دالة جومبيرتز

منحنى جومبيرتز أو دالة جومبيرتز هو نوع من النماذج الرياضية لسلسلة زمنية ، سُمي على اسم بنيامين جومبيرتز (1779-1865). إنها دالة سيجمائية تصف النمو بأنه الأبطأ في بداية ونهاية فترة زمنية معينة. يقترب المنحنى من مقارب القيمة المستقبلية أو الجانب الأيمن للدالة بشكل تدريجي أكثر من المقارب الموجود على الجانب الأيسر أو ذي القيمة الأقل. وهذا على النقيض من الدالة اللوجستية البسيطة حيث يقترب المنحنى من كلا المقاربين بشكل متماثل. إنها حالة خاصة من الدالة اللوجستية المعممة . تم تصميم الدالة في الأصل لوصف معدل الوفيات البشرية، ولكن تم تعديلها منذ ذلك الحين لتطبيقها في علم الأحياء، فيما يتعلق بتفصيل السكان.

كان بنيامين جومبيرتز (1779-1865) خبيرًا اكتواريًا في لندن تلقى تعليمه في القطاع الخاص. ^[1] انتُخب زميلًا في الجمعية الملكية عام 1819. وقد تم تقديم الدالة لأول مرة في ورقته البحثية التي نُشرت في 16 يونيو 1825 في أسفل الصفحة 518. ^[2] اختزلت دالة جومبيرتز مجموعة كبيرة من البيانات في جداول الحياة في دالة واحدة. وهي تستند إلى افتراض أن معدل الوفيات يزداد بشكل كبير مع تقدم الشخص في العمر. وتكون دالة جومبيرتز الناتجة لعدد الأفراد الذين يعيشون في عمر معين كدالة للعمر.

كان العمل السابق على بناء النماذج الوظيفية للوفيات من قِبَل عالم الرياضيات الفرنسي أبراهام دي موافر (1667-1754) في خمسينيات القرن الثامن عشر. ^{[3] [4] ومع ذلك، افترض دي موافر أن معدل الوفيات ثابت. اقترح الخبير الاكتواري والرياضي الإنجليزي} ويليام ماثيو ماكيم (1826-1891) توسعة لعمل جومبيرتز في عام 1860، حيث أضاف معدل وفيات ثابتًا إلى معدل جومبيرتز المتزايد بشكل كبير. ^[5]

رسوم بيانية لمنحنيات جومبيرتز، توضح تأثير تغيير أحد المتغيرات أ، ب، ج مع الحفاظ على ثبات المتغيرات الأخرى

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}}$$ أين

• أ هو مقارب، حيث${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b يحدد الإزاحة على طول المحور السيني (ينقل الرسم البياني إلى اليسار أو اليمين).
• c يحدد معدل النمو ( التدرج y )
• e هو عدد أويلر (e = 2.71828...)

المنحنى له نفس الشكل كما هو الحال بعد التحويل الأفيني . ${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$${\displaystyle f(t)=e^{-e^{-t}}}$

يمكن إيجاد نقطة المنتصف عن طريق حل t. يمكن إيجاد نقطة أقصى معدل زيادة ( ) عن طريق حل t. الزيادة عند ${\textstyle f(t)=a/2}$$${\displaystyle t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}}$$${\textstyle 0.368a}$${\textstyle {\f(t)=0}$$${\displaystyle t_{max}=\ln(b)/c}$$${\textstyle t_{الحد الأقصى}}$$${\displaystyle \max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

يمكن اشتقاق منحنى الوظيفة من قانون جومبيرتز للوفيات ، والذي ينص على أن معدل الوفيات المطلقة (الاضمحلال) ينخفض ​​بشكل كبير مع الحجم الحالي. رياضيًا،

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

أين

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$هو معدل النمو
• k هو ثابت تعسفي.

