سباعي عشري

بما أن 17 عدد أولي من أعداد فيرما ، فإن المضلع السباعي عشر المنتظم هو مضلع قابل للإنشاء (أي يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة غير المدرجة ): وقد أثبت ذلك كارل فريدريش غاوس عام 1796. ^{[ 1 ]} مثّل هذا البرهان أول تقدم في إنشاء المضلعات المنتظمة منذ أكثر من 2000 عام. ^{[ 1 ]} يعتمد برهان غاوس أولًا على حقيقة أن قابلية الإنشاء تُكافئ إمكانية التعبير عن الدوال المثلثية للزاوية المشتركة بدلالة العمليات الحسابية واستخراج الجذر التربيعي ، وثانيًا على برهانه على أنه يمكن القيام بذلك إذا كانت العوامل الأولية الفردية لـ${\displaystyle N}$عدد أضلاع المضلع المنتظم، هي أعداد أولية مميزة من نوع فيرما، وهي من الشكل التالي:${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$لبعض الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle n}$وبالتالي، فإن إنشاء شكل منتظم سباعي عشري الأضلاع يتضمن إيجاد جيب تمام الزاوية${\displaystyle 2\pi /17}$من حيث الجذور التربيعية. يقدم كتاب غاوس Disquisitiones Arithmeticae ^{[ 2 ]} هذا (بالتدوين الحديث) على النحو التالي ^{[ 3 ]}$$\begin{aligned}\cos \frac{2\pi}{17} = \frac{1}{16} \left(\sqrt{17} - 1 + \sqrt{34 - 2\sqrt{17} \right) \right + \frac{1}{8} \left(\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17} \right) - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17} \right).\end{aligned}}}$$

قدّم إقليدس طرقًا لإنشاء المثلث المنتظم ، والخماسي ، والخماسي عشري ، والمضلعات التي يزيد عدد أضلاعها عن ضعف ^عدد أضلاع المثلث المنتظم، لكن الطرق القائمة على أعداد فيرما الأولية الأخرى غير 3 و5 كانت مجهولة لدى القدماء. (أعداد فيرما الأولية المعروفة هي F_{_n} حيث n = 0، 1، 2، 3، 4. وهي 3، 5، 17، 257، و65537).

قدّم هربرت ويليام ريتشموند في عام 1893 شرحًا تفصيليًا لكيفية بناء مضلع سباعي عشر الأضلاع. تستخدم طريقة البناء التالية دوائر كارلايل ، كما هو موضح أدناه. بناءً على بناء المضلع المنتظم ذي 17 ضلعًا، يمكن بسهولة بناء مضلعات ذات n ضلعًا، حيث n هو حاصل ضرب 17 في 3 أو 5 (أو كليهما) وأي قوة من قوى العدد 2: مضلع منتظم ذو 51 ضلعًا، أو 85 ضلعًا، أو 255 ضلعًا، وأي مضلع منتظم ذي n ضلعًا بعدد ^{أضلاع يساوي 2h} ضعف عدد أضلاع المضلع المنتظم ذي 17 ضلعًا.

طريقة أخرى لإنشاء الشكل المنتظم ذي السبعة عشر ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار هي كالتالي:

رد تي بي ستويل من روتشستر، نيويورك، على استفسار من دبليو إي هيل، ويلينج، إنديانا في مجلة المحلل النفسي في عام 1877: ^{[ 5 ]}

لإنشاء مضلع منتظم ذي سبعة عشر ضلعًا داخل دائرة، ارسم نصف القطر CO عموديًا على القطر AB. على OC وOB، اجعل OQ يساوي نصف نصف القطر، وOD يساوي ثمنه. اجعل DE وDF يساويان DQ، وEG وFH يساويان EQ وFQ على التوالي. اجعل OK متوسطًا متناسبًا بين OH وOQ، وارسم KM من خلال K موازيًا لـ AB، ويتقاطع مع نصف الدائرة المرسومة على OG في M. ارسم MN موازيًا لـ OC، ويقطع الدائرة المعطاة في N، حيث يمثل القوس AN جزءًا من سبعة عشر من محيط الدائرة.

