نواة موجبة محددة

الموسوعة الحرة

في نظرية المؤثرات ، وهي فرع من فروع الرياضيات، تُعدّ النواة الموجبة المحددة تعميمًا للدالة الموجبة المحددة أو المصفوفة الموجبة المحددة . وقد قدّمها جيمس ميرسر لأول مرة في أوائل القرن العشرين، في سياق حلّ معادلات المؤثرات التكاملية . ومنذ ذلك الحين، ظهرت الدوال الموجبة المحددة ونظائرها وتعميماتها المختلفة في فروع متنوعة من الرياضيات. فهي تظهر بشكل طبيعي في تحليل فورييه ، ونظرية الاحتمالات ، ونظرية المؤثرات ، ونظرية الدوال المركبة ، ومسائل العزوم ، والمعادلات التكاملية ، ومسائل القيم الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية ، والتعلم الآلي ، ومسألة التضمين ، ونظرية المعلومات ، وغيرها من المجالات.

تعريف

يتركX{\displaystyle {\mathcal {X}}}أن تكون مجموعة غير فارغة، ويُشار إليها أحيانًا باسم مجموعة الفهارس . دالة متناظرةك:X×X→R{\displaystyle K:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }يُطلق عليه اسم النواة الموجبة المحددة (pd) علىX{\displaystyle {\mathcal {X}}}لو

ينطبق على الجميعx1،...،xن∈X{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}،ن∈شمال،ج1،...،جن∈R{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} }.

في نظرية الاحتمالات، يُجرى أحيانًا تمييز بين النوى الموجبة المحددة، والتي تستلزم المساواة في (1.1)جأنا=0(∀أنا){\displaystyle c_{i}=0\;(\forall i)}والنوى شبه الموجبة المحددة (psd)، التي لا تفرض هذا الشرط. لاحظ أن هذا يكافئ اشتراط أن تكون كل مصفوفة منتهية يتم إنشاؤها عن طريق التقييم الزوجي،كأناج=ك(xأنا،xج){\displaystyle \mathbf {K} _{ij}=K(x_{i},x_{j})}، لها قيم ذاتية موجبة تمامًا (pd) أو غير سالبة (psd) .

في الأدبيات الرياضية، عادةً ما تكون النوى دوالًا ذات قيم مركبة. أي دالة ذات قيم مركبةك:X×X→ج{\displaystyle K:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }يُطلق عليها اسم النواة الهرميتية إذاك(x،y)=ك(y،x)¯{\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}}ويكون موجبًا تمامًا إذا كان لكل مجموعة منتهية من النقاطx1،...،xن∈X{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}وأي أعداد مركبةξ1،...،ξن∈ج{\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\in \mathbb {C} }،

∑أنا=1ن∑ج=1نξأناξ¯جك(xأنا،xج)≥0{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\xi _{i}{\overline {\xi }}_{j}K(x_{i},x_{j})\geq 0}

أينξ¯ج{\displaystyle {\overline {\xi }}_{j}}يشير إلى المرافق المركب . [ 1 ] في بقية هذه المقالة، نفترض أن الدوال ذات قيم حقيقية، وهو ما يعتبر ممارسة شائعة في تطبيقات نوى pd.

