الشكلية الرباعية

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ شكل الرباعيات منهجًا في النسبية العامة يُعمّم اختيار أساس الحزمة المماسية من أساس إحداثي إلى اختيار أقل تقييدًا لأساس محلي، أي مجموعة مُعرّفة محليًا من أربعة حقول متجهة مستقلة خطيًا تُسمى رباعية أو فيرباين . [ 1 ] وهي حالة خاصة من الفكرة الأكثر عمومية لشكل الفيرباين ، المُطبّقة في الهندسة الريمانية (الزائفة) . تُشير هذه المقالة ، بصيغتها الحالية ، بشكل متكرر إلى النسبية العامة؛ ومع ذلك ، فإن كل ما ورد فيها ينطبق بالتساوي على مشعبات الريمان (الزائفة) بشكل عام، وحتى على مشعبات الدوران . وتظل معظم العبارات صحيحة باستبدال قيم عشوائية .ن{\displaystyle n}لن=4{\displaystyle n=4}في اللغة الألمانية، تعني كلمة " vier " "أربعة"، و" viel " تعني "كثير"، و" bein " تعني "ساق".

الفكرة العامة هي كتابة موتر القياس كحاصل ضرب إحداثيين ثنائيي الأبعاد ، أحدهما على اليسار والآخر على اليمين. ويتمثل تأثير هذين الإحداثيين في تغيير نظام الإحداثيات المستخدم على مشعب المماس إلى نظام أبسط أو أكثر ملاءمة للحسابات. غالبًا ما يكون نظام إحداثيات الإحداثيين متعامدًا، لأنه الأسهل استخدامًا بشكل عام. تصبح معظم الموترات بسيطة أو حتى تافهة في هذا النظام الإحداثي؛ وبالتالي يتضح أن تعقيد معظم التعبيرات هو نتيجة لاختيار الإحداثيات، وليس خاصية جوهرية أو تأثيرًا فيزيائيًا . أي، كصيغة رياضية، لا يغير هذا النظام التنبؤات؛ بل هو أسلوب حسابي.

تكمن ميزة صيغة الرباعيات على النهج القياسي القائم على الإحداثيات في النسبية العامة في إمكانية اختيار أساس الرباعيات ليعكس الجوانب الفيزيائية المهمة للزمكان. يشير ترميز المؤشر المجرد إلى الموترات كما لو كانت ممثلة بمعاملاتها بالنسبة إلى رباعي محلي ثابت. وبالمقارنة مع الترميز الخالي تمامًا من الإحداثيات ، والذي غالبًا ما يكون أكثر وضوحًا من الناحية المفاهيمية، فإنه يتيح طريقة سهلة وواضحة حسابيًا للدلالة على الانكماشات.

تتجلى أهمية الصيغة الرباعية في صياغة أينشتاين-كارتان للنسبية العامة. وتُعدّ الصيغة الرباعية للنظرية أكثر جوهرية من صيغتها المترية، إذ لا يمكن التحويل بين الصيغتين الرباعية والمترية لتأثيرات الفرميونات، على الرغم من إمكانية ذلك بالنسبة لتأثيرات البوزونات . ويعود ذلك أساسًا إلى إمكانية تعريف سبينورات فايل بشكل طبيعي على مشعب ريماني [ 2 ] ، ويؤدي وضعها الطبيعي إلى اتصال اللف المغزلي . وتتخذ هذه السبينورات شكلها في نظام إحداثيات فايلباين، وليس في نظام إحداثيات المشعب.

يظهر الشكل الرباعي المميز أيضًا في التفكيك البُعدي لنظريات جاذبية كالوزا-كلاين ذات الأبعاد الأعلى [ 3 ] [ 4 ] ونظريات الجاذبية الكتلية ، حيث يُستبدل البُعد (أو الأبعاد) الإضافي بسلسلة من N موقعًا شبكيًا ، بحيث يُستبدل المقياس ذو الأبعاد الأعلى بمجموعة من المقاييس المتفاعلة التي تعتمد فقط على المكونات رباعية الأبعاد. [ 5 ] وتظهر فيلباينز بشكل شائع في سياقات عامة أخرى في الفيزياء والرياضيات. ويمكن فهم فيلباينز على أنها أشكال لحام .