تتضمن أمثلة استخدامات منحنيات جومبيرتز ما يلي:

• استخدام الهاتف المحمول ، حيث كانت التكاليف مرتفعة في البداية (لذا كان الاستخدام بطيئًا)، تلا ذلك فترة من النمو السريع، تلاها تباطؤ في الاستخدام مع الوصول إلى التشبع ^[6]
• السكان في مساحة محصورة، حيث تزداد معدلات المواليد أولاً ثم تتباطأ مع الوصول إلى حدود الموارد ^[7]
• نمذجة نمو الأورام ^[8]
• نمذجة إعادة تأين الهيدروجين الكوني ^[9]
• نمذجة تأثير السوق في التمويل ^[10] وديناميكيات القروض الفرعية المجمعة. ^[11]
• تفصيل النمو السكاني للحيوانات المفترسة، فيما يتعلق بالعلاقات بين المفترس والفريسة
• نمذجة الخلايا البكتيرية داخل مجموعة سكانية
• فحص انتشار المرض
• يمكن نمذجة حجم ويكيبيديا الإنجليزية باستخدام دالة جومبيرتز ودالة معدلة إلى حد ما ^[12]

يهتم علم الأحياء السكاني بشكل خاص بدالة جومبيرتز. هذه الدالة مفيدة بشكل خاص في وصف النمو السريع لسكان معينين من الكائنات الحية مع القدرة أيضًا على تفسير المقارب الأفقي النهائي، بمجرد تحديد القدرة الاستيعابية (عدد الخلايا/السكان في الهضبة).

وقد تم تصميمه على النحو التالي:

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

أين:

• ${\نمط النص ت}$لقد حان الوقت
• ${\textstyle N_{0}}$هي الكثافة الأولية للخلايا
• ${\textstyle N_{I}}$هي كثافة الخلايا/السكان في الهضبة
• ${\textstyle ب}$هو المعدل الأولي لنمو الورم

إن اعتبار هذه الوظيفة لعدد خلايا الهضبة يجعلها مفيدة في محاكاة ديناميكيات السكان في الحياة الواقعية بدقة . تلتزم الوظيفة أيضًا بالوظيفة السيني ، وهي الاتفاقية الأكثر قبولًا على نطاق واسع لتفصيل نمو السكان بشكل عام. علاوة على ذلك، تستفيد الوظيفة من معدل النمو الأولي، والذي يُرى عادةً في مجموعات الخلايا البكتيرية والسرطانية، والتي تخضع لمرحلة اللوغاريتم وتنمو بسرعة في الأعداد. على الرغم من شعبيتها، من الصعب تحديد معدل نمو الورم الأولي للوظيفة مسبقًا نظرًا للميكروسكوبات المتنوعة الموجودة مع المريض، أو العوامل البيئية المتنوعة في حالة علم الأحياء السكاني. في مرضى السرطان، تلعب عوامل مثل العمر والنظام الغذائي والعرق والاستعدادات الوراثية والتمثيل الغذائي ونمط الحياة وأصل النقائل دورًا في تحديد معدل نمو الورم. ومن المتوقع أيضًا أن تتغير القدرة الاستيعابية بناءً على هذه العوامل، وبالتالي فإن وصف مثل هذه الظواهر أمر صعب.

تتعلق الوظيفة الأيضية بشكل خاص بحساب معدل الأيض داخل الكائن الحي. يمكن تطبيق هذه الوظيفة لمراقبة خلايا الورم؛ فمعدل الأيض ديناميكي ومرن إلى حد كبير، مما يجعله أكثر دقة في تفصيل نمو السرطان. يأخذ المنحنى الأيضي في الاعتبار الطاقة التي يوفرها الجسم في الحفاظ على الأنسجة وإنشائها. يمكن اعتبار هذه الطاقة بمثابة أيض وتتبع نمطًا محددًا في انقسام الخلايا. يمكن استخدام الحفاظ على الطاقة لنمذجة مثل هذا النمو، بغض النظر عن اختلاف الكتل وأوقات النمو. تشترك جميع الأصناف في نمط نمو مماثل، ونتيجة لذلك، يأخذ هذا النموذج في الاعتبار انقسام الخلايا، وهو أساس تطور الورم.