بعض الخصائص العامة

  • لعائلة من حبوب الذرة(كأنا)أنا∈شمال،  كأنا:X×X→R{\displaystyle (K_{i})_{i\in \mathbb {N} },\ \ K_{i}:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }
    • المجموع المخروطي∑أنا=1نλأناكأنا{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}K_{i}} معطى pdλ1،...،λن≥0{\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\geq 0}
    • المنتجك1أ1...كنأن{\displaystyle K_{1}^{a_{1}}\dots K_{n}^{a_{n}}}معطى pdأ1،...،أن∈شمال{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {N} }
    • الحدك=ليمن→∞كن{\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K_{n}}يتم تحديد pd إذا كانت النهاية موجودة.
  • لو(Xأنا)أنا=1ن{\displaystyle ({\mathcal {X}}_{i})_{i=1}^{n}} هي سلسلة من المجموعات، و(كأنا)أنا=1ن،  كأنا:Xأنا×Xأنا→R{\displaystyle (K_{i})_{i=1}^{n},\ \ K_{i}:{\mathcal {X}}_{i}\times {\mathcal {X}}_{i}\to \mathbb {R} }سلسلة من نوى pd، ثم كلاهماك((x1،...،xن)،(y1،...،yن))=∏أنا=1نكأنا(xأنا،yأنا){\displaystyle K((x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\dots ,y_{n}))=\prod _{i=1}^{n}K_{i}(x_{i},y_{i})}وك((x1،...،xن)،(y1،...،yن))=∑أنا=1نكأنا(xأنا،yأنا){\displaystyle K((x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\dots ,y_{n}))=\sum _{i=1}^{n}K_{i}(x_{i},y_{i})}هل نواة pd قيد التشغيلX=X1×⋯×Xن{\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {X}}_{1}\times \dots \times {\mathcal {X}}_{n}}.
  • يتركX0⊂X{\displaystyle {\mathcal {X}}_{0}\subset {\mathcal {X}}}ثم التقييدك0{\displaystyle K_{0}}لك{\displaystyle K}لX0×X0{\displaystyle {\mathcal {X}}_{0}\times {\mathcal {X}}_{0}}وهو أيضًا نواة pd.

أمثلة على نواة pd

  • أمثلة شائعة لنوى pd المعرفة على الفضاء الإقليديRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}يشمل:
    • النواة الخطية:ك(x،y)=xتيy،x،y∈Rد{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{T}\mathbf {y} ,\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d}}.
    • نواة متعددة الحدود :ك(x،y)=(xتيy+ر)ن،x،y∈Rد،ر≥0،ن≥1{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {y} +r)^{n},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d},r\geq 0,n\geq 1}.
    • نواة غاوسية ( نواة RBF ):ك(x،y)=هـ-‖x-y‖22σ2،x،y∈Rد،σ>0{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=e^{-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d},\sigma >0}.
    • نواة لابلاس:ك(x،y)=هـ-α‖x-y‖،x،y∈Rد،α>0{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=e^{-\alpha \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d},\alpha >0}.
    • نواة أبيل:ك(x،y)=هـ-α|x-y|،x،y∈R،α>0{\displaystyle K(x,y)=e^{-\alpha |x-y|},\quad x,y\in \mathbb {R} ,\alpha >0}.
    • فضاءات سوبوليف المولدة للنواةدبليو2ك(Rد){\displaystyle W_{2}^{k}(\mathbb {R} ^{d})}:ك(x،y)=‖x-y‖2ك-د2بك-د2(‖x-y‖2){\displaystyle K(x,y)=\|x-y\|_{2}^{k-{\frac {d}{2}}}B_{k-{\frac {d}{2}}}(\|x-y\|_{2})}، أينبν{\displaystyle B_{\nu }}هي دالة بيسل من النوع الثالث .
    • فضاء بالي-وينر لتوليد النواة:ك(x،y)=منذ⁡(α(x-y))،x،y∈R،α>0{\displaystyle K(x,y)=\operatorname {sinc} (\alpha (x-y)),\quad x,y\in \mathbb {R} ,\alpha >0}.
  • لوح{\displaystyle H}إذا كان فضاء هيلبرت ، فإن حاصل الضرب الداخلي المقابل له(⋅،⋅)ح:ح×ح→R{\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{H}:H\times H\to \mathbb {R} }هي نواة pd. في الواقع، لدينا∑أنا،ج=1نجأناجج(xأنا،xج)ح=(∑أنا=1نجأناxأنا،∑ج=1نججxج)ح=‖∑أنا=1نجأناxأنا‖ح2≥0{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}c_{i}c_{j}(x_{i},x_{j})_{H}=\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}x_{i},\sum _{j=1}^{n}c_{j}x_{j}\right)_{H}=\left\|\sum _{i=1}^{n}c_{i}x_{i}\right\|_{H}^{2}\geq 0}
  • النوى المعرفة علىR+د{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}} والرسوم البيانية التكرارية: تُستخدم الرسوم البيانية التكرارية بكثرة في تطبيقات المشكلات الواقعية. تتوفر معظم البيانات عادةً على شكل متجهات غير سالبة للقيم، والتي تُنتج، عند تطبيعها، رسومًا بيانية تكرارية للترددات. وقد ثبت [ 2 ] أن عائلة المقاييس التربيعية التالية، على التوالي، تباعد جنسن، وχ{\displaystyle \chi }-المربع، والتغير الكلي، ونوعان مختلفان من مسافة هيلينجر :ψجد=ح(θ+θ′2)-ح(θ)+ح(θ′)2،{\displaystyle \psi _{JD}=H\left({\frac {\theta +\theta '}{2}}\right)-{\frac {H(\theta )+H(\theta ')}{2}},}ψχ2=∑أنا(θأنا-θأنا′)2θأنا+θأنا′،ψتيV=∑أنا|θأنا-θأنا′|،{\displaystyle \psi _{\chi ^{2}}=\sum _{i}{\frac {(\theta _{i}-\theta _{i}')^{2}}{\theta _{i}+\theta _{i}'}},\quad \psi _{TV}=\sum _{i}\left|\theta _{i}-\theta _{i}'\right|,}ψح1=∑أنا|θأنا-θأنا′|،ψح2=∑أنا|θأنا-θأنا′|2،{\displaystyle \psi _{H_{1}}=\sum _{i}\left|{\sqrt {\theta _{i}}}-{\sqrt {\theta _{i}'}}\right|,\psi _{H_{2}}=\sum _{i}\left|{\sqrt {\theta _{i}}}-{\sqrt {\theta _{i}'}}\right|^{2},}يمكن استخدامها لتعريف نواة pd باستخدام الصيغة التاليةك(θ،θ′)=هـ-αψ(θ،θ′)،α>0.{\displaystyle K(\theta ,\theta ')=e^{-\alpha \psi (\theta ,\theta ')},\alpha >0.}