الصياغة الرياضية

صيغة الرباعية هي حالة خاصة من صيغة أكثر عمومية، تُعرف باسم صيغة vielbein أو صيغة n -bein، حيث n = 4. تُكتب كلمة Vielbein بحرف "l" وليس "r": في اللغة الألمانية، تعني كلمة "viel" "كثير"، ولا ينبغي الخلط بينها وبين كلمة "vier" التي تعني "أربعة".

في صيغة فيلباين، [ 6 ] غطاء مفتوح لمتشعب الزمكانم{\displaystyle M}ويتم اختيار أساس محلي لكل مجموعة من تلك المجموعات المفتوحة: مجموعة منن{\displaystyle n}حقول متجهة مستقلة

هـأ=هـأμ∂μ{\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}

لأ=1،...،ن{\displaystyle a=1,\ldots ,n}والتي تشمل مجتمعةن{\displaystyle n}حزمة مماسية ذات بُعد n عند كل نقطة في المجموعة. وبالمثل، تحدد حزمة فيلبين (أو رباعي الأبعاد في 4 أبعاد) (وتتحدد بواسطة) حزمة فيلبين مشتركة (أو رباعية مشتركة) ثنائية - وهي مجموعة منن{\displaystyle n}الأشكال المستقلة من الدرجة الأولى .

هـأ=هـأμدxμ{\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}

بحيث

هـأ(هـب)=هـأμهـبμ=دلتابأ،{\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},}

أيندلتابأ{\displaystyle \delta _{b}^{a}}هي دلتا كرونكر . عادةً ما يتم تحديد الإطار المرجعي بمعاملاته.هـμأ{\displaystyle e^{\mu }_{a}}بالنسبة إلى أساس إحداثيات، على الرغم من اختيار مجموعة من الإحداثيات (المحلية).xμ{\displaystyle x^{\mu }}غير ضروري لتحديد مواصفات رباعي. كل ناقل متجانس هو شكل لحام .

من وجهة نظر الهندسة التفاضلية لحزم الألياف ، فإن حقول المتجهات n{هـأ}أ=1...ن{\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}حدد جزءًا من حزمة الإطار ، أي عملية موازاة لـيو⊂م{\displaystyle U\subset M}وهو ما يعادل التشاكلتييو≅يو×Rن{\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}بما أن ليس كل سطح متعدد الشعب قابلاً للتوازي، فلا يمكن عمومًا اختيار سطح متعدد الشعب إلا محليًا ( أي فقط على مخطط إحداثيات) .يو{\displaystyle U}وليس كلم{\displaystyle M}.)

يمكن التعبير عن جميع موترات النظرية في أساس المتجهات والمتجهات المرافقة، وذلك بالتعبير عنها كتركيبات خطية لعناصر (المتجه المرافق) ذي الأبعاد المتعددة. على سبيل المثال، يمكن تحويل موتر قياس الزمكان من أساس الإحداثيات إلى أساس الرباعيات .

تشمل قواعد الرباعيات الشائعة في النسبية العامة الرباعيات المتعامدة والرباعيات الصفرية. تتكون الرباعيات الصفرية من أربعة متجهات صفرية ، لذا فهي تُستخدم بكثرة في المسائل المتعلقة بالإشعاع، وهي أساس صيغة نيومان-بنروز وصيغة GHP .

العلاقة بالصيغة القياسية

تعتمد الصيغة القياسية للهندسة التفاضلية (والنسبية العامة) على استخدام رباعي الإحداثيات في صيغة رباعي الإحداثيات. رباعي الإحداثيات هو المجموعة المتعارف عليها من المتجهات المرتبطة بمخطط الإحداثيات . ويُشار إلى رباعي الإحداثيات عادةً بالرمز التالي:{∂μ}{\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}بينما يُرمز إلى الرباعي المزدوج بـ{دxμ}{\displaystyle \{dx^{\mu }\}}تُعرَّف متجهات المماس هذه عادةً على أنها عوامل اشتقاق اتجاهية : بالنظر إلى مخططφ=(φ1،...،φن){\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}والتي ترسم مجموعة فرعية من المتشعب إلى فضاء إحداثياتRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}وأي حقل قياسيو{\displaystyle f}تكون متجهات الإحداثيات على النحو التالي:

