ثابت جيلفوند

يُعرف العدد e ^{π √ 163} بثابت رامانوجان . ويُعطى تمثيله العشري بالصيغة التالية:

e ^{π √ 163} =262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 59 ... (التسلسل A060295 في OEIS ) ،

والذي اتضح أنه قريب جدًا من العدد الصحيح 640320³ + 744. هذا تطبيق لأعداد هيجنر ، حيث يمثل 163 عدد هيجنر المعني. اكتشف هذا العدد عام 1859 عالم الرياضيات تشارلز هيرميت . ^{[ 8 ]} في مقال نُشر في مجلة ساينتفك أمريكان ^{في الأول من أبريل عام 1975، [ 9 ]} ادعى مارتن غاردنر، كاتب عمود "الألعاب الرياضية"، زيف الادعاء بأن العدد في الواقع عدد صحيح، وأن العبقري الرياضي الهندي سرينيفاسا رامانوجان قد تنبأ به - ومن هنا جاء اسمه. ثابت رامانوجان هو أيضًا عدد متسامٍ.

يُفسر التقارب العرضي، في حدود جزء من تريليون من العدد 640320 ³ + 744 ، بالضرب المركب وتوسيع q للثابت j ، وتحديداً: $${\displaystyle j{\big (}(1+{\sqrt {-163}})/2{\big )}=(-640\,320)^{3}}$$ و $${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right),}$$ حيث حد الخطأ $${\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75,}$$ وهذا يفسر لماذا e ^{π √ 163} هو0.000 000 000 000 75 أقل من 640320 ³ + 744 .

للحصول على مزيد من التفاصيل حول هذا البرهان، راجع المقالة المتعلقة بأعداد هيجنر .

العدد e ^π − π قريب جدًا من عدد صحيح، ويعطى تمثيله العشري بالصيغة التالية:

e ^π − π =19.999 099 979 189 475 767 26 ... (التسلسل A018938 في OEIS ) .

قدم أ.  دومان تفسيراً لهذه المصادفة التي تبدو رائعة في سبتمبر 2023، وهي نتيجة لمجموع متعلق بدوال جاكوبي ثيتا على النحو التالي: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(8\pi k^{2}-2)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ يهيمن الحد الأول، لأن مجموع الحدود لـ${\displaystyle k\geq 2}$المجموع${\displaystyle \sim 0.0003436.}$وبالتالي يمكن اختصار المجموع إلى${\displaystyle (8\pi -2)e^{-\pi }\approx 1,}$حيث يتم حلها لـ${\displaystyle e^{\pi }}$أعطِ${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$إعادة كتابة التقريب لـ${\displaystyle e^{\pi }}$وباستخدام التقريب لـ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$أعطِ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ وبالتالي، فإن إعادة ترتيب الحدود تعطي${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ومن المفارقات أن التقريب الخام لـ${\displaystyle 7\pi }$ويؤدي ذلك إلى زيادة الدقة بمقدار عشرة أضعاف. ^{[ 10 ]}

يُعطى التعبير العشري لـ π ^{e بالصيغة التالية:}

${\displaystyle \pi ^{e}=}$22.459 157 718 361 045 473 42 ... (التسلسل A059850 في OEIS ) .

لا يُعرف ما إذا كان هذا العدد متساميًا أم لا. تجدر الإشارة إلى أنه، وفقًا لنظرية جيلفوند-شنايدر ، لا يمكننا استنتاج ما إذا كان a ^b متساميًا بشكل قاطع إلا إذا كان a و b عددين جبريين (أي أن a و b يُعتبران عددين مركبين ).

في حالة e ^π ، لا يمكننا إثبات أن هذا العدد متسامٍ إلا بسبب خصائص الأشكال الأسية المعقدة والتكافؤ المذكور أعلاه لتحويله إلى (−1) ^{− i} ، مما يسمح بتطبيق نظرية جيلفوند-شنايدر.

لا يوجد نظير لـ π ^e ، وبالتالي، بما أن كلاً من π و e عددان متساميان، فلا يمكننا استخدام نظرية جيلفوند-شنايدر لاستخلاص استنتاجات حول تسامي π ^e . ومع ذلك، فإن حدسية شانيل، التي لم تثبت بعد، تشير إلى تساميه. ^{[ 11 ]}

باستخدام القيمة الرئيسية للوغاريتم المركب ، $${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}.}$$ التمثيل العشري لـ يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle i^{i}=}$0.207 879 576 350 761 908 54 ... (التسلسل A049006 في OEIS ) .

ويتبع تجاوزها مباشرة من تجاوز e ^π ومباشرة من نظرية جيلفوند-شنايدر.