أمثلة على أنواع أخرى من النواة

تُعرَّف نواة الدالة السينية، أو نواة الظل الزائدي، على النحو التالي:ك(x،y)=tanh⁡(γxتيy+ر)،x،y∈Rد{\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\tanh(\gamma \mathbf {x} ^{T}\mathbf {y} +r),\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{d}}أينγ،ر{\displaystyle \gamma ,r}هي معلمات حقيقية. النواة ليست PD، ولكنها استخدمت أحيانًا في خوارزميات النواة. [ 3 ]

تاريخ

ظهرت النوى الموجبة المحددة، كما هو مُعرّف في (1.1)، لأول مرة في عام 1909 في ورقة بحثية حول المعادلات التكاملية لجيمس ميرسر. [ 4 ] استخدم العديد من المؤلفين الآخرين هذا المفهوم في العقدين التاليين، لكن لم يستخدم أي منهم النوى بشكل صريح.ك(x،y)=و(x-y){\displaystyle K(x,y)=f(x-y)}، دوال iepd (في الواقع، يبدو أن م. ماتياس وس. بوخنر لم يكونا على دراية بدراسة نوى pd). نشأ عمل ميرسر من ورقة هيلبرت لعام 1904 [ 5 ] حول معادلات فريدهولم التكاملية من النوع الثاني:

وعلى وجه الخصوص، أظهر هيلبرت أن

أينك{\displaystyle K}هي نواة متناظرة حقيقية متصلة،x{\displaystyle x}متصل،{ψن}{\displaystyle \{\psi _{n}\}}هو نظام كامل من الدوال الذاتية المتعامدة ، وλن{\displaystyle \lambda _{n}}تمثل 's القيم الذاتية المناظرة للمعادلة (1.2). عرّف هيلبرت النواة "المحددة" بأنها النواة التي يكون عندها التكامل الثنائي ج(x)=∫أب∫أبك(s،ت)x(s)x(ت) دsدت{\displaystyle J(x)=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}K(s,t)x(s)x(t)\ \mathrm {d} s\;\mathrm {d} t} يرضيج(x)>0{\displaystyle J(x)>0}باستثناءx(ت)=0{\displaystyle x(t)=0}كان الهدف الأصلي من ورقة ميرسر هو توصيف النوى المحددة وفقًا لمفهوم هيلبرت، لكن سرعان ما وجد ميرسر أن فئة هذه الدوال مقيدة للغاية بحيث لا يمكن توصيفها بدلالة المحددات. ولذلك، عرّف نواة حقيقية متناظرة متصلة.ك(s،ت){\displaystyle K(s,t)}أن يكون من النوع الإيجابي (أي موجب-محدد) إذاج(x)≥0{\displaystyle J(x)\geq 0}لجميع الدوال الحقيقية المتصلةx{\displaystyle x}على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}وأثبت أن (1.1) شرط ضروري وكافٍ لكي تكون النواة من النوع الموجب. ثم أثبت ميرسر أنه لأي نواة pd متصلة، يكون التوسع ك(s،ت)=∑نψن(s)ψن(ت)λن{\displaystyle K(s,t)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(s)\psi _{n}(t)}{\lambda _{n}}}} يثبت بشكل مطلق ومتساوٍ.

