaystyle \psi }$⁠ هو حقل السبينور، ⁠${\displaystyle \gamma _{0}}$و​​${\displaystyle I\sigma _{3}}$هي عناصر من الجبر الهندسي ،${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي ، و ⁠${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$⁠ هو مشتق متجه الزمكان.

• الجبر الهندسي
• جبر ديراك
• معادلات ماكسويل
• معادلة ديراك
• النسبية العامة
• تحويلات لورنتز الرباعية