ثابت الجاذبية الغاوسي

ذكر غاوس نفسه قيمة الثابت بالثواني القوسية ، بتسعة أرقام معنوية، على النحو التالي: k = 3548.187.61 . وفي أواخر القرن التاسع عشر، اعتمد سيمون نيومب هذه القيمة وحوّلها إلى راديان ، لتصبح k = 0.017.202.098.95 . ^{[ 6} ] ويظهر الثابت بهذه الصيغة في جداول الشمس التي نشرها عام ^{1898. [ 7 ]}

حظي عمل نيوكومب بقبول واسع النطاق باعتباره الأفضل المتاح آنذاك ^{[ 8 ]} ، وتم دمج قيمه للثوابت في كم هائل من الأبحاث الفلكية. ونتيجة لذلك، أصبح من الصعب فصل الثوابت عن البحث؛ إذ أن أي قيم جديدة للثوابت من شأنها أن تُبطل، جزئيًا على الأقل، مجموعة كبيرة من الأعمال. ولذا، بعد تأسيس الاتحاد الفلكي الدولي عام 1919، بدأت بعض الثوابت تُقبل تدريجيًا باعتبارها "أساسية": ثوابت تعريفية تُشتق منها جميع الثوابت الأخرى. وفي عام 1938، أعلنت الجمعية العامة السادسة للاتحاد الفلكي الدولي ،

نعتمد القيمة التالية لثابت جاوس

k = 0.01720 20989 50000

وحدة الزمن هي متوسط ​​اليوم الشمسي لعام 1900.0 ^{[ 9 ]}

مع ذلك، لم تُبذل أي جهود إضافية لوضع مجموعة من الثوابت حتى عام 1950. ^{[ 10 ]} عُقدت ندوة للاتحاد الفلكي الدولي حول نظام الثوابت في باريس عام 1963، جزئيًا استجابةً للتطورات الأخيرة في استكشاف الفضاء. ^{[ 6 ]} قرر الحضور في ذلك الوقت وضع مجموعة متسقة من الثوابت. ونص القرار رقم 1 على ما يلي:

سيتم تعريف النظام الجديد من خلال مجموعة غير متكررة من الثوابت الأساسية، ومن خلال علاقات صريحة بين هذه الثوابت والثوابت المشتقة منها.

القرار رقم 4 مُوصى به

أن تعامل المجموعة العاملة الكميات التالية كثوابت أساسية (بمعنى القرار رقم 1).

تضمنت قائمة الثوابت الأساسية ما يلي:

الثابت الغاوسي للجاذبية، كما حددته الجمعية العامة السادسة للاتحاد الفلكي الدولي في عام 1938، بقيمة 0.017202098950000. ^{[ 6 ]}

وقد تبنت هذه القرارات مجموعة عمل تابعة للاتحاد الفلكي الدولي، والتي أوصت في تقريرها بثابتين أساسيين، أحدهما هو

ثابت الجاذبية الغاوسي، الذي يحدد au k = 0.01720209895 ^{[ 6 ]}     

لأول مرة، تم الاعتراف رسمياً بدور ثابت غاوس في مقياس النظام الشمسي. وقد قُبلت توصيات فريق العمل في الجمعية العامة الثانية عشرة للاتحاد الفلكي الدولي في هامبورغ، ألمانيا، عام 1964. ^{[ 11 ]}

يُعطى k ككسر بدون وحدة من رتبة 1.7%، ولكن يمكن اعتباره مكافئًا للجذر التربيعي لثابت الجاذبية ، ^{[ 15 ]} وفي هذه الحالة تكون وحداته au ^{3 ⁄ 2} ⋅d ⁻¹ ⋅ M _☉ ^{− 1 ⁄ 2} ، ^{[ 6 ]} حيث

au هي المسافة التي تأخذ k قيمتها كما هو محدد بواسطة Gauss - مسافة المدار الدائري غير المضطرب لجسم افتراضي عديم الكتلة تكون فترة مداره 2π / k أيام ، ^{[ 12 ]}

يمثل d متوسط ​​اليوم الشمسي (86400 ثانية).