في نفس الوقت تقريبًا، أظهر دبليو إتش يونغ [ 6 ] ، بدافع من سؤال مختلف في نظرية المعادلات التكاملية، أن الشرط (1.1) بالنسبة للنوى المستمرة مكافئ لـج(x)≥0{\displaystyle J(x)\geq 0}للجميعx∈ل1[أ،ب]{\displaystyle x\in L^{1}[a,b]}.

بدأ إي إتش مور [ 7 ] [ 8 ] دراسة نوع عام جدًا من نواة pd. إذاهـ{\displaystyle E}هي مجموعة مجردة، ويسميها الدوالك(x،y){\displaystyle K(x,y)}محدد فيهـ×هـ{\displaystyle E\times E}"مصفوفات هيرميتية موجبة" إذا كانت تحقق الشرط (1.1) لجميعxأنا∈هـ{\displaystyle x_{i}\in E}كان مور مهتمًا بتعميم المعادلات التكاملية، وأظهر أنه لكل منهاك{\displaystyle K}يوجد فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}من الدوال بحيث، لكلو∈ح،و(y)=(و،ك(⋅،y))ح{\displaystyle f\in H,f(y)=(f,K(\cdot ,y))_{H}}تُسمى هذه الخاصية خاصية إعادة إنتاج النواة، وتتضح أهميتها في حل مسائل القيم الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية.

لعب مجال آخر من مجالات التطور دورًا كبيرًا في نواة pd، وهو نظرية التوافقيات على الفضاءات المتجانسة التي بدأها إي. كارتان عام 1929، وواصلها هـ. ويل وس. إيتو. وتُعدّ نظرية م. كرين [ 9 ] الأكثر شمولًا لنواة pd في الفضاءات المتجانسة، والتي تتضمن، كحالات خاصة، العمل على دوال pd والتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال للمجموعات المدمجة محليًا.

في نظرية الاحتمالات، تنشأ نوى pd كنوى تباين للعمليات العشوائية. [ 10 ]

الاتصال بمساحات هيلبرت ذات النواة المُستنسخة وخرائط الميزات

توفر النوى الموجبة المحددة إطارًا يشمل بعض البنى الأساسية لفضاءات هيلبرت. فيما يلي، نعرض علاقة وثيقة بين النوى الموجبة المحددة وشيئين رياضيين، وهما فضاءات هيلبرت المُستنسخة وخرائط الميزات.

يتركX{\displaystyle X}كن مجموعة،ح{\displaystyle H}فضاء هيلبرت للدوالو:X→R{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }، و(⋅،⋅)ح:ح×ح→R{\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{H}:H\times H\to \mathbb {R} }الضرب الداخلي المقابل علىح{\displaystyle H}لأي​x∈X{\displaystyle x\in X}التقييم الوظيفيهـx:ح→R{\displaystyle e_{x}:H\to \mathbb {R} }يتم تعريفها بواسطةو↦هـx(و)=و(x){\displaystyle f\mapsto e_{x}(f)=f(x)}. نبدأ أولاً بتعريف فضاء هيلبرت ذي النواة المُستنسخة (RKHS):

التعريف : الفضاءح{\displaystyle H}يُطلق عليه اسم فضاء هيلبرت ذو النواة المُستنسخة إذا كانت دوال التقييم متصلة.

لكل نظام RKHS وظيفة خاصة مرتبطة به، وهي النواة المُستنسخة:

التعريف : النواة المُستنسخة هي دالةك:X×X→R{\displaystyle K:X\times X\to \mathbb {R} }بحيث

  1. كx(⋅)∈ح،∀x∈X{\displaystyle K_{x}(\cdot )\in H,\forall x\in X}، و
  2. (و،كx)ح=و(x){\displaystyle (f,K_{x})_{H}=f(x)}للجميعو∈ح{\displaystyle f\in H}وx∈X{\displaystyle x\in X}.