التصميم البسيط التالي مأخوذ من هربرت ويليام ريتشموند من عام 1893: ^{[ 6 ]}

ليكن OA وOB (الشكل 6) نصفَي قطر متعامدين لدائرة. اجعل OI ربع OB، والزاوية OIE ربع الزاوية OIA؛ ثم أوجد في OA نقطة F بحيث تكون EIF تساوي 45°. ولتكن الدائرة التي قطرها AF تقطع OB في K، ولتكن الدائرة التي مركزها E ونصف قطرها EK تقطع OA في N3 _و N5 _؛ عندئذٍ، إذا رُسمت الإحداثيات N3P3 وN5P5 على الدائرة، فإن القوسين AP3 و _{AP5 سيكونان} 3/17 و 5 _{/ 17 من} محيط _{الدائرة} .

• النقطة N ₃ قريبة جدًا من النقطة المركزية لنظرية طاليس على AF.

البناء التالي هو شكل مختلف من بناء إتش دبليو ريتشموند.

الاختلافات عن الأصل:

• تحدد الدائرة k ₂ النقطة H بدلاً من منصف الزاوية w ₃ .
• الدائرة k ₄ حول النقطة G' (انعكاس النقطة G عند m) تعطي النقطة N، التي لم تعد قريبة جدًا من M، لإنشاء المماس.
• تم تغيير بعض الأسماء.

وقد قدم كالاغي بناءً آخر أحدث. ^{[ 3 ]}

قم بدمج صيغة الزاوية المزدوجة المتداخلة مع صيغة الزاوية المكملة للحصول على متعددة الحدود التربيعية المتداخلة أدناه.

${\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1}$، و

${\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi -{\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X}$

لذلك،

${\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1}$

${\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1}$

بعد التبسيط وحل المعادلة لإيجاد قيمة X،

${\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

لو${\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}}$،${\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)}$و${\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}$ثم، اعتمادًا على أي عدد صحيح m

${\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}}$

${\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة m تساوي 1

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

فيما يلي تبسيط للعبارات في الجدول التالي.

جتا و جيب (م π / 17) في الربع الأول، والتي يمكن حساب الأرباع الأخرى منها.

م	16 cos (m π / 17)	8 sin (m π / 17)
1	${\displaystyle +1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
2	${\displaystyle -1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}+{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
3	${\displaystyle +1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
4	${\displaystyle -1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}-{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
5	${\displaystyle +1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}-{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
6	${\displaystyle -1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}+{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}-{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
7	${\displaystyle +1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68-{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720-{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34+{\sqrt {68}}+{\sqrt {136+{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272-{\sqrt {39168}}-{\sqrt {43520-{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
8	${\displaystyle -1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}-{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {34-{\sqrt {68}}+{\sqrt {136-{\sqrt {1088}}}}+{\sqrt {272+{\sqrt {39168}}+{\sqrt {43520+{\sqrt {1608777728}}}}}}}}}$

لذلك، بتطبيق الاستقراء مع m=1 والبدء بـ n=0:

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}}$و${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}$

الشكل النجمي السباعي عشر هو شكل نجمي ذو 17 ضلعًا . توجد سبعة أشكال منتظمة تُعطى برموز شلافلي : {17/2}، {17/3}، {17/4}، {17/5}، {17/6}، {17/7}، و{17/8}. بما أن 17 عدد أولي، فإن جميع هذه الأشكال نجوم منتظمة وليست أشكالًا مركبة.

صورة	{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}
الزاوية الداخلية	≈137.647°	≈116.471°	≈95.2941°	≈74.1176°	≈52.9412°	≈31.7647°	≈10.5882°

المضلع المنتظم ذو السبعة عشر ضلعًا هو مضلع بيتري لمضلع محدب منتظم ذي أبعاد أعلى، مُسقط في إسقاط متعامد مائل :

16-simplex (16D)