∂μ[و]≡∂(و∘φ-1)∂xμ.{\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}

يستخدم تعريف الكوتتراد إساءة استخدام الرموز المعتادةدxμ=دφμ{\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}لتعريف المتجهات المرافقة (الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى) علىم{\displaystyle M}لا يُذكر عادةً دور رباعي الإحداثيات صراحةً في الصيغة القياسية. في صيغة الرباعي، بدلاً من كتابة معادلات الموتر بالكامل (بما في ذلك عناصر الرباعي وحاصل ضرب الموتر)⊗{\displaystyle \otimes }كما ذُكر أعلاه، تُذكر فقط مكونات الموترات. على سبيل المثال، يُكتب المقياس على النحو التالي: "زأب{\displaystyle g_{ab}}عندما لا يتم تحديد الرباعي، يصبح الأمر متعلقًا بتحديد نوع الموتر، وهو ما يُعرف بتدوين الفهرس المجرد . يسمح هذا بتحديد الانكماش بين الموترات بسهولة عن طريق تكرار الفهارس كما هو الحال في اصطلاح جمع أينشتاين.

يُعدّ تغيير الرباعيات عملية روتينية في الصيغة القياسية، إذ يدخل في كل تحويل إحداثي (أي الانتقال من أساس رباعي إحداثي إلى آخر). ويُعدّ التبديل بين جداول إحداثيات متعددة ضروريًا لأنه، باستثناء الحالات البسيطة، لا يمكن لمخطط إحداثيات واحد أن يغطي كامل المتشعب. ويُشابه هذا الأمر إلى حد كبير التغيير بين الرباعيات العامة، وهو ضروري بنفس القدر (باستثناء المتشعبات القابلة للتوازي ). ويمكن كتابة أي موتر محليًا بدلالة هذا الرباعي الإحداثي أو رباعي عام (مشترك).

على سبيل المثال، موتر القياسز{\displaystyle \mathbf {g} }يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

ز=زμνدxμدxνأين زμν=ز(∂μ،∂ν).{\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}

(هنا نستخدم اصطلاح جمع أينشتاين ). وبالمثل، يمكن التعبير عن المقياس بالنسبة إلى رباعي (مشترك) عشوائي كما يلي:

ز=زأبهـأهـبأين زأب=ز(هـأ،هـب).{\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{حيث}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}

هنا، نستخدم اختيار الأبجدية ( اللاتينية واليونانية ) لمتغيرات الفهرس لتمييز الأساس المطبق .

يمكننا التحويل من رباعي مشترك عام إلى رباعي مشترك إحداثي عن طريق توسيع المتجه المشتركهـأ=هـأμدxμ{\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}ثم نحصل على

ز=زأبهـأهـب=زأبهـأμهـبνدxμدxν=زμνدxμدxν{\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}

ومن ثم يترتب على ذلك أنزμν=زأبهـأμهـبν{\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}وبالمثل توسيعدxμ=هـμأهـأ{\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }_{a}e^{a}}بالنسبة للرباعية العامة، نحصل على

ز=زμνدxμدxν=زμνهـμأهـνبهـأهـب=زأبهـأهـب{\displaystyle \mathbf {g} =g_ {\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}

مما يدل على أنزأب=زμνهـμأهـνب{\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }_{a}e^{\nu }_{b}}.

التلاعب بالمؤشرات

تُظهر المعالجة بمعاملات الرباعية أنه من حيث المبدأ، يمكن الحصول على صيغ فهرسية مجردة من صيغ الموترات بالنسبة إلى رباعية إحداثيات عن طريق "استبدال الفهارس اليونانية باللاتينية". ومع ذلك، يجب توخي الحذر لضمان أن صيغة رباعية الإحداثيات تُعرّف موترًا حقيقيًا عند إجراء التفاضل. نظرًا لأن حقول متجهات الإحداثيات لها قوس لي معدوم (أي أنها تبادلية:∂μ∂ν=∂ν∂μ{\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }})، قد لا تؤدي عمليات الاستبدال الساذجة للصيغ التي تحسب معاملات الموتر بشكل صحيح بالنسبة إلى رباعي إحداثيات إلى تعريف الموتر بشكل صحيح بالنسبة إلى رباعي عام لأن قوس لي غير صفري:[هـأ،هـب]≠0{\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}وهكذا، يقال أحيانًا أن إحداثيات الرباعيات توفر أساسًا غير هولونومي .