وتسمى الخاصية الأخيرة خاصية التكاثر.

تُظهر النتيجة التالية التكافؤ بين RKHS والنوى المُستنسخة:

نظرية — كل نواة مُستنسخةك{\displaystyle K}يحفز بنية RKHS فريدة، ولكل بنية RKHS نواة تكاثر فريدة.

الآن، تُعطى العلاقة بين النوى الموجبة المحددة و RKHS من خلال النظرية التالية

النظرية — كل نواة مولدة هي موجبة التحديد، وكل نواة موجبة التحديد تحدد فضاء هيلبرت المولد الوحيد، والذي هي النواة المولدة الوحيدة له.

وبالتالي، بالنظر إلى نواة موجبة التحديدك{\displaystyle K}، من الممكن بناء نظام RKHS مرتبط بـك{\displaystyle K}كنواة قابلة للتكاثر.

كما ذُكر سابقًا، يمكن بناء النوى الموجبة المحددة من الضرب الداخلي. يمكن استخدام هذه الحقيقة لربط النوى الموجبة المحددة بعنصر آخر مثير للاهتمام يظهر في تطبيقات التعلم الآلي، ألا وهو خريطة الميزات.F{\displaystyle F}أن تكون فضاء هيلبرت، و(⋅،⋅)F{\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{F}}الضرب الداخلي المقابل. أي خريطةΦ:X→F{\displaystyle \Phi :X\to F}يُطلق عليها اسم خريطة المعالم. في هذه الحالة، نسميهاF{\displaystyle F}مساحة الميزات. من السهل ملاحظة [ 11 ] أن كل خريطة ميزات تحدد نواة pd فريدة بواسطة ك(x،y)=(Φ(x)،Φ(y))F.{\displaystyle K(x,y)=(\Phi (x),\Phi (y))_{F}.} في الواقع، التحديد الإيجابي لـك{\displaystyle K}يستنتج ذلك من خاصية pd للجداء الداخلي. من جهة أخرى، لكل نواة pd، و RKHS المقابل لها، العديد من خرائط الميزات المرتبطة بها. على سبيل المثال: ليكنF=ح{\displaystyle F=H}، وΦ(x)=كx{\displaystyle \Phi (x)=K_{x}}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}. ثم(Φ(x)،Φ(y))F=(كx،كy)ح=ك(x،y){\displaystyle (\Phi (x),\Phi (y))_{F}=(K_{x},K_{y})_{H}=K(x,y)}، وذلك بفضل خاصية الاستنساخ. يشير هذا إلى نظرة جديدة إلى نوى pd باعتبارها جداءات داخلية في فضاءات هيلبرت المناسبة، أو بعبارة أخرى، يمكن اعتبار نوى pd بمثابة خرائط تشابه تُحدد كميًا مدى تشابه نقطتين.x{\displaystyle x} وy{\displaystyle y}يتم ذلك من خلال القيمةك(x،y){\displaystyle K(x,y)}علاوة على ذلك، من خلال تكافؤ نوى pd و RKHS المقابل لها، يمكن استخدام كل خريطة ميزات لإنشاء RKHS.

النوى والمسافات

كثيراً ما تُقارن طرق النواة بطرق تعتمد على المسافة مثل أقرب الجيران . في هذا القسم، نناقش أوجه التشابه بين عنصريها الأساسيين، وهما النواة.ك{\displaystyle K}والمسافاتد{\displaystyle d}.

هنا دالة المسافة بين كل زوج من عناصر مجموعة ماX{\displaystyle X}نعني بذلك مقياسًا مُعرَّفًا على تلك المجموعة، أي أي دالة ذات قيمة غير سالبةد{\displaystyle d}علىX×X{\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}}وهو ما يرضي

  • د(x،y)≥0{\displaystyle d(x,y)\geq 0}، ود(x،y)=0{\displaystyle d(x,y)=0}إذا وفقط إذاx=y{\displaystyle x=y}،
  • د(x،y)=د(y،x)،{\displaystyle d(x,y)=d(y,x),}
  • د(x،z)≤د(x،y)+د(y،z).{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}

تُحدد إحدى الروابط بين المسافات ونوى pd بواسطة نوع معين من النوى، يُسمى نواة سالبة التحديد، ويُعرف على النحو التالي

التعريف : دالة متناظرةψ:X×X→R{\displaystyle \psi يُطلق على الدالة {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} اسم نواة سالبة التحديد (nd) علىX{\displaystyle {\mathcal {X}}}لو

يحتفظ بها لأين∈شمال،x1،...،xن∈X،{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}},}وج1،...،جن∈R{\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} }بحيث∑أنا=1نجأنا=0{\textstyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}=0}.