M _☉ هي كتلة الشمس .​

لذلك، فإن أبعاد k هي ^{[ 16 ]}

الطول ^{3 ⁄ 2} الزمن ⁻¹ الكتلة ^{− 1 ⁄ 2} أو L ^{3 ⁄ 2} T ⁻¹ M ^{− 1 ⁄ 2} .

على الرغم من ذلك، فإن قيمة k معروفة بدقة أكبر بكثير من قيمة G (أو الجذر التربيعي لـ G ). فالقيمة المطلقة لـ G معروفة بدقة تصل إلى حوالي 10⁻⁴ ^، بينما يُعرف حاصل ضرب G _{في M☉} ( معامل جاذبية الشمس) بدقة أفضل من ^10⁻¹⁰ .

يبدأ غاوس كتابه "نظرية الحركة" (Theoria Motus) بعرض عدة قوانين تتعلق بحركة الأجسام حول الشمس، دون تقديم برهان. ^{[ 1 ]} ويذكر لاحقًا في النص أن بيير سيمون لابلاس تناول هذه القوانين بالتفصيل في كتابه "الميكانيكا السماوية" (Mécanique Céleste ). ^{[ 17 ]} أما القانونان الأخيران لغاوس فهما كالتالي:

• المساحة التي يمسحها خط يصل بين جرم سماوي والشمس مقسومة على الزمن الذي يستغرقه مسح هذا الخط تعطي ناتج قسمة ثابت . هذا هو قانون كبلر الثاني لحركة الكواكب .
• مربع هذا الناتج يتناسب مع معامل المدار (أي الوتر البؤري المستقيم ) ومجموع كتلة الشمس والجسم. هذه صيغة معدلة لقانون كبلر الثالث .

ثم يحدد ما يلي:

• 2π كمعامل (أي الوتر المستقيمي ) لمدار الجسم ،
• μ هي كتلة الجسم، حيث كتلة الشمس = 1،
• ½ غرام كمساحة تم مسحها بخط يصل بين الشمس والجسم ،
• t هو الوقت الذي يتم فيه مسح هذه المنطقة،

ويعلن أن

${\displaystyle {\frac {g}{t{\sqrt {p}}{\sqrt {1+\mu }}}}}$

هو "ثابت لجميع الأجرام السماوية". ويتابع قائلاً: "لا يهم أي جرم سماوي نستخدمه لتحديد هذا الرقم"، ولذا يستخدم الأرض، مُعرّفاً إياها.

• وحدة المسافة = متوسط ​​المسافة بين الأرض والشمس (أي نصف محورها الرئيسي )،
• وحدة الزمن = يوم شمسي واحد .

ويذكر أن المساحة التي تكتسحها الأرض في مدارها "ستكون بوضوح" π √ p ، ويستخدم ذلك لتبسيط ثابته إلى

${\displaystyle {\frac {2\pi }{t{\sqrt {1+\mu }}}}.}$

هنا، يُسمّي الثابت k ويُعوّض ببعض القيم المقاسة، t =365.256 3835 يومًا، μ = ⁠ 1 /354710 كتلة شمسية ،تحقق النتيجةk=0.017 202 098 95 .

يشتهر غاوس بإغفاله للتفاصيل، وهذا الاشتقاق ليس استثناءً. وقد أُعيد هنا بأسلوب حديث، مع توضيح بعض التفاصيل.

عرّف بدون دليل

${\displaystyle h=2{\frac {dA}{dt}},}$

حيث ^{[ 18 ]}

• يمثل dA / dt معدل تغيرالمساحةالتي يقطعها جسم فيمداره مع الزمن ، وهو ثابت وفقًالقانونكبلرالثاني، و
• h هو الزخم الزاوي النوعي ، وهو أحد ثوابت حركة الجسمين .

ثم حدد

${\displaystyle h^{2}=\mu p,}$

حيث ^{[ 19 ]}

• μ = G ( M + m ) ، وهو معامل الجاذبية ، ^{[ ملاحظة 2 ]} حيث
  • G هو ثابت الجاذبية لنيوتن ،
  • M هي كتلة الجسم الأساسي (أي الشمس )،
  • m هي كتلة الجسم الثانوي (أي الكوكب )، و
• p هو المعلمة النصفية ( نصف الوتر المستقيمي ) لمدار الجسم.