على سبيل المثال، يتم تعريف موتر انحناء ريمان لحقول المتجهات العامةX،Y{\displaystyle X,Y}بواسطة

R(X،Y)=(∇X∇Y-∇Y∇X-∇[X،Y]){\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}.

في نظام رباعي الإحداثيات، ينتج عن ذلك معاملات الموتر

R νστμ=دxμ((∇σ∇τ-∇τ∇σ)∂ν).{\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\جزئي _ {\nu }\يمين).}

استبدال التعبير الأخير الساذج بـ "اليونانية إلى اللاتينية".

R بجدأ=هـأ((∇ج∇د-∇د∇ج)هـب)(خطأ!){\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(خطأ!)}}}

هذا غير صحيح لأنه بالنسبة لقيم ثابتة لـ c و d ،(∇ج∇د-∇د∇ج){\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}هو، بشكل عام، مؤثر تفاضلي من الدرجة الأولى وليس مؤثرًا من الدرجة الصفرية يُعرّف معاملًا موترًا. ومع ذلك، باستبدال أساس رباعي عام في الصيغة المجردة، نجد التعريف الصحيح للانحناء في تدوين المؤشر المجرد:

R بجدأ=هـأ((∇ج∇د-∇د∇ج-وجدهـ∇هـ)هـب){\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}

أين[هـأ،هـب]=وأبجهـج{\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}لاحظ أن التعبير(∇ج∇د-∇د∇ج-وجدهـ∇هـ){\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}هو بالفعل مؤثر من الرتبة الصفرية، وبالتالي فإن (المركبة ( c d ) من) عبارة عن موتر. وبما أنه يتوافق مع تعبير الإحداثيات للانحناء عند تخصيصه لرباعي إحداثيات، فمن الواضح، حتى بدون استخدام التعريف المجرد للانحناء، أنه يُعرّف نفس الموتر الذي يُعرّفه تعبير أساس الإحداثيات.

مثال: جماعات الكذب

بفرض وجود متجه (أو متجه مرافق) في مشعب المماس (أو مشعب المماس المشترك)، فإن الخريطة الأسية تصف المسار الجيوديسي المقابل لهذا المتجه المماس. كتابةX∈تيم{\displaystyle X\in TM}يتوافق النقل المتوازي للتفاضل مع

هـ-XدهـX=دX-12![X،دX]+13![X،[X،دX]]-14![X،[X،[X،دX]]]+⋯{\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }

يمكن التحقق مما سبق بسهولة بمجرد أخذX{\displaystyle X}أن تكون مصفوفة.

في الحالة الخاصة لجبر لي ، فإنX{\displaystyle X}يمكن اعتبارها عنصرًا من عناصر الجبر، والدالة الأسية هي الخريطة الأسية لمجموعة لي ، وعناصر المجموعة تتوافق مع الخطوط الجيوديسية لمتجه المماس. اختيار أساسهـأنا{\displaystyle e_{i}}لجبر لي والكتابةX=Xأناهـأنا{\displaystyle X=X^{i}e_{i}}بالنسبة لبعض الوظائفXأنا،{\displaystyle X^{i},}يمكن كتابة المبدلات بشكل صريح. ويمكن حساب ذلك بسهولة.

هـ-XدهـX=دXأناهـأنا-12!XأنادXجوأناجكهـك+13!XأناXجدXكوجكلوأنالمهـم-⋯{\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }

ل[هـأنا،هـج]=وأناجكهـك{\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}ثوابت بنية جبر لي. يمكن كتابة المتسلسلة بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:

هـ-XدهـX=هـأنادبليوأناجدXج{\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}

مع المتسلسلة اللانهائية

دبليو=∑ن=0∞(-1)نمن(ن+1)!=(أنا-هـ-م)م-1.{\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}

هنا،م{\displaystyle M}هي مصفوفة عناصرها هيمجك=Xأناوأناجك{\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}المصفوفةدبليو{\displaystyle W}إذن، هو الإطار؛ فهو يعبر عن التفاضلدXج{\displaystyle dX^{j}}من حيث "الإحداثيات المسطحة" (المتعامدة، في ذلك)هـأنا{\displaystyle e_{i}}.