يكمن التشابه بين نواة nd والمسافات فيما يلي: عندما تتلاشى نواة nd على المجموعة{(x،x):x∈X}{\displaystyle \{(x,x):x\in {\mathcal {X}}\}}وإذا كانت قيمة المتغير تساوي صفرًا فقط على هذه المجموعة، فإن جذره التربيعي يمثل مسافة لـX{\displaystyle {\mathcal {X}}}[ 12 ] في الوقت نفسه ، لا تتوافق كل مسافة بالضرورة مع نواة nd. هذا صحيح فقط بالنسبة للمسافات الهيلبرتية، حيث المسافةد{\displaystyle d}يُطلق عليه اسم هيلبرتي إذا أمكن تضمين الفضاء المتري(X،د){\displaystyle ({\mathcal {X}},d)}بشكل متساوي القياس في فضاء هيلبرت ما.

من ناحية أخرى، يمكن تعريف النوى غير السالبة (nd) بأنها مجموعة فرعية من النوى الموجبة (pd) تُعرف باسم النوى القابلة للقسمة بلا حدود. وهي نواة ذات قيمة غير سالبة.ك{\displaystyle K}يقال إن العدد قابل للقسمة إلى ما لا نهاية إذا كان لكلن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }توجد نواة موجبة محددةكن{\displaystyle K_{n}}بحيثك=(كن)ن{\displaystyle K=(K_{n})^{n}}.

ثمة رابط آخر يتمثل في أن نواة pd تُنتج مقياسًا زائفًا ، حيث يتم تخفيف القيد الأول على دالة المسافة للسماحد(x،y)=0{\displaystyle d(x,y)=0}لx≠y{\displaystyle x\neq y}. بالنظر إلى نواة موجبة التحديدك{\displaystyle K}يمكننا تعريف دالة المسافة على النحو التالي: د(x،y)=ك(x،x)-2ك(x،y)+ك(y،y){\displaystyle d(x,y)={\sqrt {K(x,x)-2K(x,y)+K(y,y)}}}

بعض التطبيقات

النوى في التعلم الآلي

تُعدّ النوى الموجبة المحددة، من خلال تكافؤها مع فضاءات هيلبرت ذات النوى المُستنسخة (RKHS)، ذات أهمية خاصة في مجال نظرية التعلم الإحصائي، وذلك بفضل نظرية المُمَثِّل الشهيرة التي تنص على أنه يُمكن كتابة كل دالة مُصغِّرة في فضاء هيلبرت ذي النوى المُستنسخة كتركيبة خطية لدالة النواة عند نقاط التدريب. تُعدّ هذه النتيجة مفيدة عمليًا لأنها تُبسِّط بشكل فعّال مسألة تقليل المخاطر التجريبية من مسألة تحسين لا نهائية الأبعاد إلى مسألة تحسين محدودة الأبعاد.

النوى في النماذج الاحتمالية

توجد عدة طرق مختلفة لظهور النوى في نظرية الاحتمالات.

