موتر الدوران

الموسوعة الحرة

في الرياضيات والفيزياء الرياضية والفيزياء النظرية ، يُستخدم موتر اللف المغزلي لوصف الحركة الدورانية للجسيمات في الزمكان . وله تطبيقات في النسبية العامة والنسبية الخاصة ، بالإضافة إلى ميكانيكا الكم ، وميكانيكا الكم النسبية ، ونظرية الحقل الكمومي .

تتولد المجموعة الإقليدية الخاصة SE(d) للتناظرات المباشرة من خلال عمليات الإزاحة والدوران . ويُكتب جبر لي الخاص بها على النحو التالي :sهـ(د){\displaystyle {\mathfrak {se}}(د)}.

تستخدم هذه المقالة الإحداثيات الديكارتية ورمز مؤشر الموتر .

معلومات أساسية عن تيارات نوثر

يمثل تيار نوثر للانتقالات في الفضاء الزخم، بينما يمثل التيار للزيادات الزمنية الطاقة. يتحد هذان البيانان في الزمكان: الانتقالات في الزمكان، أي الإزاحة بين حدثين، تتولد بفعل الزخم الرباعي P. ويُعطى قانون حفظ الزخم الرباعي بمعادلة الاستمرارية .

∂νتيμν=0،{\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,}

أينتيμν{\displaystyle T^{\mu \nu }\,}يمثل موتر الإجهاد والطاقة ، و∂ مشتقات جزئية تُشكل التدرج الرباعي (في الإحداثيات غير الديكارتية، يجب استبدالها بالمشتقة المتغيرة ). التكامل على الفضاء:

∫د3xتيμ0(x→،ت)=Pμ{\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}\left({\vec {x}},t\right)=P^{\mu }}

يعطي متجه الزخم الرباعي عند الزمن t .

يُعطى تيار نوثر للدوران حول النقطة y بواسطة موتر من الرتبة الثالثة، ويرمز له بـمyαβμ{\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }}بسبب علاقات جبر لي

مyαβμ(x)=م0αβμ(x)+yαتيβμ(x)-yβتيαμ(x)،{\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}

حيث يشير الرمز السفلي 0 إلى نقطة الأصل (على عكس الزخم، يعتمد الزخم الزاوي على نقطة الأصل)، فإن التكامل:

∫د3xم0μν(x→،ت){\displaystyle \int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)}

يعطي موتر الزخم الزاويمμν{\displaystyle M^{\mu \nu }\,}في الوقت t .

تعريف

يُعرَّف موتر الدوران عند نقطة x بأنه قيمة تيار نوثر عند x لدوران حول x ،

Sαβμ(x)=دهـومxαβμ(x)=م0αβμ(x)+xαتيβμ(x)-xβتيαμ(x){\displaystyle S^{\alpha \beta \mu}(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} M_{x}^{\alpha \beta \mu}(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu}(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}

معادلة الاستمرارية

∂μم0αβμ=0،{\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,}

يعني:

∂μSαβμ=تيβα-تيαβ≠0{\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0}

وبالتالي، فإن موتر الإجهاد والطاقة ليس موترًا متناظرًا .

الكمية S هي كثافة الزخم الزاوي الدوراني (الدوران في هذه الحالة ليس فقط لجسيم نقطي، بل أيضاً لجسم ممتد)، و M هي كثافة الزخم الزاوي المداري. الزخم الزاوي الكلي هو دائماً مجموع مساهمات الدوران والمدار.

العلاقة:

تيأناج-تيجأنا{\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}

يعطي كثافة عزم الدوران التي توضح معدل التحويل بين الزخم الزاوي المداري والدوران.

أمثلة

من أمثلة المواد ذات الكثافة الدورانية غير الصفرية: الموائع الجزيئية ، والمجال الكهرومغناطيسي ، والموائع المضطربة . في الموائع الجزيئية، قد تدور الجزيئات الفردية. ويمكن أن يكون للمجال الكهرومغناطيسي ضوء مستقطب دائريًا . أما في الموائع المضطربة، فيمكننا التمييز، بشكل اعتباطي، بين الظواهر ذات الأطوال الموجية الطويلة والظواهر ذات الأطوال الموجية القصيرة. إذ يمكن تحويل الدوامة ذات الطول الموجي الطويل ، عبر الاضطراب، إلى دوامات أصغر فأصغر، ناقلةً الزخم الزاوي إلى أطوال موجية أصغر فأصغر، مع تقليل الدوامة في الوقت نفسه . ويمكن تقريب ذلك باستخدام لزوجة الدوامة .

انظر أيضاً

مراجع