بالنظر إلى بعض الخرائطشمال→جي{\displaystyle N\to G}من بعض المشعباتشمال{\displaystyle N}إلى بعض جماعات الكذبجي{\displaystyle G}، موتر القياس على المتشعبشمال{\displaystyle N}يصبح سحبًا عكسيًا لموتر القياسبمن{\displaystyle B_{mn}}حول مجموعة الكذبجي{\displaystyle G}:

زأناج=دبليوأنامبمندبليونج{\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}

موتر القياسبمن{\displaystyle B_{mn}}على زمرة لي، يوجد مقياس كارتان، المعروف أيضًا باسم شكل كيلينغ . لاحظ أن W الثانية، كمصفوفة، هي منقولة المصفوفة.شمال{\displaystyle N}في فضاء ريماني (شبه ريماني) ، يكون المقياس مقياسًا ريمانيًا (شبه ريماني) . ويمكن تعميم ما سبق على حالة الفضاءات المتناظرة . [ 7 ] تُستخدم هذه الـ vielbeins لإجراء حسابات في نماذج سيجما ، التي تُعد نظريات الجاذبية الفائقة حالة خاصة منها. [ 8 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يمكن استخدام نفس النهج لزمكان ذي أبعاد عشوائية، حيث يُشار إلى إطار حزمة الإطار باسم n-bein أو vielbein .

الاقتباسات

  1. ↑ دي فيليس، ف.؛ كلارك، سي جيه إس (1990)، النسبية على المشعبات المنحنية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص  133، ISBN 0-521-26639-4
  2. ↑ جوست، يورغن (1995)، الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي ، سبرينغر، ISBN 3-540-57113-2
  3. ↑ أركاني حامد، نيما؛ كوهين، أندرو ج.؛ جورجي، هوارد (مايو 2001). "(فك) بناء الأبعاد" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 86 (21): 4757-4761 . arXiv : hep-th/0104005 . Bibcode : 2001PhRvL..86.4757A . doi : 10.1103/PhysRevLett.86.4757 . ISSN 0031-9007 . PMID 11384341. S2CID 4540121 .   
  4. ↑ هيل، كريستوفر ت.؛ بوكورسكي، ستيفان؛ وانغ، جينغ (11 أكتوبر 2001). "لاغرانجيان فعال ثابت المقياس لأنماط كالوزا-كلاين". مجلة Physical Review D. 64 ( 10) 105005. الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS). arXiv : hep-th/0104035 . Bibcode : 2001PhRvD..64j5005H . doi : 10.1103/physrevd.64.105005 . ISSN 0556-2821 . S2CID 7377062 .  
  5. ↑ دي رام، كلوديا (ديسمبر 2014). "الجاذبية الهائلة" . مراجعات حية في النسبية . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Bibcode : 2014LRR ....17....7D . doi : 10.12942/lrr-2014-7 . ISSN 2367-3613 . PMC 5256007. PMID 28179850 .   
  6. ↑ Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey and Andrew J. Hanson, “ Gravitation, Gauge Overviews and Differential Geometry “, Physics Reports 66 (1980) pp 213-393.
  7. ^ نجاة توفيق يلماز، (2007) “حول حركيات نموذج سيجما للفضاء المتماثل” arXiv:0707.2150 [hep-th]
  8. ^ أرجان كيورنجيس (2003) “نظرية المجموعة للأكسدة”، أرخايف:0210178 [hep-th]

مراجع

  • دي فيليس، ف.؛ كلارك، سي جيه إس (1990)، النسبية على المشعبات المنحنية (نُشرت لأول مرة في  طبعة 1990)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-26639-4
  • بين، آي إم؛ تاكر، آر دبليو (1987)، مقدمة في السبينورات والهندسة مع تطبيقات في الفيزياء (نُشرت لأول مرة في  طبعة 1987)، آدم هيلجر، رقم ISBN 0-85274-169-3
  • النسبية العامة مع الرباعيات