  • مشاكل الاسترداد غير الحتمية: لنفترض أننا نريد إيجاد الاستجابةو(x){\displaystyle f(x)}دالة نموذجية غير معروفةو{\displaystyle f}في نقطة جديدةx{\displaystyle x}من مجموعةX{\displaystyle {\mathcal {X}}}بشرط أن يكون لدينا عينة من أزواج المدخلات والاستجابات(xأنا،وأنا)=(xأنا،و(xأنا)){\displaystyle (x_{i},f_{i})=(x_{i},f(x_{i}))}يتم الحصول على الاستجابة من خلال الملاحظة أو التجربة.وأنا{\displaystyle f_{i}}فيxأنا{\displaystyle x_{i}}ليست دالة ثابتة لـxأنا{\displaystyle x_{i}}بل هو بالأحرى تجسيد لمتغير عشوائي ذي قيمة حقيقيةZ(xأنا){\displaystyle Z(x_{i})}الهدف هو الحصول على معلومات حول الوظيفةهـ[Z(xأنا)]{\displaystyle E[Z(x_{i})]}والذي يحل محلو{\displaystyle f}في الإطار الحتمي. لعنصرينx،y∈X{\displaystyle x,y\in {\mathcal {X}}}المتغيرات العشوائيةZ(x){\displaystyle Z(x)}وZ(y){\displaystyle Z(y)}لن تكون غير مترابطة، لأنه إذاx{\displaystyle x}قريب جدًا منy{\displaystyle y}التجارب العشوائية الموصوفة بواسطةZ(x){\displaystyle Z(x)}وZ(y){\displaystyle Z(y)}غالباً ما تُظهر سلوكاً مشابهاً. ويتم وصف ذلك بواسطة نواة التغاير.ك(x،y)=هـ[Z(x)⋅Z(y)]{\displaystyle K(x,y)=E[Z(x)\cdot Z(y)]}توجد مثل هذه النواة وهي موجبة التحديد في ظل افتراضات إضافية ضعيفة. الآن، تقدير جيد لـZ(x){\displaystyle Z(x)}يمكن الحصول عليها باستخدام استيفاء النواة مع نواة التغاير، مع تجاهل الخلفية الاحتمالية تمامًا.

افترض الآن أن متغير الضوضاءϵ(x){\displaystyle \epsilon (x)}، بمتوسط ​​صفر وتباينσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}، تُضاف إلىx{\displaystyle x}بحيث يكون الضجيج مستقلاً بالنسبة لـx{\displaystyle x}وبشكل مستقل عنZ{\displaystyle Z}ثم تبرز مشكلة إيجاد تقدير جيد لـو{\displaystyle f}وهو مطابق لما سبق، ولكن بنواة معدلة معطاة بواسطةك(x،y)=هـ[Z(x)⋅Z(y)]+σ2دلتاxy{\displaystyle K(x,y)=E[Z(x)\cdot Z(y)]+\sigma ^{2}\delta _{xy}}.

  • تقدير الكثافة باستخدام النوى: تكمن المشكلة في استعادة الكثافةو{\displaystyle f}توزيع متعدد المتغيرات على نطاقX{\displaystyle {\mathcal {X}}}، من عينة كبيرةx1،...،xن∈X{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathcal {X}}}بما في ذلك التكرارات. عندما تكون نقاط أخذ العينات متقاربة، يجب أن تأخذ دالة الكثافة الحقيقية قيمًا كبيرة. يمكن الحصول على تقدير بسيط للكثافة عن طريق حساب عدد العينات في كل خلية من خلايا الشبكة، ورسم المدرج التكراري الناتج، مما ينتج عنه تقدير ثابت للكثافة على أجزاء. يمكن الحصول على تقدير أفضل باستخدام نواة غير سالبة ثابتة تحت الإزاحة.ك{\displaystyle K}، مع تكامل كلي يساوي واحدًا، ونعرّفو(x)=1ن∑أنا=1نك(x-xأناح){\displaystyle f(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K\left({\frac {x-x_{i}}{h}}\right)}كتقدير سلس.

الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية

يُعدّ الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية أحد أهم مجالات تطبيق ما يُسمى بالطرق غير الشبكية . وترتبط بعض الطرق غير الشبكية الشائعة ارتباطًا وثيقًا بالنوى الموجبة المحددة (مثل طريقة بيتروف غاليركين المحلية غير الشبكية (MLPG) ، وطريقة الجسيمات ذات النواة المُستنسخة (RKPM) ، وديناميكيات الموائع ذات الجسيمات الملساء (SPH) ). وتستخدم هذه الطرق نواة الأساس الشعاعي للتجميع . [ 13 ]

نظرية ستينسبرينغ للتمدد

تطبيقات أخرى

في الأدبيات المتعلقة بالتجارب الحاسوبية [ 14 ] وغيرها من التجارب الهندسية، يتزايد استخدام النماذج القائمة على نواة pd، أو دوال الأساس الشعاعي (RBFs)، أو التنبؤ المكاني (Kriging) . ومن هذه المواضيع منهجية سطح الاستجابة . ومن التطبيقات الأخرى التي تعتمد على ملاءمة البيانات، النماذج الأولية السريعة ورسومات الحاسوب . وفي هذا المجال، تُستخدم غالبًا نماذج السطح الضمنية لتقريب بيانات السحابة النقطية أو استكمالها.