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• ${\textstyle ب}$= الطاقة التي يستخدمها الكائن الحي في حالة الراحة
• ${\textstyle N_{C}}$= عدد الخلايا في الكائن الحي المعطى
• ${\textstyle ب_{ج}}$= معدل الأيض للخلية الفردية
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= الطاقة اللازمة للحفاظ على الأنسجة الموجودة
• ${\textstyle E_{C}}$= الطاقة اللازمة لإنشاء أنسجة جديدة من خلية فردية

إن التمييز بين الطاقة المستخدمة في حالة الراحة ومعدل العمل الأيضي يسمح للنموذج بتحديد معدل النمو بدقة أكبر. فالطاقة في حالة الراحة أقل من الطاقة المستخدمة للحفاظ على الأنسجة، ويمثلان معًا الطاقة المطلوبة للحفاظ على الأنسجة الموجودة. إن استخدام هذين العاملين، إلى جانب الطاقة المطلوبة لإنشاء أنسجة جديدة، يرسم خريطة شاملة لمعدل النمو، وعلاوة على ذلك، يؤدي إلى تمثيل دقيق لمرحلة التأخر .

في ستينيات القرن العشرين، نجح AK Laird ^[13] لأول مرة في استخدام منحنى Gompertz لملاءمة بيانات نمو الأورام. في الواقع، الأورام عبارة عن مجموعات خلوية تنمو في مساحة محصورة حيث يكون توافر العناصر الغذائية محدودًا. من المفيد كتابة منحنى Gompertz على النحو التالي عند الإشارة إلى حجم الورم بـ X(t):

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

أين:

• ${\textstyle X(0)}$هو حجم الورم في وقت الملاحظة الأولية؛
• ${\textstyle ك}$هي القدرة الاستيعابية، أي الحجم الأقصى الذي يمكن الوصول إليه بالعناصر الغذائية المتاحة. في الواقع، هي:$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}$$

بشكل مستقل على X(0)>0. لاحظ أنه في حالة عدم وجود علاجات وما إلى ذلك، عادةً ما يكون X(0) < K، بينما في وجود العلاجات، قد يكون X(0) > K؛

• ${\textstyle \alpha }$هو ثابت يتعلق بقدرة الخلايا على التكاثر.
• ${\textstyle \log()}$يشير إلى السجل الطبيعي .

يمكن إظهار أن ديناميكيات X(t) تحكمها معادلة جومبيرتز التفاضلية:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

يكون هذا على الشكل التالي عند تقسيمه:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

F(X) هو معدل الانتشار اللحظي للسكان الخلويين، والذي يرجع انخفاضه إلى المنافسة على العناصر الغذائية بسبب زيادة السكان الخلويين، على نحو مماثل لمعدل النمو اللوجستي. ومع ذلك، هناك فرق أساسي: في الحالة اللوجستية يكون معدل الانتشار للسكان الخلويين الصغار محدودًا:

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

في حين أنه في حالة جومبيرتز فإن معدل الانتشار غير محدود:

$${\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

كما لاحظ ستيل ^[14] وويلدون ^[15]، فإن معدل انتشار الخلايا السكانية محدود في النهاية بوقت انقسام الخلايا. وبالتالي، قد يكون هذا دليلاً على أن معادلة جومبيرتز ليست جيدة لنمذجة نمو الأورام الصغيرة. وعلاوة على ذلك، لوحظ مؤخرًا ^[16] أنه، بما في ذلك التفاعل مع الجهاز المناعي، فإن قوانين جومبيرتز والقوانين الأخرى التي تتميز بـ F (0) غير المحدودة من شأنها أن تستبعد إمكانية المراقبة المناعية.

أظهرت الدراسة النظرية التي أجراها فورنالسكي وآخرون ^[17] الأساس البيوفيزيائي لمنحنى جومبيرتز لنمو السرطان باستثناء المرحلة المبكرة جدًا حيث تكون الوظيفة المكافئة أكثر ملاءمة. ووجدوا أيضًا أن منحنى جومبيرتز يصف الحالة الأكثر شيوعًا بين العائلة الواسعة من وظائف ديناميكيات السرطان.

معادلة جومبيرتز التفاضلية

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

هي الحالة الحدية لمعادلة التفاضل اللوجستي المعممة

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

(حيث هو عدد حقيقي موجب) حيث ${\displaystyle \nu >0}$

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$.