لاحظ أن كل متغير في المعادلات أعلاه هو ثابت لحركة جسمين. بدمج هذين التعريفين،

${\displaystyle \left(2{\frac {dA}{dt}}\right)^{2}=G(M+m)p,}$

وهذا ما كان غاوس يصفه في آخر قوانينه. بأخذ الجذر التربيعي ،

${\displaystyle 2{\frac {dA}{dt}}={\sqrt {G}}{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}},}$

وحل المعادلة لإيجاد قيمة √G ،

${\displaystyle {\sqrt {G}}={\frac {2dA}{dt{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.}$

عند هذه النقطة، نُعرّف k ≡ √G. [ 2 ] ولتكن ^{dA المساحة الكلية} التي يمسحها الجسم أثناء دورانه، وبالتالي dA = πab ، وهي مساحة القطع الناقص ، حيث a هو نصف المحور الأكبر و b هو نصف المحور الأصغر . ولتكن dt = P ، وهو الزمن اللازم للجسم لإكمال دورة واحدة.

${\displaystyle k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.}$

هنا، قرر غاوس استخدام الأرض لحساب قيمة ^k . من هندسة القطع الناقص ، p = b² / a . ^{[ 20 ]}  بوضع نصف المحور الأكبر للأرض، a = 1 ، تُختزل p إلى b² ^و√ p = b . بالتعويض ، تكون مساحة القطع الناقص π√p ، وليس πab . بوضع هذه القيمة في بسط معادلة k واختزالها ،

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {M+m}}}}.}$

لاحظ أن غاوس، من خلال توحيد حجم المدار، قد أزاله تمامًا من المعادلة. وبمزيد من التوحيد، اجعل كتلة الشمس تساوي 1.

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {1+m}}}},}$

حيث m الآن بوحدة الكتلة الشمسية . ما تبقى هو كميتان: P ، وهي فترة دوران الأرض حول الشمس أو السنة النجمية ، وهي كمية معروفة بدقة من خلال القياس على مدى قرون، و m ، وهي كتلة نظام الأرض والقمر. وبتعويض القيم المقاسة كما كانت معروفة في زمن غاوس، فإن P =365.256 3835 يومًا ، م = 1 /354710 كتلة شمسية، مما ينتج عنه النتيجةk=0.017 202 098 95 .

يرتبط ثابت غاوس ارتباطًا وثيقًا بقانون كبلر الثالث لحركة الكواكب ، ويمكن اشتقاق أحدهما بسهولة من الآخر. بدءًا من التعريف الكامل لثابت غاوس،

${\displaystyle k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}},}$

أين

• يمثل a نصف المحور الرئيسي للمدار الإهليلجي ،
• يمثل b المحور شبه الأصغر للمدار الإهليلجي،
• P هي الفترة المدارية ،
• M هي كتلة الجسم الأساسي،
• m هي كتلة الجسم الثانوي، و
• يمثل p نصف الوتر البؤري للمدار الإهليلجي.

انطلاقاً من هندسة القطع الناقص ، يمكن التعبير عن نصف الوتر البؤري المستقيم، p ^بدلالة a و b على النحو التالي: p = b² / a . ^{[ 20 ]}  لذلك ،

${\displaystyle {\sqrt {p}}={\frac {b}{\sqrt {a}}}.}$

بالتعويض والاختزال، يصبح ثابت جاوس

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}}.}$

من علم ميكانيكا المدارات ، فإن 2π / P هي ببساطة n ، وهي متوسط ​​حركة الجسم في مداره. ^{[ 18 ]} ومن ثم،

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=n{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}},\\[8pt]k^{2}&={\frac {n^{2}a^{3}}{M+m}},\\[8pt]k^{2}(M+m)&=n^{2}a^{3},\end{aligned}}}$

وهو تعريف قانون كبلر الثالث. ^{[ 19 ] [ 21 ]} في هذا الشكل، غالباً ما يُرى مع G ، ثابت الجاذبية النيوتوني بدلاً من k2 ^.

يؤدي تحديد a = 1 و M = 1 و m ≪ M و n بالراديان في اليوم إلى k ≈ n ، أيضًا بوحدات الراديان في اليوم ، والتي يمكن الاطلاع عليها في القسم ذي الصلة من مقالة الحركة المتوسطة .