تُستخدم نواة pd في فروع أخرى متنوعة من الرياضيات، مثل التكامل متعدد المتغيرات، والتحسين متعدد المتغيرات، والتحليل العددي والحوسبة العلمية، حيث يتم دراسة الخوارزميات السريعة والدقيقة والمتكيفة التي يتم تنفيذها بشكل مثالي في بيئات الحوسبة عالية الأداء. [ 15 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيريزانسكي، يوري ماكاروفيتش (1968). توسعات في الدوال الذاتية للمؤثرات الذاتية المرافقة . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 45-47 . ISBN  978-0-8218-1567-0.
  2. ↑ هاين، م. وبوسكيه، أ. (2005). " المقاييس الهيلبرتية والنوى الموجبة المحددة على مقاييس الاحتمال ". في: غهراماني، ز. وكويل، ر.، محرران، وقائع مؤتمر AISTATS 2005.
  3. ↑ لين، هسوان-تيان، وتشيه-جين لين. "دراسة حول النوى السينية لآلة المتجهات الداعمة وتدريب النوى غير PSD بواسطة طرق من نوع SMO." الحوسبة العصبية 3.1-32 (2003): 16.
  4. ↑ ميرسر، ج. (1909). "الدوال من النوع الموجب والسالب وعلاقتها بنظرية المعادلات التكاملية". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن، السلسلة أ 209، ص 415-446.
  5. ^ هيلبرت د. (1904). "Grundzuge einer allgemeinen Theorie der الخطي Integralgleichungen I"، جوت. Nachrichten، math.-phys. ك1 (1904)، الصفحات من 49 إلى 91.
  6. ↑ يونغ، دبليو إتش (1909). "ملاحظة حول فئة من الدوال المتناظرة وحول نظرية مطلوبة في نظرية المعادلات التكاملية"، معاملات الجمعية الملكية بلندن، السلسلة أ، 209، ص 415-446.
  7. ↑ مور، إي إتش (1916). "حول المصفوفات الهرميتية الموجبة بشكل صحيح"، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 23، 59، ص 66-67.
  8. ↑ مور، إي إتش (1935). "التحليل العام، الجزء الأول"، مذكرات الجمعية الفلسفية الأمريكية 1، فيلادلفيا.
  9. ↑ كرين، م. (1949/1950). "النوى الهرميتية الموجبة على الفضاءات المتجانسة I و II" (باللغة الروسية)، مجلة الرياضيات الأوكرانية 1 (1949)، ص 64-98، و2 (1950)، ص 10-59. الترجمة الإنجليزية: سلسلة ترجمات الجمعية الأمريكية للرياضيات 2، 34 (1963)، ص 69-164.
  10. ↑ لوف، م. (1960). "نظرية الاحتمالات"، الطبعة الثانية، فان نوستراند، برينستون، نيوجيرسي
  11. ↑ روزاسكو، ل. وبوجيو، ت. (2015). "جولة في تنظيم التعلم الآلي - ملاحظات محاضرة MIT 9.520" مخطوطة.
  12. ↑ بيرغ، سي.، كريستنسن، جيه بي آر، وريسل، بي. (1984). "التحليل التوافقي على أنصاف المجموعات". العدد 100 في نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، سبرينغر فيرلاغ.
  13. ↑ شاباك، ر. وويندلاند، هـ. (2006). "تقنيات النواة: من التعلم الآلي إلى الطرق غير الشبكية"، مطبعة جامعة كامبريدج، أكتا نوميريكا (2006)، ص 1-97.
  14. ↑ هالاند، ب. وكيان، ب.ز.ج. (2010). "محاكيات دقيقة لتجارب الحاسوب واسعة النطاق"، حوليات الإحصاء.
  15. ↑ غوميروف، ن. أ. ودورايسوامي، ر. (2007). " استيفاء سريع لدالة الأساس الشعاعي عبر تكرار كريلوف المُهيأ مسبقًا ". مجلة SIAM للحوسبة العلمية 29/5، ص 1876-1899.