بالإضافة إلى ذلك، هناك نقطة انعطاف في رسم الدالة اللوجستية المعممة عندما

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

وواحد في رسم دالة جومبيرتز عندما

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$.

بناءً على الاعتبارات المذكورة أعلاه، اقترح ويلدون ^[15] نموذجًا رياضيًا لنمو الورم، يسمى نموذج Gomp-Ex، والذي يعدل قانون Gompertz قليلاً. في نموذج Gomp-Ex، يُفترض أنه لا توجد في البداية منافسة على الموارد، بحيث يتوسع عدد الخلايا وفقًا للقانون الأسي. ومع ذلك، هناك عتبة حجم حرجة بحيث بالنسبة لـ . الافتراض القائل بعدم وجود منافسة على الموارد صحيح في معظم السيناريوهات. ومع ذلك، يمكن أن يتأثر بعوامل محددة ، والتي تتطلب إنشاء متغيرات عوامل فرعية. ${\displaystyle X_{C}}$${\displaystyle X>X_{C}}$

يتبع النمو قانون جومبيرتز:

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

لهذا السبب:

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

فيما يلي بعض التقديرات العددية ^[15] لـ : ${\displaystyle X_{C}}$

• ${\textstyle X_{C}\تقريبا 10^{9}}$للأورام البشرية
• ${\textstyle X_{C}\تقريبا 10^{6}}$للأورام لدى الفئران

دالة جومبيرتز هي تطابق واحد لواحد (تُعرف أيضًا باسم دالة ثنائية التطابق ) وبالتالي يمكن التعبير عن دالة عكسها صراحةً في صيغة دالة تقليدية كدالة مستمرة واحدة. مع الأخذ في الاعتبار دالة جومبيرتز من النموذج:

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d}$$ أين

• d هو المقارب الأفقي الأساسي، حيث${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty }+d=d}$
• أ هي المسافة من القاعدة إلى المقارب الثاني، حيث${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b يحدد الإزاحة على طول المحور السيني (ينقل الرسم البياني إلى اليسار أو اليمين).
• c يحدد معدل النمو ( التدرج y )
• e هو رقم أويلر ( e = 2.71828...)

يمكن التعبير عن الدالة العكسية المقابلة على النحو التالي:

$${\displaystyle f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]}$$

لا تنتج الدالة العكسية إلا قيمًا عددية في مجموعة الأعداد الحقيقية بين مقاربيها، والتي أصبحت الآن عمودية بدلاً من أفقية كما في دالة جومبيرتز الأمامية. خارج النطاق الذي تحدده المقاربات الرأسية، تتطلب الدالة العكسية حساب لوغاريتم الأعداد السالبة. لهذا السبب ولأسباب أخرى، غالبًا ما يكون من غير العملي محاولة ملاءمة دالة جومبيرتز العكسية للبيانات بشكل مباشر، خاصةً إذا كان لديك عدد قليل نسبيًا من نقاط البيانات المتاحة لحساب الملاءمة. بدلاً من ذلك، يمكن للمرء ملاءمة العلاقة المنقولة للبيانات إلى دالة جومبيرتز الأمامية، ثم تحويلها إلى الدالة العكسية المكافئة باستخدام العلاقة بين الاثنتين الموضحتين أعلاه.

بهذه الطريقة، يكون للدالة العكسية العديد من الاستخدامات. على سبيل المثال، تحتوي بعض اختبارات ELISA على منحنى قياسي يمكن أن تتناسب تركيزاته بشكل جيد للغاية مع كثافتها الضوئية من خلال دالة جومبيرتز. بمجرد ملاءمة المعايير لدالة جومبيرتز، يتم حساب التركيز غير المعروف للعينات في الاختبار من كثافتها الضوئية المقاسة باستخدام معكوس دالة جومبيرتز التي تم إنتاجها عند ملاءمة المنحنى القياسي.

• توزيع جومبيرتز
• منحنى النمو
• دالة فون بيرتالانفي
• وظيفة سيجما

• وايسستين، إريك دبليو. “منحنى جومبرتز”. عالم الرياضيات .
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth