معدل الفشل

لنمذجة حالات الفشل بدقة مع مرور الوقت، يتم استخدام توزيع تراكمي لحالات الفشل .${\displaystyle F(t)}$يجب تعريفها، والتي يمكن أن تكون أي دالة توزيع تراكمي (CDF) تتزايد تدريجياً من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle 1}$في حالة وجود العديد من الأنظمة المتطابقة، يمكن اعتبار ذلك بمثابة نسبة الأنظمة التي تفشل بمرور الوقت.${\displaystyle t}$بعد بدء التشغيل في الوقت المحدد${\displaystyle t=0}$أو في حالة النظام الواحد، كاحتمالية حدوث وقت تعطل النظام${\displaystyle T}$قبل الموعد${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t).}$$

بما أن دوال التوزيع التراكمي تُعرَّف بتكامل دالة كثافة الاحتمال ، فإن كثافة احتمال الفشل${\displaystyle f(t)}$يتم تعريفها بحيث:

$${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau }$$

أين${\displaystyle \tau }$هو متغير تكامل وهمي. هنا${\displaystyle f(t)}$يمكن اعتبارها معدل الفشل اللحظي ، أي احتمال الفشل في الفترة الزمنية بين${\displaystyle t}$و${\displaystyle t{+}\Delta t}$، مثل${\displaystyle \Delta t}$يميل نحو${\displaystyle 0}$:

$${\displaystyle f(t)=\lim _{\Delta t\to 0^{+}}{\frac {\Pr(t<T\leq t{+}\Delta t)}{\Delta t}}.}$$

مفهوم وثيق الصلة ولكنه مختلف ^{[ 2 ]} عن معدل الفشل اللحظي${\displaystyle f(t)}$معدل الخطر (أودالة المخاطرة )،${\displaystyle h(t)}$في حالة الأنظمة المتعددة، يُعرَّف هذا بأنه معدل الفشل النسبي للأنظمة التي لا تزال تعمل في وقت معين.${\displaystyle t}$- على عكس${\displaystyle f(t)}$، وهو ما يتم التعبير عنه كنسبة من العدد الأولي للأنظمة.

ولتسهيل الأمر، سنعرّف أولاً الموثوقية (أو دالة البقاء ) على النحو التالي:

$${\displaystyle R(t)=1-F(t)=\Pr(T>t)}$$

عندئذٍ يكون معدل الخطر ببساطة هو معدل الفشل اللحظي، مضروبًا في نسبة الأنظمة الباقية في ذلك الوقت${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$$

بالمعنى الاحتمالي لنظام واحد، يمكن تفسير ذلك على أنه معدل الفشل اللحظي في ظل الاحتمال الشرطي بأن النظام أو المكون قد نجا بالفعل حتى وقت معين.${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0^{+}}{\frac {\Pr(t<T\leq t{+}\Delta t\mid T>t)}{\Delta t}}.}$$

هناك العديد من الدوال الممكنة التي يمكن اختيارها لتمثيل كثافة احتمال الفشل${\displaystyle f(t)}$أو معدل الخطر${\displaystyle h(t)}$، استنادًا إلى أدلة تجريبية أو نظرية، ولكن الخيار الأكثر شيوعًا وسهولة في الفهم هو تحديد

$${\displaystyle f(t)=\lambda e^{-\lambda t},}$$

دالة أسية ذات ثابت قياس${\displaystyle \lambda }$كما هو موضح في الأشكال أعلاه، يمثل هذا انخفاضًا تدريجيًا في كثافة احتمال الفشل.

صندوق الدفاع الكندي${\displaystyle F(t)}$ثم يتم حسابها على النحو التالي:

$${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},}$$

والتي يمكن ملاحظة أنها تقترب تدريجياً${\displaystyle 1}$مثل${\displaystyle t\to \infty ,}$يمثل ذلك حقيقة أن جميع الأنظمة قيد الدراسة ستفشل في نهاية المطاف.

تكون دالة معدل الخطر كما يلي:

$${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$$

بمعنى آخر، في هذه الحالة بالذات فقط ، يكون معدل الخطر ثابتًا بمرور الوقت.

يوضح هذا الفرق في معدل الخطر وكثافة احتمال الفشل - حيث أن عدد الأنظمة التي تبقى على قيد الحياة في وقت معين${\displaystyle t>0}$مع انخفاض معدل الفشل تدريجيًا، ينخفض ​​معدل الفشل الإجمالي أيضًا، لكن معدل الخطر يبقى ثابتًا . بعبارة أخرى، لا تتغير احتمالات فشل كل نظام على حدة بمرور الوقت مع تقدم عمر الأنظمة - فهي " بلا ذاكرة ".

بالنسبة للعديد من الأنظمة، قد لا تكون دالة المخاطر الثابتة تقريبًا واقعيًا؛ إذ قد يعتمد احتمال فشل أحد المكونات على عمره. لذلك، غالبًا ما تُستخدم توزيعات أخرى.

على سبيل المثال، يزيد التوزيع الحتمي من معدل الخطر بمرور الوقت (للأنظمة التي يكون فيها التآكل هو العامل الأكثر أهمية)، بينما يقلله توزيع باريتو (للأنظمة التي تكون فيها حالات الفشل المبكرة أكثر شيوعًا). ويجمع توزيع ويبول، الشائع الاستخدام ، بين هذين التأثيرين، وكذلك التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي والتوزيعات فائقة الاتزان .

بعد نمذجة توزيع معين ومعاملات لـ${\displaystyle h(t)}$كثافة احتمال الفشل${\displaystyle f(t)}$وتوزيع الفشل التراكمي${\displaystyle F(t)}$يمكن التنبؤ بها باستخدام المعادلات المعطاة.

يصف انخفاض معدل الفشل الحالات التي تكون فيها حالات الفشل في المراحل المبكرة من العمر شائعة ^{[ 7 ]} ويتوافق مع الحالة التي${\displaystyle h(t)}$هي دالة متناقصة .

يمكن أن يصف هذا، على سبيل المثال، فترة وفيات الرضع عند البشر، أو الفشل المبكر للترانزستورات بسبب عيوب التصنيع.

وقد لوحظ انخفاض معدلات الفشل في عمر المركبات الفضائية - حيث علق بيكر وبيكر قائلين: "إن المركبات الفضائية التي تدوم، تدوم لفترة طويلة". ^{[ 8 ] [ 9 ]}

وُجد أن معدل الخطر لأنظمة تكييف الهواء في الطائرات له توزيع متناقص أُسّيًا. ^{[ 10 ]}

في العمليات الخاصة التي تسمى عمليات التجديد ، حيث يمكن إهمال الوقت اللازم للتعافي من الفشل، يظل احتمال الفشل ثابتًا بالنسبة للوقت.

في عملية التجديد ذات دالة التجديد DFR، تكون فترات ما بين التجديدات مقعرة. ^{[ 11 ] [ 12 ]} افترض براون عكس ذلك، أي أن DFR ضروري أيضًا لكي تكون فترات ما بين التجديدات مقعرة، ^{[ 13 ]} إلا أنه ثبت أن هذا الافتراض لا يصح في الحالة المنفصلة ^{[ 12 ]} ولا في الحالة المستمرة. ^{[ 14 ]}

عندما يتناقص معدل الفشل يكون معامل التباين ⩾  1، وعندما يتزايد معدل الفشل يكون معامل التباين ⩽  1. ^{[ 15 ]} لاحظ أن هذه النتيجة صحيحة فقط عندما يكون معدل الفشل محددًا لجميع قيم t ⩾ 0 ^{[ 16 ]} وأن النتيجة العكسية (معامل التباين الذي يحدد طبيعة معدل الفشل) غير صحيحة.  

يمكن التعبير عن معدلات الفشل باستخدام أي وحدة زمنية، لكن الساعات هي الوحدة الأكثر شيوعًا في الممارسة العملية. كما يمكن استخدام وحدات أخرى، مثل الأميال والدورات، بدلاً من وحدات "الزمن".

غالباً ما يتم التعبير عن معدلات الفشل في التدوين الهندسي على أنها حالات فشل لكل مليون، أو 10 ⁻⁶ ، خاصة بالنسبة للمكونات الفردية، لأن معدلات فشلها غالباً ما تكون منخفضة للغاية.

معدل الأعطال مع مرور الوقت ( FIT ) لجهاز ما هو عدد الأعطال المتوقعة خلال مليار ساعة تشغيل للجهاز (10⁹) ^{[ 17 ] (} على سبيل المثال، 1000 جهاز لمدة مليون ساعة، أو مليون جهاز لمدة 1000 ساعة لكل منها، أو أي تركيبة أخرى). يُستخدم هذا المصطلح بشكل خاص في صناعة أشباه الموصلات .

إذا كان النظام المعقد يتكون من أجزاء عديدة، وكان فشل أي جزء منها يعني فشل النظام بأكمله، وكانت فرصة فشل كل جزء مستقلة شرطيًا عن فشل أي جزء آخر، فإن معدل الفشل الكلي هو ببساطة مجموع معدلات الفشل الفردية لأجزائه.

${\displaystyle \lambda _{S}=\lambda _{P1}+\lambda _{P2}+\ldots }$

لكن هذا يفترض أن معدل الفشل${\displaystyle \lambda (t)}$ثابت، ووحداته متسقة (مثلاً: حالات الفشل لكل مليون ساعة)، ولا يُعبَّر عنه كنسبة أو كدوال احتمالية. وهذا مفيد لتقدير معدل فشل النظام عندما تكون المكونات أو الأنظمة الفرعية الفردية قد اختُبرت بالفعل. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

عند إضافة مكونات "زائدة" للتخلص من نقطة فشل واحدة ، فإن الكمية المهمة ليست مجموع معدلات الفشل الفردية، بل معدل "فشل المهمة"، أو "متوسط ​​الوقت بين حالات الفشل الحرجة" (MTBCF). ^{[ 20 ]}

يُعدّ الجمع بين معدلات الفشل أو المخاطر التي تعتمد على الزمن أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، تُعتبر مخاليط متغيرات معدل الفشل المتناقص (DFR) أيضًا من نوع DFR. ^{[ 11 ]} كما تُعتبر مخاليط معدلات الفشل الموزعة أُسّيًا موزعة أُسّيًا فائقًا .

لنفترض أننا نرغب في تقدير معدل فشل أحد المكونات. يتم اختبار عشرة مكونات متطابقة حتى تفشل أو تصل إلى 1000 ساعة، وعندها يتوقف الاختبار. بلغ إجمالي ساعات الاختبار 7502 ساعة، وسُجلت 6 حالات فشل.

معدل الفشل المُقدّر هو:

${\displaystyle {\frac {6{\text{ failures}}}{7502{\text{ hours}}}}=0.0007998\,{\frac {\text{failures}}{\text{hour}}}}$

والذي يمكن التعبير عنه أيضًا بمتوسط ​​الوقت بين الأعطال (MTBF) الذي يبلغ 1250 ساعة، أو ما يقرب من 800 عطل لكل مليون ساعة تشغيل.