اللولب الذهبي

في الهندسة ، اللولب الذهبي هو لولب لوغاريتمي يكون عامل نموه φ ، النسبة الذهبية . ^{[ 1 ]} أي أن اللولب الذهبي يتسع (أو يبتعد عن نقطة الأصل) بمعامل φ لكل ربع دورة يقوم بها.

توجد عدة أشكال حلزونية مماثلة تقارب الحلزون الذهبي، ولكنها لا تساويه تماماً. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، يمكن تقريب شكل اللولب الذهبي بالبدء بمستطيل تكون نسبة طوله إلى عرضه هي النسبة الذهبية. ثم يُقسّم هذا المستطيل إلى مربع ومستطيل مماثل ، ويُقسّم هذا المستطيل بنفس الطريقة. بعد تكرار هذه العملية لعدد غير محدد من الخطوات، ستكون النتيجة تقسيمًا شبه كامل للمستطيل إلى مربعات. يمكن توصيل زوايا هذه المربعات بأرباع دوائر . والنتيجة، وإن لم تكن لولبًا لوغاريتميًا حقيقيًا ، إلا أنها تُقارب اللولب الذهبي تقريبًا كبيرًا. ^{[ 2 ]}

يُعدّ حلزون فيبوناتشي تقريبًا آخر ، وهو يُنشأ بطريقة مختلفة قليلًا. يبدأ حلزون فيبوناتشي بمستطيل مُقسّم إلى مربعين. في كل خطوة، يُضاف مربع طوله يساوي أطول ضلع في المستطيل. وبما أن النسبة بين أعداد فيبوناتشي المتتالية تقترب من النسبة الذهبية كلما اقتربت أعداد فيبوناتشي من اللانهاية، فإن هذا الحلزون يصبح أكثر شبهًا بالتقريب السابق كلما أُضيفت مربعات أكثر، كما هو موضح في الصورة.

استكشفت دراسةٌ التفضيل الجمالي بين أنواع الحلزونات المختلفة، مع التركيز على الحلزون الذهبي وحلزون فيبوناتشي. في تجربةٍ عبر الإنترنت شملت 106 مشاركين، وُجد أن الحلزون الذهبي يحظى بتفضيلٍ ملحوظ على حلزون فيبوناتشي (79.2% مقابل 20.8%)، ويعود ذلك أساسًا إلى استمرارية انحنائه . ^{[ 3 ]}

يُذكر أحيانًا خطأً أن المجرات الحلزونية وأصداف النوتيلوس تتسع على شكل حلزون ذهبي، وبالتالي ترتبط بكل من النسبة الذهبية (φ) ومتتالية فيبوناتشي. ^{[ 4 ]} في الحقيقة، تُظهر العديد من أصداف الرخويات ، بما في ذلك أصداف النوتيلوس، نموًا حلزونيًا لوغاريتميًا، ولكن بزوايا متنوعة تختلف عادةً بشكل واضح عن زاوية الحلزون الذهبي. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} على الرغم من أن المجرات الحلزونية غالبًا ما تُنمذج على أنها حلزونات لوغاريتمية، أو حلزونات أرخميدس ، أو حلزونات زائدية ، فإن زوايا ميلها تتغير مع المسافة من مركز المجرة، على عكس الحلزونات اللوغاريتمية (التي لا تتغير فيها هذه الزاوية)، وأيضًا على عكس الحلزونات الرياضية الأخرى المستخدمة لنمذجتها. ^{[ 8 ]} يرتبط نمط نمو النبات، المعروف باسم " الترتيب الورقي"، في بعض الحالات بالنسبة الذهبية لأنه يتضمن فصل الأوراق أو البتلات المتتالية بالزاوية الذهبية . على الرغم من أن هذا قد يرتبط أحيانًا بالأشكال الحلزونية، كما هو الحال في رؤوس بذور عباد الشمس ، ^{[ 9 ]} إلا أن هذه الأشكال أقرب إلى حلزونات فيرما منها إلى الحلزونات اللوغاريتمية. ^{[ 10 ]}

اللولب الذهبي بنصف قطر ابتدائي يساوي 1 هو المحل الهندسي لنقاط الإحداثيات القطبية${\displaystyle (r,\theta )}$مُرضٍ $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi },}$$ أين${\displaystyle \varphi }$هي النسبة الذهبية. وهذا يعني أن r يُضرب في عامل .${\displaystyle \varphi }$كل 90 درجة يتم تدويرها.

المعادلة القطبية للولب الذهبي هي نفسها بالنسبة للولب اللوغاريتمي الأخرى ، ولكن بقيمة خاصة لعامل النمو b : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ أو $${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$ حيث e هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية ، و a هو نصف القطر الأولي للولب، و b بحيث عندما تكون θ زاوية قائمة (ربع دورة في أي اتجاه): $${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}$$

وبالتالي، فإن قيمة b تُعطى بالعلاقة التالية $${\displaystyle b={\ln {\varphi} \over \theta _{\mathrm {right} }}.}$$

تعتمد القيمة العددية لـ b على ما إذا كانت الزاوية القائمة تُقاس على أنها 90 درجة أو على أنها${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$الراديان ؛ وبما أن الزاوية يمكن أن تكون في أي من الاتجاهين، فمن الأسهل كتابة صيغة القيمة المطلقة لـ b (أي أن b يمكن أن تكون أيضًا معكوس هذه القيمة): $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$ بالنسبة لـ θ بالدرجات، أو $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$ بالنسبة لـ θ بالراديان. ^{[ 12 ]}

الصيغة البديلة للولب اللوغاريتمي واللولبي الذهبي هي ^{[ 13 ]}$${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$حيث يُعطى الثابت c بالعلاقة التالية$${\displaystyle c=e^{b}}$$وهذا يعطي قيم c للحلزون الذهبي.$${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$ إذا تم قياس θ بالدرجات، و $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$ إذا تم قياس θ بالراديان. ^{[ 14 ]}

فيما يتعلق باللوالب اللوغاريتمية، يتميز اللولب الذهبي بخاصية فريدة، وهي أنه بالنسبة لأربع نقاط لولبية متوازية A و B و C و D تنتمي إلى الزوايا θ و θ + π و θ + 2π و θ + 3π ، فإن النقطة C هي المرافق التوافقي الإسقاطي للنقطتين B بالنسبة إلى A و D ، أي أن النسبة التبادلية ( A , D ; B , C ) لها القيمة المفردة -1. اللولب الذهبي هو اللولب اللوغاريتمي الوحيد الذي تكون فيه ( A , D ; B , C ) = ( A , D ; C , B ).

المنحدر القطبي

في المعادلة القطبية للولب اللوغاريتمي : $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$يرتبط المعامل b بزاوية الميل القطبي${\displaystyle \alpha }$: $${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

في شكل حلزوني ذهبي،${\displaystyle b}$ثابت ومساوٍ لـ${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$(بالنسبة لـ θ بالراديان، كما هو مُعرّف أعلاه)، زاوية الميل${\displaystyle \alpha }$يكون $${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$ لذلك $${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$ إذا تم قياسها بالدرجات، أو $${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$ إذا تم قياسها بالراديان. ^{[ 15 ]}

زاويتها المتممة$${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$ بالراديان، أو $${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$ بالدرجات، هي الزاوية التي تشكلها أذرع اللولب الذهبي مع خط من مركز اللولب.

• متتالية فيبوناتشي
• الزاوية الذهبية
• النسبة الذهبية
• المستطيل الذهبي
• قائمة الحلزونات
• اللولب اللوغاريتمي